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| Aufgabe | Man untersuche auf Differenzierbarkeit:
a) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2} + x^{2}}
[/mm]
b) g: [mm] \IR [/mm] \ [mm] (\IZ [/mm] \ {0} ) [mm] \to \IR [/mm] mit g(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2} - x^{2}} [/mm] |
was soll ich sagen, ich hab leider überhaupt keine ahnung, wie man solche reihenfunktionen zu behandeln hat.
zu a) oder überhaupt zum ansatz: sinn ergibt die aufgabe ja überhaupt nur, wenn die reihe konvergiert - wobei ich hier bereits ein problem hab, den grenzwert zu bestimmen. dass 1/n² gegen pi²/6 strebt, hab ich schon herausgefunden, aber wie verändert das +x² im nenner diese abschätzung?
und was würde ich dann mit so einer grenzfunktion machen, um die differenzierbarkeit der funktion nachzuweisen? tut mir leid, aber zu solchen reihenfunktionen finde ich irgendwie nichts gescheites im internet oder im script oder in meinem analysis-büchlein (forster und königsberger).
vielen dank fürs lesen,
hannes
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Hallo!
Zuerst: Ich habe so etwas auch noch nicht gemacht, denke aber dass ich so falsch mit meinen folgenden Ratschlägen nicht liegen kann... Trotzdem wird das hier nur eine Mitteilung, bis jemand, der "Ahnung" hat, das bestätigt / in die Mülltonne schmeißt.
> Man untersuche auf Differenzierbarkeit:
>
> a) f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2} + x^{2}}[/mm]
>
> b) g: [mm]\IR[/mm] \ [mm](\IZ[/mm] \ {0} ) [mm]\to \IR[/mm] mit g(x) =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2} - x^{2}}[/mm]
> was soll
> ich sagen, ich hab leider überhaupt keine ahnung, wie man
> solche reihenfunktionen zu behandeln hat.
>
> zu a) oder überhaupt zum ansatz: sinn ergibt die aufgabe
> ja überhaupt nur, wenn die reihe konvergiert - wobei ich
> hier bereits ein problem hab, den grenzwert zu bestimmen.
> dass 1/n² gegen pi²/6 strebt, hab ich schon
> herausgefunden, aber wie verändert das +x² im nenner
> diese abschätzung?
Du brauchst nicht wissen, wie deine Funktion f aussieht - du sollst nur nachprüfen, ob sie differenzierbar ist. Du hast schon festgestellt, dass die Reihe konvergiert, egal für welches x (das ist klar, weil der Nenner ja durch das x nur größer wird, und [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert ja schon. Insbesondere konvergiert die Reihe absolut, das heißt, du darfst umordnen (wie ich meine, eine wichtige Eigenschaft für die folgenden Rechnungen).
So, und nun musst du eben nachprüfen, ob die Funktion differenzierbar ist - wie macht man das? Indem man nachprüft, dass der Limes
[mm] $f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
für jedes x des Definitionsbereichs von f(x) existiert.
Also beginne:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+(x+h)^{2}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+x^{2}}}{h}$
[/mm]
Die folgende Umformung geht aufgrund der absoluten Konvergenz der Reihen:
= [mm] \lim_{h\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{n^{2}+(x+h)^{2}}-\frac{1}{n^{2}+x^{2}}}{h}\right)$
[/mm]
So, und nun noch ein wenig weiterrechnen.
Bei der anderen Reihe dürfte das ähnlich gehen - mach dir erstmal klar, warum der Definitionsbereich jetzt so aussieht, wie er aussieht 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Also der Hinweis von steppenhahn ist natürlich nicht falsch. Man kann natürlich ganz elementar mit dem Differenzenquotienten ansetzen.
Nur wird das wohl recht schwer sein da vernünftig mit rechnen zu können, da der Ausdruck doch recht kompliziert aussieht dann.
Einfacher geht es wohl so: Die Funktion [mm]f(x) := \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2+x^2}[/mm] ist Grenzwert der Funktionenfolge [mm]f_n(x) := \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2+x^2}[/mm].
Und nun gibt es ja Sätze über die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion.
LG, Alex
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eine solche reihe ist anscheinend diffbar, wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty} f_{n} [/mm] punktweise konvergiert (was wir ja schon wissen, inklusive grenzfunktion) und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} f_{n}' [/mm] normal konvergiert. die reihe der ableitungen hab ich jetzt mittels quotientenregel bestimmt und mit dem quotientenkriterium (ginge wahrscheinlich auch einfacher) ihre konvergenz unabhängig von x nachgewiesen.
das wäre jetzt eine ziemliche schreibarbeit, das hier reinzustellen aber so müsste doch alles i.O. sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Jup, ist richtig. Nur musst du aufpassen, die Konvergenz sollte ja normal/glm/was-auch-immer sein. Du hast geschrieben "unabhängig von x" - da kommst es jetzt aber drauf an, was das bei dir heissen soll. Es muss auf jeden Fall eben nicht nur punktweise konvergieren.
LG, Alex
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