diffbare Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 26.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich habe hier eine sehr schwere Aufgabe und ich weiss einfach nicht, wie sie gehen soll. ich habe versucht, die erste teilaufgabe zu loesen, aber ich komm einfach nicht drauf. Darum hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen koennt, oder mir tipps geben koennt, wie ich sie anpacken kann. Danke!
Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, d.h. f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] zweimal differenzierbar un die zweite Ableitung f'' ist stetig.
Sei K : [-1;1] [mm] \to [/mm] [0;1] definiert durch
K(x) [mm] =\begin{cases} 1+x, & \mbox{für } -1 \le x \le0 \\ 1-x, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \end{cases}
[/mm]
(a) Beweise, dass [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {K(x) f``(xh) dx} = [mm] \bruch{f(h)+f(-h)-2f(0)}{h^{2}}
[/mm]
wobei gilt: alle h [mm] \not= [/mm] 0.
(b) Sei h > 0. Zeige, dass es ein [mm] \alpha \in [/mm] [-h;h] gibt mit
[mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {K(x) f``(xh) dx} = [mm] f``(\alpha).
[/mm]
(c) Beweise die folgende Formel fuer die 2. Ableitung.
f``(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h)+f(-h)-2f(0)}{h^{2}}.
[/mm]
Erst mal verstehe ich nicht, bei der (a), was das f`` ist. Wenn ich das f`` nicht kenne, wie kann ich es dann integrieren?
Dann weiss ich nicht, welche Form von K(x) ich da nehmen soll, weil doch die Grenzen vom Integral von -1 bis 1 laufen. Muss ich dann beide "Varianten" von K(x) nehmen?
Es steht in der Aufspaltung von K(x) naemlich nicht drin, was fuer K(x) gilt, wenn x zwischen -1 und 1 liegt.
Ich waere euch dankbar, wenn ich mir zeigen koenntet, wie ich die Aufgabe loesen kann.Vielen Dank fuer eure Muehe!
ciao!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 26.01.2005 | | Autor: | ghost |
Also, f'' ist einfach die zweite Ableitung, wie sie genau aussieht weiß man nicht, jedoch existiert eine Stammfunktion, nämlich f' + c. Da das Integral von -1 bis 1 geht, ist es wohl am Besten wenn du es zuerst aufspaltest, dann kannst du auch K(x) einsetzen.
[mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {K(x) f''(xh) [mm] dx}=\integral_{-1}^{0} [/mm] {K(x) f''(xh) dx} [mm] +\integral_{0}^{1} [/mm] {K(x) f''(xh) dx} = [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] {(1+x) f''(xh) dx} [mm] +\integral_{-0}^{1} [/mm] {(1-x) f''(xh) dx}.
Jetzt kannst du noch ein bißchen umformen und einiges davon wird wegfallen... Beim Integrieren von f''(xh) musst du dann ein bißchen aufpassen, Stichwort Kettenregel, so kommt dann auch das [mm] h^{2} [/mm] zu Stande. Hab es nicht ausgerechnet, aber ich denke mal, dass du so ein bißchen weiter kommen wirst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 26.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, ghost!
Danke für deine Antwort. Ich glaube, ich habe die (a) lösen können.
Aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich die (b) machen kann.
Kannst du mir vielleicht bitte einen weiteren Tipp geben, wie ich die (b)lösen kann? I
Hat die aufgabe (b) vielleicht was mit dem Mittelwertsatz zu tun?
Ich danke dir für deine Mühe!
Vielen Dank!
Ciao!
|
|
|
| |
|
Ja, Mittelwertsatz ist hier eine Goldader, wobei du ihn bei der Aufgabe gleich zweimal anwenden musst (willst ja etwas über die 2-te Ableitung wissen, und hast Ausdruck mit [mm] h^2). [/mm] Dann bekommst du in der b) den Ausdruck in Aufgabe a) auf der rechten Seite herraus und mit Aufgabe a) bist du dann fertig.
Aufgabe c) sollte dann mit b) von alleine gehen.
viele Grüße
Michael
|
|
|
|
