df/dt mit der Kettenregel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 27.12.2021 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Es gibt viele Aufgaben, wo man irgendein Verhalten in Abhängigkeit der Zeit beobachtet (z.B. Wasser füllt ein Gefäß, Objekte bewegen sich, ein Ballon dehnt sich aus). Man hat meistens Änderungsraten gegeben und interessiert sich für eine bestimmte Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt. Um das zu illustrieren, stellen wir uns vor ein Objekt bewegt sich auf einer Kreisbahn, die durch die Kreisfunktion [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2$ beschrieben wird. Wenn wir an den Änderungsraten in x- bzw. y-Richtung in Abhängigkeit der Zeit interessiert sind, kann man die Kreisfunktion wie folgt differenzieren.
Warum darf man beim Differenzieren von Funktionen ohne die Variable $t$, die Kettenregel wie folgt anwenden?
[mm] $\bruch{d}{dt}(x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt}2$
[/mm]
[mm] $\bruch{d}{dx}(x^2)\bruch{dx}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{d}{dy}(y^2)\bruch{dy}{dt} [/mm] = 0$
[mm] $2x\bruch{dx}{dt} [/mm] + [mm] 2y\bruch{dy}{dt} [/mm] = 0$
Zur Erinnerung: Kettenregel
Wenn $g$ bei $x$ und $f$ bei $g(x)$ differenzierbar ist, dann ist die Verkettung $f [mm] \circ [/mm] g$ bei x differenzierbar, und es ist $(f [mm] \circ [/mm] g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$ |
Hallo miteinander,
Mit $y=f(u)$ und $u = f(x)$ ist $y$ eine verkettete Funktion $y = f(g(x)) = (f [mm] \circ [/mm] g)(x)$ und nach der Kettenregel gilt
$$
y' = [mm] \bruch{d}{dx}y
[/mm]
= [mm] \bruch{dy}{du}\bruch{du}{dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{d}{du}f(u)\bruch{d}{dx}g(x)
[/mm]
$$
Worauf ich hinaus will ist, dass man $f$ nach $u$ und $u$ nach $x$ ableiten kann, weil jeweils die Variablen $u$ und $x$ in den jeweiligen Funktionen vorkommen.
Bei der Kreisfunktion, die man nach $t$ ableitet, wird aus [mm] $\bruch{d}{dt}(x^2 [/mm] + [mm] y^2)$ [/mm] im nächsten Schritt [mm] $\bruch{d}{dx}(x^2)\bruch{dx}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{d}{dy}(y^2)\bruch{dy}{dt}$.
[/mm]
Bedeutet dies, dass man mit der Verkettung mit [mm] $\bruch{dx}{dt}$ [/mm] (für [mm] $x^2$) [/mm] bzw. mit [mm] $\bruch{dy}{dt}$ [/mm] (für [mm] $y^2$) [/mm] eine Funktion $x(t)$ (bzw. $y(t)$) einfach annimmt?
Denn wenn ich ohne weiteren Kontext die verkettete Ableitung [mm] $\bruch{df}{dx}\bruch{dx}{dt}$ [/mm] sehen würde, ginge ich davon aus, dass $x$ eine Funktion von $t$ und innere Funktion von $f$ ist.
Macht das irgendeinen Sinn?
Beste Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 28.12.2021 | | Autor: | meili |
Hallo Thomas,
> Es gibt viele Aufgaben, wo man irgendein Verhalten in
> Abhängigkeit der Zeit beobachtet (z.B. Wasser füllt ein
> Gefäß, Objekte bewegen sich, ein Ballon dehnt sich aus).
> Man hat meistens Änderungsraten gegeben und interessiert
> sich für eine bestimmte Größe zu einem bestimmten
> Zeitpunkt. Um das zu illustrieren, stellen wir uns vor ein
> Objekt bewegt sich auf einer Kreisbahn, die durch die
> Kreisfunktion [mm]x^2 + y^2 = 2[/mm] beschrieben wird. Wenn wir an
> den Änderungsraten in x- bzw. y-Richtung in Abhängigkeit
> der Zeit interessiert sind, kann man die Kreisfunktion wie
> folgt differenzieren.
>
> Warum darf man beim Differenzieren von Funktionen ohne die
> Variable [mm]t[/mm], die Kettenregel wie folgt anwenden?
>
> [mm]\bruch{d}{dt}(x^2 + y^2) = \bruch{d}{dt}2[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(x^2)\bruch{dx}{dt} + \bruch{d}{dy}(y^2)\bruch{dy}{dt} = 0[/mm]
>
> [mm]2x\bruch{dx}{dt} + 2y\bruch{dy}{dt} = 0[/mm]
>
>
> Zur Erinnerung: Kettenregel
> Wenn [mm]g[/mm] bei [mm]x[/mm] und [mm]f[/mm] bei [mm]g(x)[/mm] differenzierbar ist, dann ist
> die Verkettung [mm]f \circ g[/mm] bei x differenzierbar, und es ist
> [mm](f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)[/mm]
>
>
>
>
> Hallo miteinander,
>
> Mit [mm]y=f(u)[/mm] und [mm]u = f(x)[/mm] ist [mm]y[/mm] eine verkettete Funktion [mm]y = f(g(x)) = (f \circ \g)(x)[/mm]
> und nach der Kettenregel gilt
> [mm][/mm]
Formal schöner ist es:
Mit [mm]y=f(u)[/mm] und [mm]u = g(x)[/mm] ist [mm]y[/mm] eine verkettete Funktion [mm]y = f(g(x)) = (f \circ g)(x)[/mm]
und nach der Kettenregel gilt [mm][/mm]
> y' = [mm]\bruch{d}{dx}y[/mm]
>
> = [mm]\bruch{dy}{du}\bruch{du}{dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{d}{du}f(u)\bruch{d}{dx}g(x)[/mm]
>
> [mm][/mm]
>
> Worauf ich hinaus will ist, dass man [mm]f[/mm] nach [mm]u[/mm] und [mm]u[/mm] nach [mm]x[/mm]
> ableiten kann, weil jeweils die Variablen [mm]u[/mm] und [mm]x[/mm] in den
> jeweiligen Funktionen vorkommen.
>
> Bei der Kreisfunktion, die man nach [mm]t[/mm] ableitet, wird aus
> [mm]\bruch{d}{dt}(x^2 + y^2)[/mm] im nächsten Schritt
> [mm]\bruch{d}{dx}(x^2)\bruch{dx}{dt} + \bruch{d}{dy}(y^2)\bruch{dy}{dt}[/mm].
>
> Bedeutet dies, dass man mit der Verkettung mit
> [mm]\bruch{dx}{dt}[/mm] (für [mm]x^2[/mm]) bzw. mit [mm]\bruch{dy}{dt}[/mm] (für
> [mm]y^2[/mm]) eine Funktion [mm]x(t)[/mm] (bzw. [mm]y(t)[/mm]) einfach annimmt?
Ja, denn sonst wäre [mm] $\bruch{dx}{dt} [/mm] = 0$ und [mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] = 0$
und würde den ganzen Ausdruck zu 0 machen.
> Denn wenn ich ohne weiteren Kontext die verkettete
> Ableitung [mm]\bruch{df}{dx}\bruch{dx}{dt}[/mm] sehen würde, ginge
> ich davon aus, dass [mm]x[/mm] eine Funktion von [mm]t[/mm] und innere
> Funktion von [mm]f[/mm] ist.
>
> Macht das irgendeinen Sinn?
Es ist nur sinnvoll, wenn man x und y als Funktionen abhängig von t annimmt.
>
> Beste Grüße
> Thomas
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mo 03.01.2022 | | Autor: | magics |
Vielen Dank, das hat mir weitergeholfen!
Grüße
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