dim V = 0? wann trifft das zu < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 23.03.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, habe mir gerade den kopf darüber zerbrochen, wenn die dimension einens Vektorraums (bzw. eines unterraums) = 0 ist. Bin zu dem Ergebnis gekommen, dass dies nur sein kann, wann ein Vektorraum oder ein Unterraum nur die 0 enthält, weil man hier keine basis angeben kann oder? ein erzeugendensystem (welches meiner meinung nach das einzige ist) wäre doch dann der 0 vektor und der ist ja linera abhängig.
Wäre nett, wenn mich jemand korrigieren würde =)
Gruß an alle.. Ari
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Moin Ari,
Du stellst Fragen.
[mm] \dim V=0\:\:\Leftrightarrow\:\: V=\{0\}
[/mm]
ist richtig.
Tja, und hier muss man halt ne Ausnahmesprechweise einführen, damit man von [mm] \{0\} [/mm] als einer Basis sprechen kann.
ich würd folgendermassen definieren:
[mm] B\subseteq [/mm] V heisst Basis von V gdw [mm] \span [/mm] (B)=V (V wird von B linear erzeugt) und B ist inklusionsminimal mit dieser
Eigenschaft (d.h. keine echte Teilmenge von B erzeugt V).
Das ist dann auch eine Definition von Basis, die in wesentlich allgemeineren
Zusammenhängen Sinn macht als bei Vektorräumen (zB in Verbänden, Moduln, ...,halt allgemein algebraischen Strukturen).
Allgemein kann man diese Definition verwenden, wenn man eine Menge X mit einem sogenannten Hüllenoperator
(oder closure operator) hat, das nur für die Kenner. 
Dann gilt mit dieser Definition folgender Satz:
Wenn V ein k-Vektorraum ist (k ein Koerper), so gilt fuer [mm] B\subseteq [/mm] V:
B ist Basis von V genau dann, wenn [mm] V=\{0\} [/mm] und B=V oder wenn [mm] V\neq \{0\} [/mm] und B lin. unabh. Erzeugendensystem von V.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Do 23.03.2006 | | Autor: | AriR |
also die ersten 3 zeilen habe ich noch verstanden :D:D
ich glaube in la1 ist 0 noch keine basis oder? die anderen sachen, die du genannt hast hatte wir glaub ich noch nicht in der vorlesung :P
und zu [mm] \dim V=0\:\:\Leftrightarrow\:\: V=\{0\}
[/mm]
beinhaltet das auch, dass dim V=0 NUR wenn [mm] V=\{0\} [/mm] und sonst ist die dimension immer größer 0 ??
danke wieder mal an dich mathiasch =)
Gruß Ari
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Hallo Ari,
[mm] ''\Leftrightarrow'' [/mm] bedeutet ( wie von Dir richtig vermutet) ''dann und nur dann, wenn''.
Gruss,
Mathias
ps. Das, was ich zur allg. Def. von Basen schrieb, kannst Du mit Kenntnissen aus LA1 problemlos auf
Vektorräume anwenden bzw hast Du in einer entsprechenden Vorlesung sicher schon präsentiert bekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 23.03.2006 | | Autor: | AriR |
ich glaube verstehen tue ich das jetzt wohl ein wenig, bei nährem hinschauen, aber ich meine 0 wäre bei uns keine basis. oder liege ich da total falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 23.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also in normalen LA-vorlesungen darf der Nullvektor niemals in einer Basis vorkommen, denn er ist der einzige Vektor, der alleine schon linear abhaengig ist.
(und Basen werden da normalerweise als Menge von linear unabhaengigen Vektoren oder aehnlich definiert.)
Aber nromaler Weise definiert man auch immer schoen um diesen pathologischen Fall herum, also irgendwo steht dann meist : [mm] $\forall x\not= [/mm] 0$ oder so...
Ich will damit aber nicht die allgemeinere Definition von oben schlecht machen, denn nur in dem beschraenkten Kontext von LA1 macht es Sinn eine Basis so einfach zu definieren und den Nullraum gesondert zu betrachten...
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Do 23.03.2006 | | Autor: | kretschmer |
Hallo MathiasH,
ich glaube diese Definition ist für diesen speziellen Fall dann doch etwas irreführend, da man ja auch die Dimension über die Kardinalität einer Basis definiert. Wenn jetzt man eine Basis [mm] $\{0\}$ [/mm] hat, dann ist die Kardinalität offensichtlich 1. Damit würde dann gelten [mm] $\dim\{0\}=1$. [/mm] Das ist aber nicht so ganz das gewünschte. In allgemeineren Gelbiden als Vektorräumen, wie zum Beispiel Moduln, verlangt man ja auch teilweise, dass die Basis mindestens die Kardinalität 1 hat (ich habe mir eben mal kurz den Lang zur Hand genommen und dort war das zumindest so). Allerdings ist der Dimensionsbegriff bei Moduln nicht mehr ganz so handlich, wenn ich mich richtig an meine Algebra Vorlesungen erinnere.
Sollte nicht eine Definition von Basis, um direkt den Dimensionsbegriff auch passend definieren zu können, irgendwie lauten, wie: $B$ ist eine Basis von $V$, falls durch linearkombination $V$ aus $B$ erzeugt werden kann, für alle [mm] $x\in [/mm] B$ gilt [mm] $x\ne [/mm] 0$ und $B$ ist eine linearunabhängige Menge (wenn $|B|>0$, dann gilt aus der zweiten Bedingungen immer [mm] $x\in B\Rightarrow x\ne [/mm] 0$ natürlich).
Damit wäre dann [mm] $B=\emptyset$ [/mm] die Basis von [mm] $V=\{0\}$ [/mm] (die Linearkombination von keinem Vektor erzeugt natürlich nur den 0-Vektor), [mm] $\dim [/mm] B=0$ und $V$ somit ein $0$-dimensionaler Vektorraum.
Außerdem ist [mm] $B=\{0\}$ [/mm] keine Menge linear unabhängiger Vektoren, denn die Gleichung [mm] $\lambda [/mm] 0=0$ hat mehr als eine Lösung für [mm] $\lambda$. [/mm] Um genau zu sein, ist [mm] $\lambda\in [/mm] k$ eine gültige Lösung, falls $k$ der Körper des Vektorraumes ist.
--
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Do 23.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Matthias,
zustimmen möcht ich Dir dazu, dass (was Du implizit schreibst bzw verwendest) die Summe über
eine leere Indexmenge per def. 0 ist (halt das jeweilige 0) und daher fuer [mm] V=\{0\} [/mm] die leere Menge eine minimale erzeugende Menge
ist und somit [mm] \{0\} [/mm] keine Basis, aber [mm] \emptyset.
[/mm]
Insofern bleibt also die von mir gegebene allgemeine Basisdefinition zu 100% gültig. Das mit der Dimension haut dann auch hin.
Dank und Viele Grüße,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 23.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> ich würd folgendermassen definieren:
Wie schon geschrieben wurde, sind deine Definitionen etwas inkonsistent, deswegen sollte man bei der Basis der leeren Menge bleiben. Man sollte sich dazu erinenrn, wie man [m]\sum[/m] induktiv definieren kann. Da fängt man mit der leeren Summe an, und definiert sie als [m]\sum_{i=0}^{-1}=0[/m]. So ist das Erzeugnis von [m]\emptyset[/m] eben nur der Nullvekor. Wem das immer noch nicht gefällt: oft wird es infach so deiniert.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Do 23.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
mit oben geschriebenem (siehe Artikel von kretschmer und SEcki) gilt also fuer den Fall von LA, dass folgende
Eigenschaften äquivalent sind (V ein Vektorraum, [mm] B\subseteq [/mm] V):
(1) B ist inklusionsminimale erzeugende Menge.
(2) B ist linear unabhaengige erzeugende Menge.
(3) B ist maximal linear unabhaengige Menge.
Und (1) ist die auch fuer allgemeineren Kontext gueltige Basisdefinition.
Insbesondere ist also, um es nochmal klar zu formulieren, fuer [mm] V=\{0\} [/mm] die Menge [mm] B=\emptyset [/mm] eine Basis.
Gruss,
Mathias
ps. Übrigens gilt im allgemeinen Kontext nicht notwendig, dass Basen alle die gleiche Kardinalität haben.
Im Falle von Vektorräumen gilt es natürlich. Im Buch von Burris und Sankappanavar ''A Course in Universal Algebra'' findet man
unter dem Stichwort ''Irredundant Basis Theorem'' dazu eine allgemeine Aussage.
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