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Forum "Zahlentheorie" - diophantischen Gleichungen
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diophantischen Gleichungen: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Fr 29.04.2016
Autor: fugit

Aufgabe
Entscheiden Sie,welche der folgenden linearen dophantischen Gleichungen in [mm] $\IZ$ [/mm] lösbar ist und bestimmen sie alle Lösungen.


$a) 6x+15y=4$

$b)899x+203y=319$

$c)899x+203y=341$

$d)10x+6y+15z=17$



$a) 6x+15y=4$

$ggt(15,6)= 3$, jedoch teilt $frac{4}{3} [mm] \not\in \IZ$ [/mm] nicht.

darum hat diese  dophantischen Gleichungen keine Lösung in [mm] $\IZ$ [/mm]

$b)899x+203y=319$

ggt(899,203)=29 und 29|319 mit 319=11*29.

Eine lösung durch Rückwärtseinsetzen in den eukld.Algorithmus

kommt raus $899x+203y=319$ mit 899*-2+203*9=29.

Also [mm] x_0=-2,y_0=9,dass [/mm] ist doch jetzt eine Lösung und wie bekomme ich jetzt alle?


$c)899x+203y=341$

$ggt(899,203)=29$ , jedoch [mm] $\frac{341}{29} \not \in \IZ$ [/mm]


$d)$ vorab ggt(a,b,c)=ggt(a,ggt(b,c))

$d)10x+6y+15z=17$

$ggt(6,15)=3$

$ggt(10,3)=1$ ,die 1 teilt 17

und wie mach ich das mit dem Bezout-koeffizienten hier,da ich ja 3 variablen habe?

liebe grüße

:))

        
Bezug
diophantischen Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Fr 29.04.2016
Autor: leduart

Hallo
du hast eine Lösung von
31*29*x+7*29*y=11*29
wenn du dazu eine beliebige Lösung von
31*29*x+7*29*y=0 addierst bekommst du alle Lösungen
und dass 31*29*x+7*29*y=0 die Lösung x=k*7, y=-k*31 hat, k ganz nnegativ oder positiv, sieht man direkt
also hast du alle Lösungen mit deiner [mm] x_0,y_0 [/mm]
mit [mm] x_0+k*7,y_0+k*31 [/mm]
entsprechend bei 3 Unbekannten, einfach alle Lösungen der Gl=0 addieren
( da die Übersetzung zur Zeit nicht funktioniert habe ich nicht alles gelesen)
Gruß leduart

Bezug
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