differenzierbar in ganz R < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründen Sie, an welchen Stellen des Definitionsbereits die folgenden Funktionen y = f(x) gegebenenfalls nicht differenzierbar sind:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{|x|} [/mm] |
Hallo zusammen
Wenn ich die Funktion zeichne, sehe ich schon, dass es an der Stelle einen "Spitz" gibt. Die Funktion wird also bei x=0 nicht differenzierbar sein.
Stetigkeit ist auf ganz R gegeben, da f(x=0) = 0 ist. Sehe ich, verstehe ich.
Wie zeige ich jetzt mathematisch, dass die Funktion bei 0 nicht differenzierbar ist?
lieber gruess
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 04.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zeige, dass die Steigung, also der Differentialquotient von rechts und von links an die Null angenähert unterschiedliche Werte ergeben.
Also
[mm] \overbrace{\limes_{h\to0}\bruch{\wurzel[3]{|x\red{+}h|}-\wurzel[3]{|x|}}{h}}^{\text{Tangente "von rechts"}}\ne\overbrace{\limes_{h\to0}\bruch{\wurzel[3]{|x\red{-}h|}-\wurzel[3]{|x|}}{h}}^{\text{Tangente "von links"}}
[/mm]
Marius
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> [mm]\overbrace{\limes_{h\to0}\bruch{\wurzel[3]{|x\red{+}h|}-\wurzel[3]{|x|}}{h}}^{\text{Tangente "von rechts"}}\ne\overbrace{\limes_{h\to0}\bruch{\wurzel[3]{|x\red{-}h|}-\wurzel[3]{|x|}}{h}}^{\text{Tangente "von links"}}[/mm]
>
Jawohl, leuchtet ein.
Aber wie ich jetzt von Hand die Limes berechnen soll, sehe ich gerade nicht. Wie werde ich das h im Nenner los? Division durch Null geht ja sicher mal nicht.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 04.04.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ohne dass ichs weiter nachgerechnet habe, aber versuch mal, so zu erweitern, so dass du die 3. Binomische Formel benutzen kannst. Das koennte evtl. helfen.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Betrachtungen "von linlks" und von "von rechts " kann man sich schenken:
Für x>0 ist:
$ [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 0$
FRED
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