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| Aufgabe | Seien f,g [mm] \in C^{0} (\IR) [/mm] mit f(x)=g(x) für alle x [mm] \in \IQ. [/mm]
Zeigen Sie f=g, also f(x)=g(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
( f,g [mm] \in C^{0} (\IR) [/mm] heißt: f,g sind stetig in [mm] \IR) [/mm] |
Hallo!
Ich habe den Tipp bekommen, dass man hier mit dem Wissen, dass wenn f und g stetig sind, auch f-g stetig sind und dass [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist weiter kommt.
Daher habe ich folgende Überlegung:
Diese Dichtheit heißt ja nur, dass es zu je 2 reellen Zahlen immer eine rationale Zahl gibt, die dazwischen liegt. Wenn also (f-g)(x)=0 (Zwischenfrage: schreibt man das dann so? ) für alle rationalen x gilt, aber nicht für alle reellen x, dann könnte f-g nicht mehr stetig sein.
Ist diese Überlegung richtig?
Und wie könnte ich das zeigen?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand da weiter helfen könnte!
Grüßle, Lily
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> Seien f,g [mm]\in C^{0} (\IR)[/mm] mit f(x)=g(x) für alle x [mm]\in \IQ.[/mm]
> Zeigen Sie f=g, also f(x)=g(x) für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> ( f,g [mm]\in C^{0} (\IR)[/mm] heißt: f,g sind stetig in [mm]\IR)[/mm]
> Hallo!
> Ich habe den Tipp bekommen, dass man hier mit dem Wissen,
> dass wenn f und g stetig sind, auch f-g stetig sind und
> dass [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] ist weiter kommt.
> Daher habe ich folgende Überlegung:
> Diese Dichtheit heißt ja nur, dass es zu je 2 reellen
> Zahlen immer eine rationale Zahl gibt, die dazwischen
> liegt. Wenn also (f-g)(x)=0 (Zwischenfrage: schreibt man
> das dann so? )
ja, kann man so schreiben
> für alle rationalen x gilt, aber nicht für
> alle reellen x, dann könnte f-g nicht mehr stetig sein.
> Ist diese Überlegung richtig?
> Und wie könnte ich das zeigen?
Da [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] dicht liegt, gibt es zu jeder reellen Zahl x eine Folge [mm] (q_n) [/mm] von rationalen Zahlen mit [mm] \lim q_n=x
[/mm]
Damit kannst du [mm] (f-g)(x)=(f-g)(\lim q_n)=... [/mm]
betrachten
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> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand da weiter
> helfen könnte!
> Grüßle, Lily
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hm... vielleicht stehe ich jetzt auf dem schlauch, aber ich verstehe nicht, was mir das bringen könnte...
das (f-g)(lim [mm] q_{n} [/mm] kann man umformen in lim [mm] ((f-g)(q_{n}). [/mm] aber dann?
wäre super, wenn ihr mir noch weiter helfen könntet!
Grüßle, Lily
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nach voraussetzung ist [mm] (f-g)(q_n)=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 18.12.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
oh :-D richtig!
Danke 
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