differenzierbarkeitU.Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Fr 30.12.2005 | | Autor: | tom.bg |
| Aufgabe | An welchen Stellen ist die Funktion differenzierbar? Bestimmen Sie die Ableitung an diesen Stellen.
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ; x [mm] \mapsto \bruch{|x|}{1+ x^{2}} [/mm] |
Wer kann mir bitte helfen?? keine Ahnung wie ich anfangen soll weil ich mit Differenzierbarkeit noch nicht klar komme.
danke;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tom!
Lösen wir mal zunächst den Betrag Deiner Funktion auf:
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{-x}{1+x^2}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \bruch{+x}{1+x^2}, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Für Werte größer oder kleiner als Null lässt sich die Ableitung bestimmen. Dort ist die Funktion auch differenzierbar, da sie sich aus differenzierbaren Teilfunktionen zusammensetzt.
[mm] f'(x)=\begin{cases} \bruch{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \bruch{x^2-1}{\left(1+x^2\right)^2}, & \mbox{für } x \ > \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
"Knackpunkt" ist die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$. Um an dieser Stelle die Differenzierbarkeit nachzuweisen, musst Du zeigen, dass die Werte der Ableitungsfunktion sowohl als rechtsseitiger Grenzwert als auch als linksseitiger Grenzwert übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f'(x)$
[/mm]
Stimmen diese beiden Grenzwerte nicht überein, ist die Funktion an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht differenzierbar.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Di 03.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
habe die Lösung, naja nicht ganz formal
rausgefunden, und zwar das der limes
von oben und unten gegen die null
nicht gleich ist, bzw -1 und 1,
aber könnte mir jemand sagen wie ich
sowas formal aufschreibe?
MFG
kuminitu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen kuminitu!
Das Ergebnis stimmt. Hier mal die Formulierung für den linksseitigen Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-0^2}{\left(1+0^2\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1^2} [/mm] \ =\ +1$
Für den rechtsseitigen Grenzwert analog ...
Gruß
Loddar
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