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Forum "Differentiation" - differenzieren von sin(2x)
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differenzieren von sin(2x): Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Sa 20.03.2010
Autor: Ikarus81

Aufgabe
ableitung von sin(2x)

Hallo miteinander!

Natürlich ist es 2*cos(2x), sollte man ja wissen (f'g*g'), wie aber elegant beweisen?

limes h gegen 0

[mm] \bruch{sin(2x+h)-sin(2x)}{h} [/mm]


[mm] \bruch{sin(2x)*cos(h)+cos(2x)*sin(h)-2sin(x)*cos(x))}{h} [/mm]

->
[mm] \bruch{2sin(x)*cos(x)*cos(h)+[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)-2sin(x)*cos(x))}{h} [/mm]

->

[mm] \bruch{2sin(x)*cos(x)*(cos(h)-1)+[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)}{h} [/mm]

->

[mm] \bruch{2sin(x)*cos(x)*(cos(h)-1)}{h}+\bruch{[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)}{h} [/mm]

h gegen 0 gehen lassen

->

[mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x) [/mm]

->

0.5(1+cos(2x))-0.5(1-cos(2x))

woraus aber leider cos2x resultiert, was falsch wäre. Wer entdeckt den Fehler? ;-)
        
Bezug
differenzieren von sin(2x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Sa 20.03.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> ableitung von sin(2x)
>  Hallo miteinander!
>  
> Natürlich ist es 2*cos(2x), sollte man ja wissen (f'g*g'),
> wie aber elegant beweisen?
>  
> limes h gegen 0
>  
> [mm]\bruch{sin(2x+h)-sin(2x)}{h}[/mm]          [notok]
>  
>
> [mm]\bruch{sin(2x)*cos(h)+cos(2x)*sin(h)-2sin(x)*cos(x))}{h}[/mm]
>  
> ->
>  
> [mm]\bruch{2sin(x)*cos(x)*cos(h)+[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)-2sin(x)*cos(x))}{h}[/mm]
>  
> ->
>  
> [mm]\bruch{2sin(x)*cos(x)*(cos(h)-1)+[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)}{h}[/mm]
>  
> ->
>  
> [mm]\bruch{2sin(x)*cos(x)*(cos(h)-1)}{h}+\bruch{[cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x)]*sin(h)}{h}[/mm]
>  
> h gegen 0 gehen lassen
>  
> ->
>  
> [mm]cos^{2}(x)-sin^{2}(x)[/mm]
>  
> ->
>  
> 0.5(1+cos(2x))-0.5(1-cos(2x))
>  
> woraus aber leider cos2x resultiert, was falsch wäre. Wer
> entdeckt den Fehler? ;-)


Der Fehler (oder zumindest der erste Fehler) ist gleich am
Anfang. In der mit  "[notok]"  markierten Zeile sollte stehen:

      [mm]\bruch{sin(2(x+h))-sin(2x)}{h}[/mm]


Wenn du einen wirklich einfachen und leicht zu verstehenden
Beweis suchst, würde ich dir einen graphischen Beweis empfehlen.
Aus der Kurve  [mm] k_1: [/mm] y=sin(x)  erhält man die Kurve  [mm] k_2: [/mm] y=sin(2x)
durch eine Stauchung in x-Richtung. Das Stützdreieck eines Tan-
gentenstücks wird dabei ganz analog gestaucht. Daraus ergibt sich
die entsprechende Regel für die Ableitung (=Tangentensteigung)
ganz elementar.


LG     Al-Chw.




Bezug
                
Bezug
differenzieren von sin(2x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 So 21.03.2010
Autor: Ikarus81

Danke für deinen Input, ich habe es mittlerweile analytisch bewiesen, ein blöder Fehler am Anfang.
Deine graphische Lösung sieht zwar gut aus, aber leider würde es so nicht akzeptiert werden. Grundsätzlich würde ein Blick genügen um zu merken dass man die l'hopital-regel anwenden kann, aber da ist unser Mathematiker kleinlich, er will den vollständig analytisch hergeleiteten Beweis...;-)
Bezug
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