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Forum "Uni-Lineare Algebra" - dimension und gleichheit
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dimension und gleichheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Mo 30.01.2006
Autor: AriR

(frage zuvor nicht gestellt)

Hey Leute, irgendwie habe ich in büchern der linearen algebra oft das gefühl das aus V,W Vektorräume mit dim V=dim W direckt gefolgert wird, V=W. ist das so? wenn ja kann mir bitte einer sagen warum und wenn nicht, gibt es da einen ähnlichen zusammenhang?

wäre nett, wenn mir einer diese last vom herzen nimmt +g+... gruß Ari

        
Bezug
dimension und gleichheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mo 30.01.2006
Autor: Stefan

Hallo AriR!

Aus $dim(V)=dim(W)$ alleine folgt natürlich nicht $V=W$. Man muss dann schon noch $V [mm] \subset [/mm] W$ oder $W [mm] \subset [/mm] V$ voraussetzen. Weiterhin gilt diese Folgerung nur für endlichdimensionale Vektorräume.

Es gelte nun $V [mm] \subset [/mm] W$ und $dim(V) = dim(W) < [mm] \infty$. [/mm]

Wähle eine Basis von $V$. Diese ist dann nach den Voraussetzungen auch eine Basis von $W$, fertig.

(Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist diese Folgerung falsch. Zwar ist dann eine Basis von $V$ eine linear unabhängige Familie in $W$, aber nicht notwendigerweise auch ein Erzeugendensystem.)

Liebe Grüße
Stefan

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