dim_Q(Q(a,b)) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei [mm] f=t^4-2 \in \IQ[/mm] [t], [mm] L\le \IC [/mm] ein Zerfällungskörper von f über [mm] \IQ. [/mm]
Bestimmen Sie [mm] dim_{K}L. [/mm] |
Hallo!
1.:Mal eine grundsätzliche frage... Was hat bitteschön dieses K da zu suchen? Ich gehe einfach mal davon aus, dass es sich um einen Tippfehler handelt und [mm] \IQ [/mm] gemeint ist.
2.:Die Nullstellen von f sind [mm] a=\wurzel[4]{2}, [/mm] b=-a, [mm] c=i*\wurzel[4]{2} [/mm] und d=-c
Also ist [mm] L=\IQ(a,b,c,d)=\IQ(a,c), [/mm] richtig?
Sehe ich das richtig, dass ich jetzt nur noch eine Basis von [mm] (\IQ,L) [/mm] finden muss??? Dann wäre die Basis doch wohl B={1,a,c} und somit die Dimension drei, oder???
Wäre gut, wenn mir jemand diesen Gedankengang bestätigen könnte,
Gruß, san
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 26.01.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]f=t^4-2 \in \IQ[/mm] [t], [mm]L\le \IC[/mm] ein Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ.[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]dim_{K}L.[/mm]
> Hallo!
> 1.:Mal eine grundsätzliche frage... Was hat bitteschön dieses K da zu suchen? Ich gehe einfach mal davon aus, dass es sich um einen Tippfehler handelt und [mm]\IQ[/mm] gemeint ist.
würde ich auch so machen.
> 2.:Die Nullstellen von f sind [mm]a=\wurzel[4]{2},[/mm] b=-a, [mm]c=i*\wurzel[4]{2}[/mm] und d=-c
> Also ist [mm]L=\IQ(a,b,c,d)=\IQ(a,c),[/mm] richtig?
> Sehe ich das richtig, dass ich jetzt nur noch eine Basis von [mm](\IQ,L)[/mm] finden muss??? Dann wäre die Basis doch wohl B={1,a,c} und somit die Dimension drei, oder???
> Wäre gut, wenn mir jemand diesen Gedankengang bestätigen könnte,
das problem bei dieser basis, ist, dass dieser körper nicht unter multiplikation abgeschlossen wäre, es wäre zum beispiel: [m] a \cdot a = \sqrt[4 ]{2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt{2} [/m] und das lässt sich nicht als [mm] $\mathbb{Q}$-linearkombination [/mm] von $1$, $a$ und $c$ darstellen! probiere doch erstmal eine basis des [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] vektorraums [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ [/mm] zu finden (diese hat $4$ elemente). dabei kanst du so ähnlich vorgehen, wie ich oben das gegenbeispiel zur multiplikativen abgeschlossenheit konstruiert habe.
probiere mal, wie weit du damit kommst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
Danke... also gehe ich schrittweise vor:
Eine Basis zu [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] ist: B=(1, [mm] \wurzel{2}, \wurzel[4]{2}, \wurzel[4]{8}) [/mm] korrekt?
Und wenn ich dann [mm] \IQ(\wurzel[4]{2},i*\wurzel[4]{2}) [/mm] betrachte, wirds noch mal so viel bloß mit dem i hintendrein? So dass die Dimension von L 8 ist???
Gruß, San
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Hallo,
die Basis ist, glaube ich nicht richtig. [mm] Irr(\wurzel[4]{2},\IQ)=x^{4}-2, [/mm] da normiert und nach Eisenstein irreduzibel. Die Basis ist demnach:
[mm] B=\{1,\wurzel[4]{2},\wurzel[4]{2}^{2},\wurzel[4]{2}^{3}\}.
[/mm]
Die Dimension hiervon ist also 4. Wie ist dann die Dimension von L?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
Kann man denn z.B. [mm] \wurzel[4]{2}^2 [/mm] nicht vereinfachen als [mm] \wurzel{2}??? [/mm] denn dann ist das doch genau die Basis, die ich genannt habe!!!
Und für L hatte ich den Tipp abgegeben, dass die Dimension dann 8 sein muss.
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Hallo,
na ja nicht so ganz. Du hattest da ja noch ne dritte Wurzel im letzten Basiselement und das kann nicht sein. Wenn du dich da nur vertippt hast, dann stimmt der Rest!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
Uuuups! Na klar, hab mich vertippt... ist schon berichtigt...
Vielen Dank für die Hilfe,
San
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