det(A)=1 => LGS ist ganzzahlig < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 10.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Sei [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] ein lineares Gleichungssystem in n Gleichungen und n Unbekannten mit ganzzahligen Koeffizienten und Konstanten.
Zeige, dass für det(A) = 1 die Lösung [mm] \vec{x} [/mm] nur ganzzahlige Komponennte hat. |
Hallo!
Bei meiner Suche nach den Eigenschaften der Determinante, die bei der Beweisargumentation helfen könnten, bin ich auf die Cramerschen Regeln gestoßen.
[mm] x_i [/mm] = [mm] det(A_i) [/mm] / det(A)
wobei in [mm] A_i [/mm] die i-te Spalte durch den Vektor [mm] \vec{b} [/mm] ersetzt wird.
Das ganze scheint mir auf den ersten Blick zu trivial für einen Beweis - da jedes "element" nur durch 1 dividiert wird. Außerdem haben wir diese Regel nirgendwo besprochen.
Wie könnte man das ganze mittels Widerspruch beweisen?
lg
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> Sei [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] ein lineares Gleichungssystem in n
> Gleichungen und n Unbekannten mit ganzzahligen
> Koeffizienten und Konstanten.
> Zeige, dass für det(A) = 1 die Lösung [mm]\vec{x}[/mm] nur
> ganzzahlige Komponenten hat.
> Bei meiner Suche nach den Eigenschaften der Determinante,
> die bei der Beweisargumentation helfen könnten, bin ich auf
> die Cramerschen Regeln gestoßen.
>
> [mm]x_i[/mm] = [mm]det(A_i)[/mm] / det(A)
>
> wobei in [mm]A_i[/mm] die i-te Spalte durch den Vektor [mm]\vec{b}[/mm]
> ersetzt wird.
> Das ganze scheint mir auf den ersten Blick zu trivial für
> einen Beweis - da jedes "element" nur durch 1 dividiert
> wird. Außerdem haben wir diese Regel nirgendwo besprochen.
Diese Überlegung mit Cramer ist aber hier sicher
so ungefähr der eleganteste Beweis.
Wenn du dich nicht darauf stützen willst (oder darfst),
gäbe es vielleicht die Möglichkeit, Aussagen über die inverse
Matrix [mm] A^{-1} [/mm] zu machen. Könnte man z.B. zeigen,
dass deren Elemente ganzzahlig sind, wäre man im
Prinzip fertig. Wegen det(A)=1 existiert ja [mm] A^{-1}, [/mm] und
es gilt [mm] det(A^{-1})=1.
[/mm]
Jetzt kommt's drauf an, was du von Determinanten
noch so weisst ...
Falls ihr z.B. die "Adjunkte" einer Matrix besprochen habt,
sollte der Beweis leicht fallen - übrigens steckt dahinter
eigentlich dasselbe wie (in einfacherer Form) hinter der
Cramerschen Regel.
> Wie könnte man das ganze mittels Widerspruch beweisen? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß Al-Chw.
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