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Forum "Uni-Analysis" - diff´bar, monotonie
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diff´bar, monotonie: Richtig oder falsch?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Do 31.08.2006
Autor: hooover

Aufgabe
Geg.: Sei die Fkt. [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch

[mm] f(n)=\begin{cases} ae^{4x}, & \mbox{für } x \ge0 \\ -ln(-x+a)+b,, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm]

a) Bestimmen Sie a>0 und [mm] b\varepsilon\IR [/mm] so, dass f{x} in allen [mm] x\varepsilon\IR [/mm] diff´bar ist.

b) Untersuchen sie f für dei gefundene Parameter a und b auf Monotonie


Hallo Leute,

ich bin mit der ganzen Materie nicht so vertraut und behandele das alles zum erstenmal, darum habe ich noch keine Blick dafür ob meine Lösung richtig sein könnte oder nicht.

hier meine Lösung.

zu a)

f{x}=-ln(-x+a)+b soll diff´bar für a>0 und [mm] b\varepsilon\IR [/mm] sein

also

[mm] \limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+b=\limes_{x(von oben)\rightarrow0}ae^{4x} [/mm]

[mm] -ln(-x+a)+b=ae^{4x} [/mm]


[mm] -ln(0+a)+b=ae^0 [/mm]

-lna+b=a

b=lna+a

[mm] \limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+lna+a=a [/mm] !!!

zu b)

f{x}=-ln(-x+a)+lna+a

[mm] f{(x^')}=\bruch{1}{-x+a}-1 [/mm]

[mm] 1\not=0 [/mm]  also kein Extrema

[mm] f{x}=ae^{4x} [/mm]

[mm] f{x^'}=4ae^{4x} [/mm]

[mm] 4ae^{4x}=0 [/mm]

[mm] e^{4x}\not=0 [/mm]

jetzt wähle ich zwei Werte für x<0

-3<-2 und setze sie ein

-ln(-3+a)+lna+a<-ln(-2+a)+lna+a

-ln(-3+a)<-ln(-2+a)  |*(-1)

3+a>2+a

3>2  also monoton wachsend

jetzt

prüfe ich 1>2 für x>0

[mm] ae^4>ae^8 [/mm]

[mm] e^4>e^8 [/mm]

4>8  also monoton wachsend

somit ist die ganze FUnktion monoton wachsend!


Ist das so richtig oder habe wieder mal irgendwas falsch gemacht

vielen Dank gruß hooover





        
Bezug
diff´bar, monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Fr 01.09.2006
Autor: leduart

Hallo hoover
> Geg.: Sei die Fkt. [mm]f:\IR\to\IR[/mm] definiert durch
>  
> [mm]f(n)=\begin{cases} ae^{4x}, & \mbox{für } x \ge0 \\ -ln(-x+a)+b,, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie a>0 und [mm]b\varepsilon\IR[/mm] so, dass f{x} in
> allen [mm]x\varepsilon\IR[/mm] diff´bar ist.
>  
> b) Untersuchen sie f für dei gefundene Parameter a und b
> auf Monotonie
>  

> hier meine Lösung.
>  
> zu a)
>  
> f{x}=-ln(-x+a)+b soll diff´bar für a>0 und [mm]b\varepsilon\IR[/mm]
> sein
>  
> also
>  
> [mm]\limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+b=\limes_{x(von oben)\rightarrow0}ae^{4x}[/mm]
>  
> [mm]-ln(-x+a)+b=ae^{4x}[/mm]
>  
>
> [mm]-ln(0+a)+b=ae^0[/mm]
>  
> -lna+b=a
>  
> b=lna+a
>  
> [mm]\limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+lna+a=a[/mm] !!!

Hiermit hast du gezeigt, dass die Fkt in 0 stetig ist, das ist ja eine notwendige Beziehung für Differenzierbarkeit!
Jetzt fehlt noch das differenzierbar, also der Vergleich der 2 Ableitungen. daraus bestimmst du dann a.

> zu b)
>  
> f{x}=-ln(-x+a)+lna+a
>
> [mm]f{(x^')}=\bruch{1}{-x+a}-1[/mm]

Ableitung falsch! woher kommt die -1? Konstanten abgeleitet ergeben 0!

> [mm]1\not=0[/mm]  also kein Extrema

Wenn deine Ableitung richtig wär hättest du doch  :
[mm]\bruch{1}{-x+a}=1[/mm] und das hat ne Nullstelle!

> [mm]f{x}=ae^{4x}[/mm]
>  
> [mm]f{x^'}=4ae^{4x}[/mm]
>  
> [mm]4ae^{4x}=0[/mm]
>  
> [mm]e^{4x}\not=0[/mm]
>  
> jetzt wähle ich zwei Werte für x<0
>  
> -3<-2 und setze sie ein
>  
> -ln(-3+a)+lna+a<-ln(-2+a)+lna+a
>  
> -ln(-3+a)<-ln(-2+a)  |*(-1)

Wo bleibt der ln?

>  
> 3+a>2+a

Wo bleibt das Minus bei der 3 und der 2?

> 3>2  also monoton wachsend

Beweisweg falsch! Berechne f(-3) und f(-2) dann vergleich sie!

> jetzt

Ab hier musst du Unsinn mit den Ungleichheitszeichen gemacht haben! Lies deine Postings am Ende doch noch mal durch !! 1>2 sollte da nicht stehen.

> prüfe ich 1>2 für x>0
>  
> [mm]ae^4>ae^8[/mm]
>  
> [mm]e^4>e^8[/mm]
>  
> 4>8  also monoton wachsend
>  
> somit ist die ganze FUnktion monoton wachsend!
>  
>
> Ist das so richtig oder habe wieder mal irgendwas falsch
> gemacht

Ja
Gruss leduart.

Bezug
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