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| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der angegebenen Matrix.
[mm] a)\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 9 \\ -1 & 1 & 8 & 27}, k=\IR
[/mm]
[mm] b)\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 }, k=\IF_{3} [/mm] |
So, erst mal wünsch ich euch ein frohes neues Jahr und das ihr alle eure guten Vorsätze auch einhaltet.
Nun gehts bei mir um Determinanten. Bei der 1. bin ich mir relativ sicher, bei der 2. bin ich mir was meine Additionen in dem Körper betrifft doch unsicher.
a) [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 9 \\ -1 & 1 & 8 & 27} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 2 & 9 & 28} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 6 & 24}
[/mm]
detM = detAdetD = 2*24 = 48
b) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = Addiere 1 zu 2 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = Addiere 1 zu 3 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 } [/mm] = Addiere 1 zu 3 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] = Addiere 2 zu 3 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 } [/mm] = Addiere 2 zu 3 [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
detM= 1*1*2 = 2
Ich weiß, umständlicher gehts vermutlich nicht, aber ich hab wenigstens was raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
also ich hab die erste mit laplace nachgerechnet und die war soweit ok (da war ich was umständlicher...) wenn du jedoch die zweite mit laplace machst ist die wesentlich einfacher: Mit entwicklung nach erster zeile erhälst du:
det [mm] \pmat{1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = 1*det [mm] \pmat{1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] - 0*det [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] + 2* det [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
die erste determinante ist offensichtich =0 da die matrix linear abhängig ist... die zweite fällt wegen der null weg. bleibt:
det [mm] \pmat{1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] = 2* det [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = 2*(2 - 1)= 2
es stimmen also beide ergebnisse so wie ich das sehe
gruß bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 01.01.2007 | | Autor: | LAcity |
hallo! kann man die zweite nicht mit der regel von sarrus machen. geht denke ich mal am schnellsten oder irre ich mich da?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mo 01.01.2007 | | Autor: | nsche |
geht schon mit sarrus, dazu must du aber gut in Multiplizieren und Addiren/Subtrahieren sein. Wenn schon ein Elemnt =0 ist, find ich es schnelter nach der entsprechenden Zeile oder Reihe zu entwickeln.
vg
Norbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Mo 01.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
ok, dankeschön
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mir fällt grade zu b was ein:
es wurde ja mit Laplace gemacht - was ja wirklich viel kürzer ist, also wollte ich zeit sparen und das übernehmen.
jetzt stellt sich mir die Frage
>
> det [mm]\pmat{1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm] = 1*det [mm]\pmat{1 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm] - 0*det [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm] + 2* det [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
darf man eine aufgabe aus dem Raum überhaupt mit Laplace machen ( wegen dem - ). hier ist es zufällig mit " - 0" was ja = 0 ist und somit in F3 liegt, aber angenommen es würde + ... - 1*... + ... sein - geht das?? hat das überhaupt damit zu tun das -1 nicht in F3 liegt oder muss nur die det innerhalb F3 liegen?
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>
> hat das überhaupt
> damit zu tun das -1 nicht in F3 liegt
Hallo,
-1 ist eine andere Schreibweise fürs Inverse (bzgl. +) von 1. In [mm] \IF_3 [/mm] ist -1=2. (Das wäre ja auch ein ganz schön blöder Körper, wenn das Inverse von 1 nicht drin wäre)
Gruß v. Angela
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