det(expA)=exp(tr(A)) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 20.07.2008 | | Autor: | svenpile |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M(n,\IC). [/mm] Beweisen sie :
det(expA)=exp(tr(A)) |
So mein Ansatz ist folgender:
Für jede Matrix A [mm] \in M8n,\IC) [/mm] existiert eine Matrix S sodass,
[mm] A´=S^{-1}AS [/mm] mit A´ obere Dreiecksmatrix
[mm] \Rightarrow [/mm] det(exp A´)=det (exp [mm] S^{-1}AS)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det (exp A´)= det(exp A)
ab da stockts bei mir, denn ich habe keine Ahnung wie ich jetzt auf die Spur kommen soll.
Es wäre nett wenn mir jemand helfgen Könnte.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 So 20.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Versuch's lieber mit der Jordannormalform.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 20.07.2008 | | Autor: | svenpile |
Wenn ich über die JNF von A gehe habe ich ja die gleichen Voraussetzungen wie oben bloß das anstatt A´ [mm] J_A [/mm] steht. Also, dass [mm] det(expJ_A)=det(expA)
[/mm]
von der Jordannormalform weiß ich, dass det [mm] J_A [/mm] = tr [mm] J_A.
[/mm]
so ich muss ja zeigen, dass [mm] det(expJ_A)=exp(tr(A)
[/mm]
[mm] det(E+A+0,5A^2+.....)=exp(tr(A))
[/mm]
so und hier komme ich nicht mehr weiter, da wenn [mm] J_A [/mm] nicht nilpotent ist das ja eine ziemlich lange Summe und die kann man ja nicht wirklich bestimmen.
Weiß jemand wie es da weitergeht?
Viele Grüße Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 So 20.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn man die JNF kennt, dann kann man exp(A) relativ leicht berechnen: ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 21.07.2008 | | Autor: | svenpile |
Also ich komme bei der Aufgabe trotz deines Tips nicht weiter.
Also nochmal die spur einer JNF sind ja die Eigenwerte von A .
Seien die Eigenwerte von A [mm] a_1,...a_n.
[/mm]
Dann ist ja [mm] exp(spur(A))=exp(a_1+.....+a_n)=e^a_1+.....+e^a_nAuf [/mm] der anderen Seite habe ich ja [mm] det(expJ_A)=det(E+A+0,5 A^2+...) [/mm] und das müsste gleich dem oberen sein oder?
Aber ich kann jetzt trotz Merles Tipp nicht die Determinante ausrechnen(bin irgendwie zu blöd dafür). Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] det(exp(A))=det(exp(X^{-1}*J_A*X))=det(X^{-1}*exp(J_A)*X)=det(exp(J_A))
[/mm]
Hier wurde erst A in JNF gebracht (mit X als die Transformationsmatrix), dann wurde eine Eigenschaft der Matrixexponentialfunktion benutzt und dann wurde ausgenutzt, dass die Determinanten ähnlicher Matrizen gleich sind.
Und für [mm] exp(J_A) [/mm] ist auf dem Wiki-Artikel beschrieben wie man es ausrechnet (ohne die unendliche Reihe zu benutzen).
Und dann brauchst du noch [mm] tr(A)=\summe_{i=1}^{n}\lambda_i, [/mm] wobei [mm] \lambda_i [/mm] die Eigenwerte der diagonalisierbaren Matrix A sind.
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