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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | Sei [mm]\textstyle L^2(\mathbb{R}):=\left\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\left|f\texttt{ messbar und }\int_{\mathbb{R}}{\left|f(t)\right|^2\operatorname{d}\!t}<\infty\right.\right\}[/mm]. Sei [mm]f\in L^2(\mathbb{R})[/mm]. Dann gilt:
(1) Ist [mm]f\![/mm] differenzierbar mit [mm]f'\in L^2(\mathbb{R})[/mm]. Dann gilt: [mm]\widehat{f'}(\omega)=2\pi\!\operatorname{i}\omega\hat{f}(\omega)[/mm].
(2) Ist [mm]\hat{f}[/mm] differenzierbar, so gilt mit [mm]g(t):=tf(t)\![/mm]: [mm]\hat{f}'(\omega)=-2\pi\!\operatorname{i}\hat{g}(\omega)[/mm]. |
(1) Es gilt wegen der Produktregel:
[mm]\frac{\partial}{\partial t}f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}=f'(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}-2\pi\!\operatorname{i}\omega f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}[/mm]
Also gilt im Umkehrschluss:
[mm]f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}=\widehat{f'}(\omega) -2\pi\!\operatorname{i}\omega \hat{f}(\omega)\Leftrightarrow 2\pi\!\operatorname{i}\omega \hat{f}(\omega) = \widehat{f'}(\omega)-f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}[/mm]
Wie kann ich hier den zweiten Term im zweiten Teil der Gleichung "loswerden"? Denn sonst gilt die Aussage nur für [mm]f(t)=0\![/mm].
(2) Hier habe ich ein ähnliches Problem wie bei (1):
[mm]\frac{\partial}{\partial\omega}-f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}=-e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}-f(t)(-2\pi\!\operatorname{i}t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}[/mm]
Also gilt im Umkehrschluss:
[mm]-f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}=-\int{e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!\omega}-(-2\pi\!\operatorname{i})\int{tf(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!\omega}[/mm]
Hier weiß ich leider nicht weiter. Bei der Fouriertransformation wird doch nach [mm]t\![/mm] integriert, oder?
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 07.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Ich weiß ehrlich gesagt nicht so recht, was du da grade machst.
Die Fourier-Transformierte zu f lautet
[mm]\hat{f} (\omega)= \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)exp(-i2\pi \omega t) dt} [/mm]
Die sollst du jetzt differenzieren. Den Integranden nach t abzuleiten bringt dich nicht weiter.
Gruß,
Doing
Edit: Entschuldige, ich hab da wohl was missverstanden. Du willst die Fourier-Transformierte der Funktion f' bestimmen stimmts?
In dem Falle kannst du diese sofort berechnen (sofern du weißt dass diese auch existiert usw.), und zwar mit partieller Integration.
Und bei der b) soll wohl die Ableitung der Fouriertransformierten bestimmt werden. Hier musst du begründen, wieso du unter dem Integral differenzieren darfst.
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Hallo Doing,
> Edit: Entschuldige, ich hab da wohl was missverstanden.
> Du willst die Fourier-Transformierte der Funktion f'
> bestimmen stimmts?
> In dem Falle kannst du diese sofort berechnen (sofern du
> weißt dass diese auch existiert usw.), und zwar mit
> partieller Integration.
Ich habe es jetzt mit partieller Integration versucht. Da bleibt leider ein störender Term übrig:
[mm]\int_{\mathbb{R}}{f'(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t}=
\lim_{B\to\infty}{\left(\int_{-B}^0{\underbrace{f'(t)}_{=:u'}\underbrace{e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}}_{=:v}\operatorname{d}\!t}+
\int_0^B{\underbrace{f'(t)}_{=:u'}\underbrace{e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}}_{=:v}\operatorname{d}\!t}\right)}[/mm]
[mm]=\lim_{B\to\infty}{\left(\left[f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\right]_{-B}^0 -
\int_{-B}^0{f(t)(-2\pi\!\operatorname{i}\omega)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t} +
\left[f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\right]_0^B -
\int_0^B{f(t)(-2\pi\!\operatorname{i}\omega)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t}\right)}[/mm]
[mm]=\lim_{B\to\infty}{\left(f(0) - f(-B)e^{2\pi\!\operatorname{i}\omega B} + f(B)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega B} - f(0)\right)} + 2\pi\!\operatorname{i}\omega\lim_{B\to\infty}{\left(\int_{-B}^0{f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t} + \int_0^B{f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t}\right)}[/mm]
[mm]= \textcolor{red}{\lim_{B\to\infty}{\left(f(B)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega B} - f(-B)e^{2\pi\!\operatorname{i}\omega B}\right)}} +
2\pi\!\operatorname{i}\omega \hat{f}(\omega)[/mm]
Wie kann ich zeigen, daß der rote Term 0 ist, um auf die zu beweisende Aussage zu kommen?
> Und bei der b) soll wohl die Ableitung der Fouriertransformierten bestimmt werden. Hier musst du begründen, wieso du unter dem Integral
> differenzieren darfst.
Laut der Aufgabenstellung ist [mm]\hat{f}[/mm] differenzierbar. Reicht das so als Begründung, oder muß man da noch mehr schreiben? Jedenfalls rechne ich dann folgendermaßen:
[mm]\hat{f}'(\omega) = \int_{\mathbb{R}}{\frac{\partial}{\partial \omega}{f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}}\operatorname{d}\!t}[/mm]
[mm]= \int_{\mathbb{R}}{\left(e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t} + f(t)(-2\pi\!\operatorname{i}t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\right)\operatorname{d}\!t}=\int_{\mathbb{R}}{e^{-2\pi\!\operatorname{i}t}\operatorname{d}\!t}-2\pi\!\operatorname{i}\int_{\mathbb{R}}{tf(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}\operatorname{d}\!t}[/mm]
[mm]= \textcolor{magenta}{\int_{\mathbb{R}}{e^{-2\pi\!\operatorname{i}t}\operatorname{d}\!t}}-2\pi\!\operatorname{i}\hat{g}(\omega)[/mm]
Wie kann ich zeigen, daß der Magenta-Term 0 ist, um die Aussage zu beweisen?
Danke!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:08 Mo 08.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich zeigen, daß der rote Term 0 ist, um auf die
> zu beweisende Aussage zu kommen?
EDIT: Das ist doch im Allgemeinen nicht 0 - alle Beweise, die ich finden konnte, gingen davon aus, dass der Term gegen 0 geht. Ich schaue mal weiter nach ...
SEcki
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Hallo [mm] Karl,\\
[/mm]
zu Aufgabe [mm] (1):\\
[/mm]
Der Term $ [mm] \textcolor{red}{\lim_{B\to\infty}{\left(f(B)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\nu B} - f(-B)e^{2\pi\!\operatorname{i}\nu B}\right)}}$ [/mm] ist gleich Null, da [mm] $f(\pm B)\rightarrow [/mm] 0$ für $B [mm] \rightarrow \infty$, [/mm] wegen der in der Aufgabe vorausgesetzten Quadratintegrierbarkeit ($f [mm] \in L^2(\mathbb{R})$) [/mm] und weil der Exponentialterm auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] beschränkt [mm] ist.\\
[/mm]
zu Aufgabe [mm] (2)\\
[/mm]
Der "'Magenta-Term"' ist einfach ein (wohl beim Ableiten entstandener) Fehler. Es gilt:
$ [mm] \hat{f}'(\omega) [/mm] = [mm] \int_{\mathbb{R}}{\frac{d}{d \omega}{f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}}\operatorname{d}\!t} [/mm] = [mm] -2\pi\!\operatorname{i}\int_{\mathbb{R}}{t {f(t)e^{-2\pi\!\operatorname{i}\omega t}}\operatorname{d}\!t} [/mm] $.
Noch eine Bemerkung: Die Möglichkeit der Vertauschung von uneigentlichem Integral und Ableitung, wird z.B. durch die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit von $tf(t)$ auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sichergestellt. Ich vermute, dass diese oder eine ähnliche Voraussetzung in der Aufgabe fehlt.
Gruß mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 So 04.04.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Zusammen,
Danke für eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Den Rechenfehler beim Magentaterm habe ich übersehen. Danke für den Hinweis mathfunnel!
Grüße
Karl
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