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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Fr 24.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Ich habe hier keine Idee was ich machen soll d.h. ich habe es versucht mit einem Bewiss aber irgendwie habe ich das Gefuehl dass er nicht komplet ist. Also,
Sei E dicht in X und U [mm] \subseteqX [/mm] . U ist offen. Dann gilt:
U [mm] \subseteq \overline{E\cap U}.
[/mm]
Ich habe es mir der karakterisation von [mm] x\in\overline{A} [/mm] und nabe dabei benutzt dass E dicht ist. Weiss aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sara!
Es sei [mm] $O_1$ [/mm] eine beliebig gewählte offene Umgebung von $x$. Zu zeigen ist: $(E [mm] \cap [/mm] U) [mm] \cap O_1 \ne \emptyset$.
[/mm]
Da $U$ offen ist, gibt es eine offene Umgebun [mm] $O_2$ [/mm] von $x$ mit [mm] $O_2 \subset [/mm] U$. Dann ist auch [mm] $O:=O_1 \cap O_2$ [/mm] eine offene Umgebung von $x$. Da $E$ dicht in $X$ ist, gibt es ein $y [mm] \in [/mm] E [mm] \cap (O_1 \cap O_2)$, [/mm] und nach Wahl von [mm] $O_2$ [/mm] gilt:
$y [mm] \in [/mm] E [mm] \cap (O_1 \cap [/mm] U) = (E [mm] \cap [/mm] U) [mm] \cap O_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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