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diff'bare Funktion: Kern, Surjektiv
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Sa 10.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] $C^{\infty}(0,1)$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Betrachten Sie die lineare Abbildung

[mm] $D:C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1)$ [/mm]

mit [mm] $f\mapsto [/mm] f'$

für [mm] $f\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm]

I) Bestimmen Sie den Kern von D.

II) Zeigen Sie, dass D surjektiv ist.

Hi,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Also der Kern dieser Abbildung sind ja einfach die Konstanten Funktionen, da diese auf Null abgebildet werden.
Könnte ich das so aufschreiben?

[mm] $ker(D)=\{f\in C^{\infty}(0,1)|D(f)=0\}$ [/mm]

Also $f'=0$

[mm] $\int f'\, [/mm] dx=c$

Also die Menge aller Konstanten.

II)

Das diese Abbildung surjektiv ist, ist auch klar, da ich jede beliebige Funktion treffen kann.
Ich muss ja zeigen, dass ich für alle [mm] $f'\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm] ein [mm] $f\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm] finde, mit $D(f)=f'$.
Das ist aber klar, nach dem Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung, denn wenn

$D(f)=f'$, dann ist

[mm] $\int f'\, [/mm] dx=f+c$ und eine solche Funktion ist sicherlich ein Element von [mm] $C^{\infty}(0,1)$ [/mm]

Kann ich das so aufschreiben, oder ist dies falsch?

        
Bezug
diff'bare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 So 11.05.2014
Autor: fred97


> Sei [mm]C^{\infty}(0,1)[/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der unendlich
> oft differenzierbaren Funktionen. Betrachten Sie die
> lineare Abbildung
>  
> [mm]D:C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1)[/mm]
>
> mit [mm]f\mapsto f'[/mm]
>  
> für [mm]f\in C^{\infty}(0,1)[/mm]
>  
> I) Bestimmen Sie den Kern von D.
>  
> II) Zeigen Sie, dass D surjektiv ist.
>  Hi,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Also der Kern dieser
> Abbildung sind ja einfach die Konstanten Funktionen, da
> diese auf Null abgebildet werden.
> Könnte ich das so aufschreiben?
>  
> [mm]ker(D)=\{f\in C^{\infty}(0,1)|D(f)=0\}[/mm]
>  
> Also [mm]f'=0[/mm]
>  
> [mm]\int f'\, dx=c[/mm]
>  
> Also die Menge aller Konstanten.

Ja


>  
> II)
>
> Das diese Abbildung surjektiv ist, ist auch klar, da ich
> jede beliebige Funktion treffen kann.
>  Ich muss ja zeigen, dass ich für alle [mm]f'\in C^{\infty}(0,1)[/mm]
> ein [mm]f\in C^{\infty}(0,1)[/mm] finde, mit [mm]D(f)=f'[/mm].
> Das ist aber klar, nach dem Hauptsatz der Differenzial und
> Integralrechnung, denn wenn
>  
> [mm]D(f)=f'[/mm], dann ist
>  
> [mm]\int f'\, dx=f+c[/mm] und eine solche Funktion ist sicherlich
> ein Element von [mm]C^{\infty}(0,1)[/mm]
>  
> Kann ich das so aufschreiben, oder ist dies falsch?

Vielleicht meinst Du das richtige .....


Sei g [mm] \in C^{\infty}(0,1). [/mm] Dann ist g stetig, besitzt also auf (0,1) eine Stammfunktion f.

Dann ist D(f)=f'=g.


FRED


Bezug
                
Bezug
diff'bare Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:36 So 11.05.2014
Autor: YuSul

Okay, vielen Dank für die Kontrolle und die Verbesserung.



Bezug
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