differentialformen/dachprodukt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 08.02.2012 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Betrachten Sie
f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2}, (x_{1},x_{2}) [/mm] -> [mm] (x_{2},x_{1})
[/mm]
g [mm] :\IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{3}, (x_{1},x_{2}) [/mm] -> [mm] (x_{1}+x_{2},x_{1},x_{2})
[/mm]
h: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR, (x_{1},x_{2}) [/mm] -> [mm] (x_{1} e^{x_{2}})
[/mm]
Berechnen Sie
a) [mm] f*(dx_{1} \wedge dx_{2}) [/mm] + [mm] dx_{1} \wedge dx_{2}
[/mm]
b)f*d(f*h)
[mm] c)g*dx_{1}
[/mm]
[mm] d)g*(dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})
[/mm]
e)f*dh + dh
f)dh [mm] \wedge e^{-x_{2}}dx_{2} [/mm] |
hallöchen...
ich übe gerade für eine klausur und habe eine hoffentlich hilfreiche aufgabe gefunden und setze mich gerade mit ihr auseinander,was gar nicht so leicht ist.
bei dem ganzen rumrechnen verliere ich irgendwie den überblick, wenn rechenregel für welche funktionen gelten.also bis jetzt habe ich folgendes:
zu a) [mm] f*(dx_{1} \wedge dx_{2}) [/mm] + [mm] dx_{1} \wedge dx_{2}= [/mm] det(f) [mm] dx_{1} \wedge dx_{2} [/mm] + [mm] dx_{1} \wedge dx_{2} [/mm] = [mm] dx_{1} \wedge dx_{2} [/mm] mit det(f)=0
zu b) f*d(f*h)=f*(f*dh)=dh mit f*f* =id*=id
zu c) hier weiß ich nicht so genau.vielleicht [mm] g*dx_{1}=\summe_{i}^{} \bruch{\delta g}{\delta x_{i}}dx_{i}= [/mm] ?
zu [mm] d)g*(dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})= [/mm] ist quasi das gleiche problem wie in c)
zu e)f*dh + dh=d(f*h)+dh=?
zu f)dh [mm] \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}=(e^{x_{2}}+x_{1}e^{x_{2}}) \wedge e^{-x_{2}} dx_{2}= [/mm] ?
ich wäre echt froh über ein paar "...das stimmt", "...das ist falsch"oder "...hier könntest du das und das machen".
LG simplify
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Fr 10.02.2012 | | Autor: | simplify |
kann mir keiner helfen?eine teilaufgabe reicht auch schon.
na dann hoffe ich nochmal.
gruß simplify
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo simplify!
> Betrachten Sie
> f: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{2}, (x_{1},x_{2})[/mm] -> [mm](x_{2},x_{1})[/mm]
> g [mm]:\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{3}, (x_{1},x_{2})[/mm] ->
> [mm](x_{1}+x_{2},x_{1},x_{2})[/mm]
> h: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR, (x_{1},x_{2})[/mm] -> [mm](x_{1} e^{x_{2}})[/mm]
>
> Berechnen Sie
> a) [mm]f\*(dx_{1} \wedge dx_{2})[/mm] + [mm]dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
>
> b)f*d(f*h)
> [mm]c)g\*dx_{1}[/mm]
> [mm]d)g\*(dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})[/mm]
> e)f*dh + dh
> f)dh [mm]\wedge e^{-x_{2}}dx_{2}[/mm]
Mir ist die Notation nicht klar: was bedeutet der Stern (der in deiner Eingabe manchmal als Punkt erscheint, was noch mehr verwirrt)?
> hallöchen...
> ich übe gerade für eine klausur und habe eine
> hoffentlich hilfreiche aufgabe gefunden und setze mich
> gerade mit ihr auseinander,was gar nicht so leicht ist.
> bei dem ganzen rumrechnen verliere ich irgendwie den
> überblick, wenn rechenregel für welche funktionen
> gelten.also bis jetzt habe ich folgendes:
> zu a) [mm]f*(dx_{1} \wedge dx_{2})[/mm] + [mm]dx_{1} \wedge dx_{2}=[/mm]
> det(f) [mm]dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm] + [mm]dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm] = [mm]dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
> mit det(f)=0
>
> zu b) f*d(f*h)=f*(f*dh)=dh mit f*f* =id*=id
>
> zu c) hier weiß ich nicht so genau.vielleicht
> [mm]g*dx_{1}=\summe_{i}^{} \bruch{\delta g}{\delta x_{i}}dx_{i}=[/mm]
> ?
>
> zu [mm]d)g*(dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})=[/mm] ist quasi das
> gleiche problem wie in c)
>
> zu e)f*dh + dh=d(f*h)+dh=?
>
> zu f)dh [mm]\wedge e^{-x_{2}}dx_{2}=(e^{x_{2}}+x_{1}e^{x_{2}}) \wedge e^{-x_{2}} dx_{2}=[/mm]
Also das ist auf jeden Fall falsch, denn [mm] $dh=e^{x_{2}}dx_1+x_{1}e^{x_{2}}dx_2$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 10.02.2012 | | Autor: | simplify |
vielen dank schon mal.
also das sternchen bedeutet ,dass ein sagen wir mal k-Form zurückgezogen wird.
für f) habe ich das jetzt verbessert und komme auf
[mm] dh\wedge e^{-x_{2}}dx_{2}=(e^{x_{2}}dx_{1} [/mm] + [mm] x_{1} e^{x_{2}}dx_{2}) \wedge e^{-x_{2}}=e^{x_{2}}dx_{1} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2} [/mm] + [mm] x_{1} e^{x_{2}}dx_{2} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}
[/mm]
[mm] =e^{x_{2}}dx_{1} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}
[/mm]
da [mm] x_{1} e^{x_{2}}dx_{2} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2} [/mm] =0
kann ich das ergebnis noch weiter zusammenfassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen dank schon mal.
> also das sternchen bedeutet ,dass ein sagen wir mal k-Form
> zurückgezogen wird.
> für f) habe ich das jetzt verbessert und komme auf
> [mm]dh\wedge e^{-x_{2}}dx_{2}=(e^{x_{2}}dx_{1}[/mm] + [mm]x_{1} e^{x_{2}}dx_{2}) \wedge e^{-x_{2}}=e^{x_{2}}dx_{1} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}[/mm]
> + [mm]x_{1} e^{x_{2}}dx_{2} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}[/mm]
>
> [mm]=e^{x_{2}}dx_{1} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}[/mm]
> da [mm]x_{1} e^{x_{2}}dx_{2} \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}=0[/mm]
> kann ich das ergebnis noch weiter zusammenfassen?
Ja, Du kannst [mm] $e^{-x_{2}}$ [/mm] einfach nach vorne ziehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 10.02.2012 | | Autor: | simplify |
wenn ich [mm] e^{-x_{2}} [/mm] nach vorne zihe dann wird doch der alles null oder nicht?steh ich jetzt auf dem schlauch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wenn ich [mm]e^{-x_{2}}[/mm] nach vorne zihe dann wird doch der
> alles null oder nicht?steh ich jetzt auf dem schlauch?
[mm] e^{x_2} dx_1 \wedge e^{-x_{2}} dx_2 = e^{x_2}e^{-x_{2}}dx_1 \wedge dx_2= \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal die Formeln lesbar gemacht:
> Betrachten Sie
> f: [mm]\IR^{2}\to\IR^{2}, (x_{1},x_{2})\mapsto(x_{2},x_{1})[/mm]
> g [mm]:\IR^{2}\to\IR^{3}, (x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1}+x_{2},x_{1},x_{2})[/mm]
> h: [mm]\IR^{2}\to\IR, (x_{1},x_{2})\mapsto(x_{1} e^{x_{2}})[/mm]
>
> Berechnen Sie
> a) [mm]f^\ast(dx_{1} \wedge dx_{2}) + dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
>
> b)[mm]f^\astd(f^\ast h)[/mm]
> c)[mm]g^\ast dx_{1}[/mm]
> d)[mm]g^\ast(dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})[/mm]
> e)[mm]f\ast dh + dh[/mm]
> f)[mm]dh \wedge e^{-x_{2}}dx_{2}[/mm]
>
> hallöchen...
> ich übe gerade für eine klausur und habe eine
> hoffentlich hilfreiche aufgabe gefunden und setze mich
> gerade mit ihr auseinander,was gar nicht so leicht ist.
> bei dem ganzen rumrechnen verliere ich irgendwie den
> überblick, wenn rechenregel für welche funktionen
> gelten.also bis jetzt habe ich folgendes:
> zu a) [mm]f^\ast (dx_{1} \wedge dx_{2}) + dx_{1} \wedge dx_{2}= det(f) dx_{1} \wedge dx_{2} + dx_{1} \wedge dx_{2} = dx_{1} \wedge dx_{2}[/mm]
> mit det(f)=0
Ich nehme an, mit [mm] $\det(f)$ [/mm] meisnt du die Funktionaldeterminante. Die ist mitnichten Null, sondern
[mm] \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix} = -1 [/mm] .
Schrittweise:
[mm]f^\ast (dx_{1} \wedge dx_{2}) = (f^\ast dx_1) \wedge (f^\ast dx_2) = d(f^\ast x_1) \wedge d(f^\ast x_2) = dx_2 \wedge dx_1 = -dx_1 \wedge dx_2 [/mm] .
> zu b) [mm] $f^\ast d(f^\ast h)=f^\ast (f^\ast [/mm] dh)=dh$ mit [mm] $f^\ast f^\ast =id^\ast=id$ [/mm] .
Soweit richtig, aber du kannst noch die Definition von h einsetzen (wie bei f).
>
> zu c) hier weiß ich nicht so genau.vielleicht
> [mm]g^\ast dx_{1}=\summe_{i}^{} \bruch{\partial g}{\partial x_{i}}dx_{i}=[/mm]
[mm] g^\ast dx_1 = d(g^\ast x_1) [/mm],
und dann die Definition von g einsetzen.
> ?
>
> zu d) [mm]g^\ast (dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3})=[/mm] ist quasi das
> gleiche problem wie in c)
Ja, aber erst g unter die äußeren Ableitungen ziehen.
>
> zu e) [mm] $f^\ast [/mm] dh + [mm] dh=d(f^\ast [/mm] h)+dh=$?
$ [mm] f^\ast [/mm] h = [mm] h\circ [/mm] f$, und dann wieder die Definitionen einsetzen,
Viele Grüße
Rainer
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