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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 30.04.2010 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | Sei [mm] U\subset [/mm] X, U offen, U [mm] \not= \emptyset [/mm] , [mm] f\in C^m(U,Y), m\in \IN [/mm] , [mm] x_0 \in [/mm] U , [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] Df(x_0)\in [/mm] Iso(X,Y). Dann gilt:
blabla
Definiere:
[mm] U^{\*} [/mm] := [mm] \{x-x_0 : x\in U\},
[/mm]
[mm] $f^{\*}(x) [/mm] := [mm] (Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]$ $\forall x\in U^\*$
[/mm]
dann ist [mm] Df^\*(0)=I [/mm] (I=Identität) |
hallo zusammen,
es geht hier um einen Beweis, bei dem ich schon ganz am Anfang nicht drauskomme. Ich weiss, ich stelle mich allgemein etwas blööd an, wenn es ums ableiten geht, aber ich verstehe echt nicht warum jetzt [mm] Df^\*(0)=I [/mm] sein soll.
was ich mir überlegt habe (warscheinlich falsch):
[mm] Df^\*(x)=D\{Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]\}
[/mm]
= [mm] D(Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]+(Df(x_0))^-^1*D[f(x+x_0)-f(x_0)] [/mm]
= [mm] D(Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]+(Df(x_0))^-^1*[Df(x+x_0)-Df(x_0)] [/mm]
= [mm] D(Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]+(Df(x_0))^-^1Df(x+x_0)-(Df(x_0))^-^1Df(x_0) [/mm]
= [mm] D(Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)]+(Df(x_0))^-^1Df(x+x_0)-I
[/mm]
der erste Teil ist für x=0 natürlich 0 das heisst es bleibt noch
[mm] (Df(x_0))^-^1Df(x+x_0)-I
[/mm]
ist das soweit richtig? und wie würde man denn jetzt auf I kommen?
ah und wenn ich schon am fragen bin: weiss jemand was das [mm] \cup [/mm] (ich meine nicht so rund sondern eckig!) bedeutet? hier ist es vorgekommen:
[mm] $D[((Df)\circ f^-^1(y))^-^1]=-((Df)\circ [/mm] f^-^1)^-^1 [mm] \cup ((Df)\circ [/mm] f^-^1(y))^-^1$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 So 02.05.2010 | | Autor: | nooschi |
hömm... schaade  ich wäre immer noch interessiert an einer Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ [mm] f^{\*}(x) [/mm] := [mm] (Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)] [/mm] $
Differentiation liefert:
$D [mm] f^{\*}(x) [/mm] = [mm] (Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)] [/mm] $
Einsretzen von x=0 liefert das Gewünschte.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:43 Mo 03.05.2010 | | Autor: | nooschi |
> Du hast
>
> [mm]f^{\*}(x) := (Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)][/mm]
>
> Differentiation liefert:
>
> [mm]D f^{\*}(x) = (Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)][/mm]
und wie kriegt man das? nach meinen obigen Rechnungen kriege ich eben [mm]D f^{\*}(x) = (Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)]-I[/mm].
Aaach shit, ich bin ja so blöd, der erste Teil (also [mm] (Df(x_0))^-^1) [/mm] hängt ja nicht von x ab... aber es ist ja eine Lineare Abbildung... Hmmm und lineare Abbildungen abgeleitet sind wieder dieselbe Abbildung (ich meine mich an einen solchen Satz erinnern zu können...?).
Also neue Rechnung:
[mm]Df^{\*}(x) := D((Df(x_0))^-^1)[f(x+x_0)-f(x_0)]+(Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)][/mm]
nun setzt man x = 0 und erhält:
[mm]Df^{\*}(0) := (Df(x_0))^-^1[Df(x_0)]=I[/mm]
mein Zwischenergebnis für [mm] Df^{\*}(x) [/mm] sieht aber ein bisschen anders aus als deines, hab ichs also immer noch nicht gecheckt? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast
> >
> > [mm]f^{\*}(x) := (Df(x_0))^-^1[f(x+x_0)-f(x_0)][/mm]
> >
> > Differentiation liefert:
> >
> > [mm]D f^{\*}(x) = (Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)][/mm]
>
> und wie kriegt man das? nach meinen obigen Rechnungen
> kriege ich eben [mm]D f^{\*}(x) = (Df(x_0))^-^1[Df(x+x_0)]-I[/mm].
Deine Rechnung ist falsch ! Es dürfte klar sein, was die Ableitung von $ x [mm] \to f(x+x_0)$ [/mm] ist.
Wenn nun A eine Matrix ist, was ist dann die Ableitung von $x [mm] \to [/mm] A [mm] f(x+x_0)$ [/mm] ?
und die von der konstsnten Funktion $x [mm] \to Af(x_0)$ [/mm] ?
FRED
>
> > Einsretzen von x=0 liefert das Gewünschte.
> >
> > FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Mo 03.05.2010 | | Autor: | nooschi |
hehe, du warst zu schnell mit antworten, ich war noch am editieren :P könntest du bitte nochmals meinen editierten Artikel anschauen (weil ich noch etwas ein anderes Ergebnis habe als du...
>Deine Rechnung ist falsch ! Es dürfte klar sein, was die Ableitung von $ x [mm] \to f(x+x_0) [/mm] $ ist.
[mm] Df(x+x_0) [/mm] ?
>Wenn nun A eine Matrix ist, was ist dann die Ableitung von $ x [mm] \to [/mm] A [mm] f(x+x_0) [/mm] $ ?
[mm] A*f(x+x_0)+A*Df(x+x_0) [/mm] ?
>und die von der konstsnten Funktion $ x [mm] \to Af(x_0) [/mm] $ ?
[mm] A*f(x_0) [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> hehe, du warst zu schnell mit antworten, ich war noch am
> editieren :P könntest du bitte nochmals meinen editierten
> Artikel anschauen (weil ich noch etwas ein anderes Ergebnis
> habe als du...
>
> >Deine Rechnung ist falsch ! Es dürfte klar sein, was die
> Ableitung von [mm]x \to f(x+x_0)[/mm] ist.
>
> [mm]Df(x+x_0)[/mm] ?
Ja
>
>
> >Wenn nun A eine Matrix ist, was ist dann die Ableitung von
> [mm]x \to A f(x+x_0)[/mm] ?
>
> [mm]A*f(x+x_0)+A*Df(x+x_0)[/mm] ?
Nein, sondern [mm] $A*Df(x+x_0)$ [/mm] A ist doch konstant !!
>
>
> >und die von der konstsnten Funktion [mm]x \to Af(x_0)[/mm] ?
>
> [mm]A*f(x_0)[/mm] ?
Nein. die Ableitung ist =0 !!!!1
Bitteschön, erinnere Dich an Deine Schulzeit: ist f differenzierbar und
g(x):= a [mm] f(x+x_0)+c
[/mm]
mit a,c,x [mm] \in \IR, [/mm] so war doch:
$g'(x) = a [mm] f'(x+x_0)+c [/mm] $
Warum sollte im Mehrdimensionalen den alles nun ganz anders sein ?????
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mo 03.05.2010 | | Autor: | nooschi |
im mehrdimensionalen soll alles anders sein, weil mich das mehrdimensionale verwirrt :P
nein also ich meinte wegen dem Satz (jetzt hab ich ihn doch noch aus dem Skript ausgegraben):
Sei [mm] A\in\mathcal{L}(X,Y). [/mm] Dann ist [mm] A\in C^1(X,Y) [/mm] und [mm] A'(x_0)=A.
[/mm]
Hmmhmm, das würde jetzt doch irgendwie für deine Lösung sprechen.
Irgendwie blicke ich nicht durch, das ganze Zeugs ist so wirr, aber danke vielmals, ich hab schon ein bisschen mehr die Spur des Gefühls, dass ichs vielleicht irgendwann einmal kapier, wenn ich mir noch ganz viel Mühe gebe! :D
(ah und zu deinem Beispiel, ich bin dafür, dass in deinem g'(x) ein c zuviel ist :P)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 05.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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