differenzierbarkeit in (0,0) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Do 17.07.2008 | | Autor: | piep |
| Aufgabe | Gegeben Sei die Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}, & \mbox{falls } (xy) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f in (0,0) differenzierbar ist. |
Hallo,
also ich weiß überhaupt grad nicht wie ich zeige, dass es in (0,0) differenzierbar ist. Zeige ich dafür, dass alle Richtungsableitungen in diesem Punkte exisitieren? Oder wie sieht das aus?
Also die Definition einer Richtungsableitung ist ja
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(p+hv)-f(p)}{\parallel h \parallel}
[/mm]
wenn p der Punkt ist, in dem ich die Richtungsableitung betrachte und v die Richtung. In diesem Fall wäre dann ja v = [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] , oder? Bin ganz durcheinander. Wie würde ich dann vorgehen? Wäre echt dankbar für kleine Schübse! ;)
gruß piep
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo piep,
> Gegeben Sei die Funktion
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}, & \mbox{falls } (xy) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f in (0,0) differenzierbar ist.
> Hallo,
>
> also ich weiß überhaupt grad nicht wie ich zeige, dass es
> in (0,0) differenzierbar ist. Zeige ich dafür, dass alle
> Richtungsableitungen in diesem Punkte exisitieren? Oder wie
> sieht das aus?
Nein, die Existenz aller Richtungsableitungen reicht für Differenzierbarkeit nicht aus
> Also die Definition einer Richtungsableitung ist ja
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(p+hv)-f(p)}{\parallel h \parallel}[/mm]
>
> wenn p der Punkt ist, in dem ich die Richtungsableitung
> betrachte und v die Richtung. In diesem Fall wäre dann ja v
> = [mm](v_{1}, v_{2})[/mm] , oder? Bin ganz durcheinander. Wie würde
> ich dann vorgehen? Wäre echt dankbar für kleine Schübse! ;)
Gemeint ist hier doch Differenzierbarkeit im Sinne von totaler Diffbarkeit.
Schaue dir die Definition dazu nochmal an.
Was musst du dazu zeigen?
Schreib's mal auf...
Alternativ gibt's doch den Satz, dass wenn die partiellen Ableitungen von f im Punkt a existieren und stetig in einer Umgebung [mm] $B_{\varepsilon}(a)$ [/mm] von a sind, dann ist f differenzierbar in a
>
> gruß piep
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hoffe, das schubst dich auf den Weg 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Do 17.07.2008 | | Autor: | piep |
Hallo schachuzipus
>
> Gemeint ist hier doch Differenzierbarkeit im Sinne von
> totaler Diffbarkeit.
>
> Schaue dir die Definition dazu nochmal an.
>
> Was musst du dazu zeigen?
>
> Schreib's mal auf...
>
Okay, also meine Definition von totaler Differenzierbarkeit ist ja, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(p+h)--f(p)-f'(p)(h)}{\parallel h \parallel} [/mm] = 0
für p wieder der Punkt, in meinem Fall ja p=(0,0)
muss ich dann h hier als h= [mm] (h_{1},h_{2}) [/mm] oder als h = (h,h) ?
Und dann ? also in meinem Fall wäre doch z.b. f(p+h)-f(p) = f(h), oder?
>
> Alternativ gibt's doch den Satz, dass wenn die partiellen
> Ableitungen von f im Punkt a existieren und stetig in einer
> Umgebung [mm]B_{\varepsilon}(a)[/mm] von a sind, dann ist f
> differenzierbar in a
>
da weiß ich spontan nicht wo der in meiner vorlesung steht, bzw. ob er da steht.
>
> Hoffe, das schubst dich auf den Weg
>
ja ein bisschen weiter bin ich gekommen ;) Danke schonmal!!
> LG
>
> schachuzipus
gruß piep
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[mm]f[/mm] ist genau dann bei [mm](0,0)[/mm] differenzierbar und [mm]f'(0,0) = (a,b)[/mm] die Ableitung, wenn
[mm]\frac{\left| f(x,y) - f(0,0) - (a,b) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|}{\left| (x,y) \right|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \to (0,0)[/mm]
gilt. Die Betragsstriche stehen für die euklidische Norm (man darf in der Definition aber auch jede andere Norm nehmen). Das Problem bei dieser Definition ist, daß man den Wert [mm](a,b)[/mm] der Ableitung (also den Gradienten) schon kennen muß, um die Definition anwenden zu können. Meistens bei solchen Übungsaufgaben aus dem Elementarbereich ist das aber [mm](a,b) = (0,0)[/mm]. Und so auch hier:
[mm]\frac{|x|^3}{x^2 + y^2} = |x| \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \leq |x|[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 17.07.2008 | | Autor: | piep |
> [mm]f[/mm] ist genau dann bei [mm](0,0)[/mm] differenzierbar und [mm]f'(0,0) = (a,b)[/mm]
> die Ableitung, wenn
>
> [mm]\frac{\left| f(x,y) - f(0,0) - (a,b) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|}{\left| (x,y) \right|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \to (0,0)[/mm]
>
> gilt. Die Betragsstriche stehen für die euklidische Norm
> (man darf in der Definition aber auch jede andere Norm
> nehmen). Das Problem bei dieser Definition ist, daß man den
> Wert [mm](a,b)[/mm] der Ableitung (also den Gradienten) schon kennen
> muß, um die Definition anwenden zu können. Meistens bei
> solchen Übungsaufgaben aus dem Elementarbereich ist das
> aber [mm](a,b) = (0,0)[/mm]. Und so auch hier:
>
> [mm]\frac{|x|^3}{x^2 + y^2} = |x| \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \leq |x|[/mm]
muss ich denn diese "Abschätzung" da machen, also den letzten Schritt mit dem kleiner gleich?
Und wenn ich jetzt (x,y) gegen 0 laufen lasse, dann ist der Ausdruck 0 und deshalb ist es differenzierbar in 0 ?
Ich kann also x und y gleichzeitig gegen 0 laufen lassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > [mm]f[/mm] ist genau dann bei [mm](0,0)[/mm] differenzierbar und [mm]f'(0,0) = (a,b)[/mm]
> > die Ableitung, wenn
> >
> > [mm]\frac{\left| f(x,y) - f(0,0) - (a,b) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|}{\left| (x,y) \right|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ (x,y) \to (0,0)[/mm]
>
> >
> > gilt. Die Betragsstriche stehen für die euklidische Norm
> > (man darf in der Definition aber auch jede andere Norm
> > nehmen). Das Problem bei dieser Definition ist, daß man den
> > Wert [mm](a,b)[/mm] der Ableitung (also den Gradienten) schon kennen
> > muß, um die Definition anwenden zu können. Meistens bei
> > solchen Übungsaufgaben aus dem Elementarbereich ist das
> > aber [mm](a,b) = (0,0)[/mm]. Und so auch hier:
> >
> > [mm]\frac{|x|^3}{x^2 + y^2} = |x| \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \leq |x|[/mm]
>
> muss ich denn diese "Abschätzung" da machen, also den
> letzten Schritt mit dem kleiner gleich?
Den solltest du machen um zu sehen, dass das ganze dann gegen Null läuft.
>
> Und wenn ich jetzt (x,y) gegen 0 laufen lasse, dann ist der
> Ausdruck 0 und deshalb ist es differenzierbar in 0 ?
> Ich kann also x und y gleichzeitig gegen 0 laufen lassen?
Es muss für jede Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] mit [mm](x_n,y_n)\to (0,0)[/mm] gelten.
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