dimension zweier Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | | Seien V ein K-Vektorraum und [mm] U_1, U_2 [/mm] Untervektorräume. Wir schreiben [mm] U_1+U_2 [/mm] für den Untervektorraum [mm] Span_{K}(U_{1}\cup U_{2}) [/mm] von V. Zeigen Sie, dass [mm] dim_{K}(U_{1}+U_{2})=\infty [/mm] genau dann, wenn [mm] dim_K(U_1)=\infty [/mm] oder [mm] dim_K(U_2)=\infty [/mm] |
Also bislang ist mir nur die Dimensionsformel eingefallen.
Nach der dimensionsformel gilt doch:
[mm] dim_K(U_1+U_2) [/mm] = [mm] dim_K(U_1)+dim_K(U_2)-dim_K(U_1 \cap U_2)
[/mm]
Okay, die idee war doch nicht gut. Die Dimensionsformel gilt ja eh nur für endlich dimensionale vektorräume.
Da muss ich doch nochmal weiter denken. Für nen tipp wäre ich sehr dankbar
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Hallo Frosch20,
Doch, die Formel ist hilfreich für die eine Richtung. Und die andere Richtung ist sehr leicht. Denke noch einmal darüber nach, das kriegst du hin 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Frosch20 |
Mh also ich würde bislang sagen:
"=>" Wenn [mm] dim_K(U_1+U2)=\infty, [/mm] dann folgt aus der dimensionsformel
[mm] dim_K(U_1+U_2)=dim_K(U_1)+dim_K(U_2)-dim_K(U_1 \cap U_2) \le [/mm] dim [mm] (U_1)+dim_K(U_2)
[/mm]
Also gilt
[mm] dim_K(U_1+U_2) \le [/mm] dim [mm] (U_1)+dim_K(U_2)
[/mm]
und weil [mm] dim_K(U_1+U_2)=\infty [/mm] muss demnach dim [mm] (U_1)=\infty \vee dim_K(U_2)=\infty [/mm] sein.
"<=" Sei O.B.d.A. [mm] dim_K(U_1)=\infty [/mm] und [mm] dim_K(U_2)=n. [/mm] Dann ist trivialer weise auch [mm] dim_K(U1+U2)=\infty.
[/mm]
Denn wenn [mm] U_1 [/mm] eine unendliche Basis hat, dann hat auch die Addition der beiden eine unendliche Basis. Würde ich jetz so sagen. Nur gilt das nach obiger Ungleichung ja nicht unbedingt.
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Hi,
> "<=" Sei O.B.d.A. [mm]dim_K(U_1)=\infty[/mm] und [mm]dim_K(U_2)=n.[/mm] Dann
> ist trivialer weise auch [mm]dim_K(U1+U2)=\infty.[/mm]
Der Teil passt. Nur ist die zusätzliche Annahme [mm] dim(U_2)=n [/mm] zu viel. Die Argumentation soll ja auch dann gelten, wenn beide unendlich sind. [mm] $dim(U_1)=\infty$ [/mm] genügt also als Voraussetzung. Und dann folgt die Behauptung daraus, dass [mm] $U_1\subseteq U_1+U_2$ [/mm] (Wenn das nicht klar ist, beweise es).
Im umgekehrten Fall ist zu zeigen, wenn beide VR endlichdimensional sind, dann auch die Summe. Und hierfür kannst du die Dimensionformel nutzen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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