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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $F:\IR \to \IR, t \mapsto F(t)$ definiert durch
$F(t):=\integral_0^1{\bruch{e^{-(1+x^2)t^2}}{1+x^2}dx}$
$(i)$ Zeigen Sie, dass F differenzierbar ist mit der Ableitung
$F'(t)=-2e^{-t^2}\integral_0^t{e^{-u^2}du}.$
$(ii)$ Zeigen Sie
$(\integral_0^t{e^{-u^2}}du})^2=\bruch{\pi}{4}-F(t)$ und $\limes_{t \to \infty}{\integral_0^t{e^{-u^2}}du}}=\bruch{\sqrt{\pi}}{2}$. |
Hallo :)
Ich komme mit der Aufgabe irgendwie noch nicht so ganz zurecht.
Soll ich bei i) zeigen, dass F differenzierbar ist und dass das gegebene F' die Ableitung von F ist, oder wie habe ich das zu verstehen?
Und bei der zweiten fehlt mir einfach der Ansatz :)
Vielen Dank
LG Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:13 Mo 23.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Okay, also ich denke ich muss es mit dem Differenzenquotienten machen, also folgendermaßen:
[mm] $\limes_{h \to 0}{\bruch{F(h+t_0)-F(t_0)}{h}}=\limes_{h \to 0}{\bruch{\integral_0^1{\bruch{e^{-(1+x^2)(h-t_0)^2}}{1+(h-t_0)^2}}-\integral_0^1{\bruch{e^{-(1+x^2)t_0^2}}{(1+t_0)^2}}}{h}}
[/mm]
Aber ich weiß irgendwie nicht genau wie weiter machen :)
Vielen Dank
LG Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:40 Mo 23.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Schau' mal hier:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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> Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
>
Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
Jedoch weiß ich immer noch nicht recht weiter, bzw. welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden muss! :-/
>
> Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
> >
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> Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> Jedoch weiß ich immer noch nicht recht weiter, bzw.
> welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> muss! :-/
Satz 24 (b)
FRED
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> >
> > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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> > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
> > >
> >
> > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht weiter, bzw.
> > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > muss! :-/
>
> Satz 24 (b)
>
> FRED
Danke :)
Demnach habe ich dann:
[mm] $f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}$
[/mm]
oder?
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> > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > Schau' mal hier:
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> > > >
> > >
> >
> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
> > > >
> > >
> > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht weiter, bzw.
> > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > muss! :-/
> >
> > Satz 24 (b)
> >
> > FRED
>
> Danke :)
>
> Demnach habe ich dann:
>
> [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
>
> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
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> oder?
Ja
FRED
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> > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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> > > > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
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> > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht weiter,
> bzw.
> > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > muss! :-/
> > >
> > > Satz 24 (b)
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> > > FRED
> >
> > Danke :)
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> > Demnach habe ich dann:
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> > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
>
> >
> > oder?
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> Ja
>
> FRED
Okay, und dann:
[mm] $\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx$
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt von
[mm] $\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx$ [/mm] auf [mm] $\integral_0^te^{-u^2}du$
[/mm]
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> > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
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> > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht
> weiter,
> > bzw.
> > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > muss! :-/
> > > >
> > > > Satz 24 (b)
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Danke :)
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> > > Demnach habe ich dann:
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> > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
> > >
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
>
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> > > oder?
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> > Ja
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> > FRED
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> Okay, und dann:
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> [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
>
> Aber wie komme ich jetzt von
> [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
Substituiere [mm] u=t^2x^2
[/mm]
Edit: es muß natürlich u=tx lauten
FRED
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> > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:04 Mo 23.01.2012 | | Autor: | leduart |
Tipfehler
richtig: u=t*x; [mm] u^2=t^2*x^2
[/mm]
Gruss leduart
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> > > > > > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
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> > > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht
> > weiter,
> > > bzw.
> > > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > > muss! :-/
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> > > > > Satz 24 (b)
> > > > >
> > > > > FRED
> > > >
> > > > Danke :)
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> > > > Demnach habe ich dann:
> > > >
> > > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
> > > >
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
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> > > > oder?
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> > > Ja
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> > > FRED
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> > Okay, und dann:
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> > [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
>
> >
> > Aber wie komme ich jetzt von
> > [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
>
> Substituiere [mm]u=t^2x^2[/mm]
>
> FRED
Okay, das klingt logisch :)
Aber wie kommt dadurch dann die obere Grenze des Intervalls zustande, also t statt 1?
>
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> > > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > Schau' mal hier:
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> >
> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
> > > > > > > >
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> > > > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht
> > > weiter,
> > > > bzw.
> > > > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > > > muss! :-/
> > > > > >
> > > > > > Satz 24 (b)
> > > > > >
> > > > > > FRED
> > > > >
> > > > > Danke :)
> > > > >
> > > > > Demnach habe ich dann:
> > > > >
> > > > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
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> > > > > oder?
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> > > > Ja
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> > > > FRED
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> > > Okay, und dann:
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> > > [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
>
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> > > Aber wie komme ich jetzt von
> > > [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf
> [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
> >
> > Substituiere [mm]u=t^2x^2[/mm]
Ich hab mich verschrieben. Substituiere u=tx
> >
> > FRED
>
>
> Okay, das klingt logisch :)
>
> Aber wie kommt dadurch dann die obere Grenze des Intervalls
> zustande, also t statt 1?
Wenn x=1 ist, so ist U=t
FRED
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> > > > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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> > > > > > > > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
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> > > > > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht
> recht
> > > > weiter,
> > > > > bzw.
> > > > > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > > > > muss! :-/
> > > > > > >
> > > > > > > Satz 24 (b)
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> > > > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > Danke :)
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> > > > > > Demnach habe ich dann:
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> > > > > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
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> > > > > Ja
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> > > > Okay, und dann:
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> > > > [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
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> > > > Aber wie komme ich jetzt von
> > > > [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf
> > [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
> > >
> > > Substituiere [mm]u=t^2x^2[/mm]
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>
> Ich hab mich verschrieben. Substituiere u=tx
> > >
> > > FRED
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> > Okay, das klingt logisch :)
> >
> > Aber wie kommt dadurch dann die obere Grenze des Intervalls
> > zustande, also t statt 1?
>
> Wenn x=1 ist, so ist U=t
Aber x ist doch nicht zwangsläufig 1, oder?
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> FRED
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> > > > > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > > > Schau' mal hier:
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> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
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> > > > > > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht
> > recht
> > > > > weiter,
> > > > > > bzw.
> > > > > > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > > > > > muss! :-/
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> > > > > > > > Satz 24 (b)
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> > > > > > > > FRED
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> > > > > > > Danke :)
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> > > > > > > Demnach habe ich dann:
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> > > > > > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
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> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
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> > > > > Okay, und dann:
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> > > > > [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
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> > > > > Aber wie komme ich jetzt von
> > > > > [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf
> > > [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
> > > >
> > > > Substituiere [mm]u=t^2x^2[/mm]
> >
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> > Ich hab mich verschrieben. Substituiere u=tx
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> > > > FRED
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> > >
> > > Okay, das klingt logisch :)
> > >
> > > Aber wie kommt dadurch dann die obere Grenze des Intervalls
> > > zustande, also t statt 1?
> >
> > Wenn x=1 ist, so ist U=t
>
> Aber x ist doch nicht zwangsläufig 1, oder?
Wir haben das Integral
$ [mm] \integral_0^1e^{-t^2x^2}dx [/mm] $ auf
Wenn man substituiert u=xt, so muß man auch die Integrationsgrenzen substituiren.
Wenn x=0 ist , ist im neuen Integral die untere Integrationsgrenze u=0
Wenn x=1 ist , ist im neuen Integral die obere Integrationsgrenze u=t
Schau Dir die Substitutionsregel nochmal an !
FRED
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> > FRED
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> > > > > > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:45 Mo 23.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Ahhh,natürlich, okay, sorry, das habe ich völlig übersehen :)
Und wie gehe ich bei der ii) vor?
Gibt es da irgendwelche Tricks, wie man das einfacher zeigen kann?
Vielen Dank
LG
Dudi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich habe die erste Teilaufgabe von der ii) jetzt glaube ich gelöst.
Ich habe einfach beide Seiten nach t abgeleitet:
$I(t)=(\int_0^t{e^{-u^2}}dx})^2$
$I'(t)=2(\int_0^t{e^{-u^2}}du})*e^{-t^2}$
$G(t)=\bruch{\pi }{4}-F(t)$
$G'(t)=-F'(t)=2e^{-t^2}(\int_0^t{e^{-u^2}}du})=I'(t)$
Somit gilt:
$I(t)=G(t)$
Aber ich komme bei der zweiten Teilaufgabe, also
$\lim_{n \to infty}{(\int_0^t{e^{-u^2}}du})}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
nicht weiter.
Wenn ich Die erste teilaufgabe verwende, dann müsste ich ja noch den Limes von F(t) bestimmen, aber irgendwie komme ich da nicht weiter.
Bitte um Hilfe.
Vielen Dank
LG Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe die erste Teilaufgabe von der ii) jetzt
> glaube ich gelöst.
> Ich habe einfach beide Seiten nach t abgeleitet:
>
> [mm]I(t)=(\int_0^t{e^{-u^2}}dx})^2[/mm]
> [mm]I'(t)=2(\int_0^t{e^{-u^2}}du})*e^{-t^2}[/mm]
> [mm]G(t)=\bruch{\pi }{4}-F(t)[/mm]
>
> [mm]G'(t)=-F'(t)=2e^{-t^2}(\int_0^t{e^{-u^2}}du})=I'(t)[/mm]
>
> Somit gilt:
> [mm]I(t)=G(t)[/mm]
>
> Aber ich komme bei der zweiten Teilaufgabe, also
>
> [mm]\lim_{n \to infty}{(\int_0^t{e^{-u^2}}du})}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}[/mm]
>
> nicht weiter.
>
> Wenn ich Die erste teilaufgabe verwende, dann müsste ich
> ja noch den Limes von F(t) bestimmen, aber irgendwie komme
> ich da nicht weiter.
Überlege Dir, dass Du Integration und Grenzübergang t [mm] \to \infty [/mm] vertauschen darfst.
FRED
> Bitte um Hilfe.
>
> Vielen Dank
> LG Dudi
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> > Also ich habe die erste Teilaufgabe von der ii) jetzt
> > glaube ich gelöst.
> > Ich habe einfach beide Seiten nach t abgeleitet:
> >
> > [mm]I(t)=(\int_0^t{e^{-u^2}}dx})^2[/mm]
> > [mm]I'(t)=2(\int_0^t{e^{-u^2}}du})*e^{-t^2}[/mm]
> > [mm]G(t)=\bruch{\pi }{4}-F(t)[/mm]
> >
> > [mm]G'(t)=-F'(t)=2e^{-t^2}(\int_0^t{e^{-u^2}}du})=I'(t)[/mm]
> >
> > Somit gilt:
> > [mm]I(t)=G(t)[/mm]
> >
> > Aber ich komme bei der zweiten Teilaufgabe, also
> >
> > [mm]\lim_{n \to infty}{(\int_0^t{e^{-u^2}}du})}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}[/mm]
>
> >
> > nicht weiter.
> >
> > Wenn ich Die erste teilaufgabe verwende, dann müsste ich
> > ja noch den Limes von F(t) bestimmen, aber irgendwie komme
> > ich da nicht weiter.
>
> Überlege Dir, dass Du Integration und Grenzübergang t [mm]\to \infty[/mm]
> vertauschen darfst.
Ja, das habe ich mir eben auch überlegt.
Habe auch gedacht, dass ich vielleicht durch das Majorantenkriterium zeigen kann, dass die Folge gleichm. konvergent ist, mit der Majorante [mm] $1/e^t^2$ [/mm] wäre das denn zulässig?
VIelen Dank
LG Dudi
>
> FRED
> > Bitte um Hilfe.
> >
> > Vielen Dank
> > LG Dudi
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 26.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > > > > Schau' mal hier:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Okay, ich habs mir mal angeschaut und durchgelesen.
> > > > > Jedoch weiß ich immer noch nicht recht
> weiter,
> > bzw.
> > > > > welche dieser ganzen Regeln ich jetzt letztendlich anwenden
> > > > > muss! :-/
> > > >
> > > > Satz 24 (b)
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Danke :)
> > >
> > > Demnach habe ich dann:
> > >
> > > [mm]f(t,x)=\bruch{e^-(^+x^2)t^2}{1+x^2}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]F'(t)=\bruch{d}{dt}\integral_0^1{f(t,x)dx}=\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > oder?
> >
> > Ja
> >
> > FRED
>
>
> Okay, und dann:
>
> [mm]\integral_0^1{\bruch{\delta f}{\delta t} (t,x) dx}=\integral_0^1{-2te^{-(1+x^2)t^2}dx}=-2te^{-t^2}\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm]
Kleine Zwischenfrage: In der Aufgabenstellung heißt die Ableitung -2e... ihr leitet aber zu -2te... ab. Also ich hätte jetzt auch irgendwie gedcaht, dass das t da mit reingehört, aber wäre dann nicht die Aufgabenstellung falsch?
> Aber wie komme ich jetzt von
> [mm]\integral_0^1e^{-t^2x^2}dx[/mm] auf [mm]\integral_0^te^{-u^2}du[/mm]
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Das Stichwort ist hier: Parameterintegral
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mi 25.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] F'(t)=-2te^{-t^2}\integral_0^t{e^{-t^2x^2}du}. [/mm] $
darin u=t*x du=tdx dazu braucht man das t vorne und erhält
$ [mm] F'(t)=-2e^{-t^2}\integral_0^t{e^{-u^2}du}. [/mm] $
Gruss leduart
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