diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Sa 05.02.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | [mm] \(A=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 }
[/mm]
prüfen sie auf diagonalisierbarkeit & ermitteln sie ggf die zugehörige transformationsmatrix T und diagonalmatrix D |
hallo,
Da die matrix symmetrisch ist, ist sie auch diagonalisierbar.
[mm] \(D=T*A*T^-1
[/mm]
WiE bekomme ich allerdings die Transformationsmatrix??? schreibe montag mathe und habe das thema völlig übersehen :/ hoffe, es ist nicht all zu kompliziert!
aus dem skript werde ich eider nciht schlau
habe eigenwerte berechnet
[mm] \lambda1=3
[/mm]
[mm] \lambda2/3=-3
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pyw |
> [mm]\(A=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 }[/mm]
>
> prüfen sie auf diagonalisierbarkeit & ermitteln sie ggf
> die zugehörige transformationsmatrix T und diagonalmatrix
> D
> hallo,
>
> Da die matrix symmetrisch ist, ist sie auch
> diagonalisierbar.
>
> [mm]\(D=T*A*T^-1[/mm]
>
>
> WiE bekomme ich allerdings die Transformationsmatrix???
> schreibe montag mathe und habe das thema völlig übersehen
> :/ hoffe, es ist nicht all zu kompliziert!
Naja, geht 
Du bestimmst zu jedem Eigenraum von A eine Basis. Die Summe der Eigenräume ist direkt. Da du hier eine symmetrische Matrix hast, werden in allen Eigenräumen zusammen 3 (=Dimension des Vektorraums) Basiselemente sein. Diese Basiselemente schreibst du als Spaltenvektoren und schon hast du eine invertierbare 3x3 Matrix T, die deine Matrix diagonalisiert.
Mehr Aufwand wird es möglicherweise sein, [mm] T^{-1} [/mm] zu berechnen. Da kommst man leider nicht drumrum.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 05.02.2011 | | Autor: | m4rio |
ok, [mm] \(T^-1 [/mm] bekomm ich hin...
muss ich als die eigenvektoren, welche ja lin unabh sind als spaltenvektoren zu einer matrix zusammenfügen und erhalte so meine basis, welche schon T ist??
kann ich die diagonalmatrix nicht schon mit hilfe der eigenwerte aufstellen?
ohne, dass ich rechnen muss [mm] \(T*A*T^-1[/mm]
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Hallo m4rio,
> ok, [mm]\(T^-1[/mm] bekomm ich hin...
>
>
> muss ich als die eigenvektoren, welche ja lin unabh sind
> als spaltenvektoren zu einer matrix zusammenfügen und
> erhalte so meine basis, welche schon T ist??
>
Ja.
>
> kann ich die diagonalmatrix nicht schon mit hilfe der
> eigenwerte aufstellen?
Natürlich kannst Du das.
>
> ohne, dass ich rechnen muss [mm]\(T*A*T^-1[/mm]
Wenn Du die Matrix T nicht benötigst,
dann kannst Du die Diagonalmatrix
mit Hilfe der Eigenwerte aufstellen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 05.02.2011 | | Autor: | m4rio |
hallo, versuche jetzt die eigenvektoren zu berechnen, klappt leider auch nciht so ganz
für [mm] \lambda1
[/mm]
[mm] \x3\vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda2
[/mm]
[mm] \pmat{ 1+3 & 2 & 2 \\ 2 & -2+3 & 1 \\ 2 & 1 & -2+3 }
[/mm]
gausss
--> [mm] \pmat{ 1 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
hmm, wie bekomm ich jetzt den eigenvektor??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pyw |
moin,
> hallo, versuche jetzt die eigenvektoren zu berechnen,
> klappt leider auch nciht so ganz
>
>
> für [mm]\lambda1[/mm]
>
> [mm]\x3\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
> für [mm]\lambda2[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1+3 & 2 & 2 \\ 2 & -2+3 & 1 \\ 2 & 1 & -2+3 }[/mm]
>
>
> gausss
>
> --> [mm]\pmat{ 1 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> hmm, wie bekomm ich jetzt den eigenvektor??
jetzt gibt es 2 frei wählbare variablen (2. und 3. Zeile), also hat der Eigenraum die Dimension 2. Setze jeweils eine der frei wählbaren Variablen auf 1 und die andere auf 0 und du erhältst zwei Basisvektoren für [mm] E_{-3}.
[/mm]
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Sa 05.02.2011 | | Autor: | m4rio |
hmm, würdest du mir für [mm] \lambda2 [/mm] mal zeigen, wie ich das mache... steh gerade etwas auf dem schlauch mit der 2 & 3 zeile .. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pyw |
> hmm, würdest du mir für [mm]\lambda2[/mm] mal zeigen, wie ich das
> mache... steh gerade etwas auf dem schlauch mit der 2 & 3
> zeile .. :/
Ok. Seien [mm] x_1,x_2, x_3 [/mm] die Variablen. Wegen deiner Abhängigkeit gilt [mm] x_1+2x_2+2x_3=0.
[/mm]
1. Setze [mm] x_3=1, x_2=0 \Rightarrow x_1=-2, [/mm] also Basisvektor (-2, 0, 1)
2. Setze [mm] x_3=0, x_2=1 \Rightarrow x_1=-2, [/mm] also Basisvektor (-2, 1, 0)
Ich habe erst jetzt mal deine EWs nachgerechnet, weil sie mir komisch vorkamen (dein ermittelter Eigenvektor zum Eigenwert 3 ist nämlich keiner).
-3 ist Eigenwert, aber nach meiner Rechnung nicht 3:
[mm] \vmat{ X-1 & -2 & -2 \\ -2 & X+2 & -1 \\ -2 & -1 & X+1 }=X^3+2X^2-10X-12=(X+3)(X^2-X-7)
[/mm]
Der zweite Teil gibt doch nicht 3 als EW. Kann das sein, dass in der Aufgabenstellung irgendwas nicht stimmt?
Kann mich heute nicht mehr damit beschäftigen, wäre also ganz gut, wenn jemand noch einmal drüber schaut.
Gute Nacht, pyw
EDIT: Der Fehler liegt tatsächlich in der Matrix der Aufgabenstellung. Dort müsste stehen [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 }, [/mm] dann [mm] \vmat{ X-1 & -2 & -2 \\ -2 & X+2 & -1 \\ -2 & -1 & X+2 }=(X+3)^2(X-3).
[/mm]
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