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Forum "Knobelaufgaben" - die böse 12. kugel
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die böse 12. kugel: Übungsaufgabe (aktuell)
Status: (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe Status (unbefristet) 
Datum: 11:06 Do 06.10.2011
Autor: Schadowmaster

guten Morgen Matheraum,

Mir ist gestern ein nettes Rätsel über den Weg gelaufen, wer es noch nicht kennt wird sicher ein paar Minuten was zu tun haben.^^
@ Mods: bitte entsprechend eine Übungsaufgabe draus machen; danke. ;)

Aufgabe
Gegeben sind zwölf Kugeln, von denen elf genau gleich viel wiegen.
Die zwölfte Kugel hat ein anderes Gewicht als die anderen, ist also entweder leichter oder schwerer.
Um herauszufinden welche Kugel die "böse" ist, ist einzig eine Balkenwaage gegeben.
Diese kann nur anzeigen ob eine der Seiten schwerer ist als die andere oder ob beide gleich schwer sind, eine quantitative Aussage über das Gewicht kann sie nicht treffen.

a) Wie findet man die "böse" Kugel, wenn man nur drei Mal wiegen darf?
b) Ist die "böse" Kugel leichter oder schwerer als die restlichen?



Bevor Fragen kommen:
Man darf nicht einfach eine Kugel von der Waage runter nehmen oder die Kugeln nacheinander drauflegen; das würde jeweils als komplett neues Wiegen zählen.
Und es ist kein Trick im Sinne von mogeln/Betrug dabei, das ganze lässt sich mit rein logischen Überlegungen zurechtbasteln.


Also dann, viel Spaß damit.


lg

Schadow

        
Bezug
die böse 12. kugel: dummy-frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Do 06.10.2011
Autor: Schadowmaster

.

Bezug
                
Bezug
die böse 12. kugel: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mo 14.11.2011
Autor: Schadowmaster

Huch, hab ich ja garnicht gemerkt, dass hier was passiert ist.^^
Ihr seid bereits auf dem richtigen Weg, 4 gegen 4 wiegen ist ein guter erster Schritt.
Es stimmt ebenfalls, wenn diese 8 im Gleichgewicht sind ist der Rest leicht.

Allerdings ist es auch wenn diese nicht im Gleichgewicht sind durchaus lösbar UND man erfährt sogar ob die böse leichter oder schwerer ist als der Rest.
Der Trick (oder ein Trick) ist sich die erhaltenen Infos zu nutze zu machen.
Geht die erste Wiegung unentschieden aus so weiß man nicht nur, dass die böse Kugel unter diesen 8 ist, man weiß sogar dass 4 dieser Kugeln schwerer sind als die anderen, also etwa:
$(a,b,c,d) < (1,2,3,4)$
Nun muss man aus diesen 8 Kugeln eine geschickte zweite und dann dritte Gruppe zusammenstellen, um die böse Kugel zu finden.
Bei jedem neuen Wiegvorgang gibt es auch wieder Informationen der Form $(...) < (...)$, die ggf. für eine Aussage, einen Widerspruch, einen Ausschluss, etc. sehr hilfreich sein können.

Ansonsten noch viel Spaß mit der Aufgabe. ;)

lg

Schadow

Bezug
        
Bezug
die böse 12. kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:20 Sa 12.11.2011
Autor: Mahomia

das ist doch mal ganz einfach :-)

man teilt die 12 Kugeln in 2 Gruppen a 6 Kugeln...

als nächstes nimmt man die schwere Gruppe und teilt sie wieder in 2 Gruppen a 3 Kugeln auf.

als nächstes nimmt man wieder die schwerere Seite der Kugeln und teilt sie diesmal in drei Kugeln a 1 Kugel auf.

Und legt dabei auf jeder der Seiten eine Kugel. Sind die beiden glech schwe ist es die dritte. Ansonsten halt eine der beiden Kugeln auf der Waage.

Bezug
                
Bezug
die böse 12. kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 Sa 12.11.2011
Autor: donquijote


> das ist doch mal ganz einfach :-)
>  
> man teilt die 12 Kugeln in 2 Gruppen a 6 Kugeln...
>  
> als nächstes nimmt man die schwere Gruppe und teilt sie
> wieder in 2 Gruppen a 3 Kugeln auf.

Ganz so einfach ist es nicht, da die 12. Kugel auch leichter als die anderen sein kann.
Dann würde sie nach deiner Methode nicht entdeckt.

>  
> als nächstes nimmt man wieder die schwerere Seite der
> Kugeln und teilt sie diesmal in drei Kugeln a 1 Kugel auf.
>  
> Und legt dabei auf jeder der Seiten eine Kugel. Sind die
> beiden glech schwe ist es die dritte. Ansonsten halt eine
> der beiden Kugeln auf der Waage.


Bezug
                        
Bezug
die böse 12. kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Sa 12.11.2011
Autor: abakus


> > das ist doch mal ganz einfach :-)
>  >  
> > man teilt die 12 Kugeln in 2 Gruppen a 6 Kugeln...
>  >  
> > als nächstes nimmt man die schwere Gruppe und teilt sie
> > wieder in 2 Gruppen a 3 Kugeln auf.
>  
> Ganz so einfach ist es nicht, da die 12. Kugel auch
> leichter als die anderen sein kann.
>  Dann würde sie nach deiner Methode nicht entdeckt.

Hallo,
man teilt zunächst die 12 Kugeln in 3 Gruppen zu je 4 Kugeln...
Gruß Abakus

>  
> >  

> > als nächstes nimmt man wieder die schwerere Seite der
> > Kugeln und teilt sie diesmal in drei Kugeln a 1 Kugel auf.
>  >  
> > Und legt dabei auf jeder der Seiten eine Kugel. Sind die
> > beiden glech schwe ist es die dritte. Ansonsten halt eine
> > der beiden Kugeln auf der Waage.
>  


Bezug
                                
Bezug
die böse 12. kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Sa 12.11.2011
Autor: reverend

Hallo abakus,

>  Hallo,
>  man teilt zunächst die 12 Kugeln in 3 Gruppen zu je 4
> Kugeln...

So fängt das meistens an, ja. Wenn man schon weiß, dass die "besondere" Kugel leichter ist, kann man sie mit 3 Wägungen aus 27 Kugeln herausfinden. Genauso natürlich, wenn sie schwerer ist.

Hier ist aber die Frage, wie es dann weitergeht. Der Fall, in dem die erste Wägung "unentschieden" ausgeht, ist noch relativ leicht weiter zu bearbeiten.

Sind die Kugeln auf den Waagschalen aber nicht im Gleichgewicht, kommt man doch mit nur zwei weiteren Wägungen nicht zum Ziel.

Das ist ja gerade die Crux dieser Aufgabe.

Grüße
reverend


Bezug
                                        
Bezug
die böse 12. kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Sa 12.11.2011
Autor: donquijote


> Hallo abakus,
>  
> >  Hallo,

>  >  man teilt zunächst die 12 Kugeln in 3 Gruppen zu je 4
> > Kugeln...
>  
> So fängt das meistens an, ja. Wenn man schon weiß, dass
> die "besondere" Kugel leichter ist, kann man sie mit 3
> Wägungen aus 27 Kugeln herausfinden. Genauso natürlich,
> wenn sie schwerer ist.
>  
> Hier ist aber die Frage, wie es dann weitergeht. Der Fall,
> in dem die erste Wägung "unentschieden" ausgeht, ist noch
> relativ leicht weiter zu bearbeiten.
>  
> Sind die Kugeln auf den Waagschalen aber nicht im
> Gleichgewicht, kommt man doch mit nur zwei weiteren
> Wägungen nicht zum Ziel.

Doch, das geht. Zur systematischen Lösung überlegt man sich, dass es insgesamt 24 Möglichkeiten gibt.
Jeder Wiegevorgang hat 3 mögliche Ausgänge (links schwerer, rechts schwerer, Gleichgewicht).
Die Kugeln müssen dann immer so angeordnet werden, dass jeder mögliche Ausgang des Wiegevorgangs die Zahl der verbleibenden Möglichkeiten auf maximal ein (aufgerundetes) Drittel reduziert.

PS. Die Aufgabe ist auch dann noch lösbar, wenn die Möglichkeit erlaubt ist, dass die "böse" Kugel genauso schwer ist wie die anderen. Es würde sogar mit 13  Kugeln noch klappen (dann sind es genau [mm] 27=3^3 [/mm] Möglichkeiten). Dann allerdings bräuchte man eine 14. "geeichte" Kugel, von der bekannt ist, dass sie weder zu leicht noch zu schwer ist.

>  
> Das ist ja gerade die Crux dieser Aufgabe.
>  
> Grüße
>  reverend
>  


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