differenzierbare Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 27.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen $ y : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] $ , für die der Mittelwert auf jedem Intervall $ [0,x]$ mit $ [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] $ übereinstimmt. |
sorry..ich hab null ahnung was ich machen muss..:/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 27.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die Forderung hin, dann hast du eine Integralgleichung, daraus kannst du eine DGL machen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp:
Ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine integrierbare Funktion, so versteht man unter dem Mittelwert von $f$ auf $[a,b]$ das:
[mm] $\bruch{1}{b-a}*\integral_{a}^{b}{f(t) dt}$.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 29.01.2015 | | Autor: | LGS |
ist die Lösung dann
[mm] $\frac{1}{x}*\integral_0^{x} [/mm] f(t) dt = [mm] \frac{1}{x}*(F(x)-F(0))= \sqrt{y(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)}$ $|^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{F(x)^2-2F(x)F(0)+F(0)^2}{x^2} [/mm] = y(x) $
ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> ist die Lösung dann
>
> [mm]\frac{1}{x}*\integral_0^{x} f(t) dt = \frac{1}{x}*(F(x)-F(0))= \sqrt{y(x)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)}[/mm] [mm]|^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{F(x)^2-2F(x)F(0)+F(0)^2}{x^2} = y(x)[/mm]
>
>
> ist das so richtig?
Ja, aber so bringt Dir das nix. Du solltest y statt f schreiben !
Differenziere die Gl.
[mm]\frac{1}{x}*\integral_0^{x} y(t) dt = \sqrt{y(x)}[/mm]
Dann bekommst Du eine DGL für y
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 29.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hi
also dann
$ [mm] \frac{-1}{x^2}\cdot{}\integral_0^{x} [/mm] y(t) [mm] dt+\frac{1}{x}*y(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\sqrt{y(x)}} [/mm] $
?
|
|
|
| |
|
Ich würde von folgender Darstellung ausgehen:
[mm]\int_0^x f(t) ~ \mathrm{d}t = x \cdot \sqrt{f(x)}[/mm]
Jetzt verschwindet das Integral beim Differenzieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 29.01.2015 | | Autor: | LGS |
ist es dann
$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $
[mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm] $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$
[/mm]
?
also summa summarum
$ [mm] \frac{1}{x}\cdot{}\integral_0^{x} [/mm] y(t) dt = [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] $ $ |*x$
$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $
nun [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm]
deshalb $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$ [/mm]
Alle differenzierbaren Funktionen $ y : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] $ sind $y(t) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}$ [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 29.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
t ist doch nur die Integrationsvariable, du differenzierst nach x! das Integral hängt nicht von t ab, sondern nur vn den Grenzen! Was sagt die Hauptsatz denn aus?
auch ddie rechte Seite hast du weder Produkt noch Kettenregel angewandt.
also versuchs noch mal langsam und gründlich.
f(t)=g(x) ist recht sinnlos, das kann nur eine konstante Funktion
vielleicht siehst du es besser wenn du deine noch richtige Formel
$ [mm] \Rightarrow \frac{F(x)-F(0)}{x}=\sqrt{y(x)} [/mm] $ differenzierst (erst mit x multiplizieren macht es einfacher.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Do 29.01.2015 | | Autor: | LGS |
also dann nach differentation und umformung hab
$f(x)-f(0) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}*x+\sqrt{y(x)} [/mm] $
raus, aber ich weis nicht wie ich dieses ergebnis interpretieren soll ..:/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Fr 30.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> also dann nach differentation und umformung hab
>
>
> [mm]f(x)-f(0) = \frac{1}{2\sqrt{y(x)}}*x+\sqrt{y(x)}[/mm]
>
> raus, aber ich weis nicht wie ich dieses ergebnis
> interpretieren soll ..:/
Gar nicht, denn es ist völlig chaotisch und falsch !
1. Warum plötzlich f ??
2. Wo kommt f(0) her ?
3. Kennst Du die Kettenregel nicht ?
Zu 1. : Die Ausgangsgleichung lautet:
$ [mm] \int_0^x [/mm] y(t) ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] = x [mm] \cdot \sqrt{y(x)} [/mm] $
Zu 2:. Wenn man in dieser Gleichung links differenziert, bekommt man y(x).
Zu 3.: Wenn man [mm] \sqrt{y(x)} [/mm] differenziert, bekommt man mit der Kettenregel:
[mm] \bruch{y'(x)}{2*\sqrt{y(x)}}.
[/mm]
FRED
|
|
|
|
