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direkte Methode Variationsrech: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 21.03.2019
Autor: Noya

Aufgabe 1
Sei X ein reflexiver Banachraum. M [mm] \subset [/mm] X. M [mm] \not=0. [/mm] Sei F: M [mm] \to \IR [/mm] eine Abbildung und es gelte
i) M ist abgeschlossen und konvex,
ii) F ist unterhalbstetig bezüglich schwacher Konvergenz,
iii) falls M nicht beschränkt ist, ist F koerziv, d.hh. für jede Folge [mm] (v_n) \subset [/mm] M, mit [mm] \parallel v_n \parallel_X \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] so folgt [mm] F(v_n) \to \infty. [/mm]

Zeigen Sie: es existiert ein [mm] u_0 \in [/mm] M mit [mm] F(u_0)=\inf_{u \in M}F(u). [/mm]


Aufgabe 2
iv) ist F zusätzlich strikt konvex dann hat das probem genau eine Lösung.


Hallo ihr Lieben,

ich habe einige Fragen zu dem Beweis.

Sei $d:= [mm] \inf_{u \in M} [/mm] F(u)$.
Da $M [mm] \not= [/mm] 0$ so ist $d < [mm] \infty$. [/mm]

Es gilt: wenn M nach unten beschränkt so gilt $d > [mm] -\infty$ [/mm]
und wenn M nicht nach unten beschränkt so ist $d=- [mm] \infty$. [/mm]
1. Frage  : Wie zeige ich nun, dass eins von beidem gilt?

Sei nun [mm] (u_m) [/mm] eine Minimalfolge in M mit [mm] $F(u_m) \to d=\inf_{u \in M} [/mm] F(u)$ für $m [mm] \to \infty$ [/mm]

Nun nutzt man die Koerzitivität für die gleichmäßige Beschränktheit der Minimalfolge.
2. Frage  : Warum folgt aus der Koerzitivität die glm. Beschränktheit der Minimalfolge?


Jetzt wird als nächstes gesagt :
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert schwach konvergente Teilfolge [mm] u_{m_{k }} [/mm] mit [mm] $u_{m_{k }} \rightharpoonup u^{\ast}$ [/mm]
3. Frage  : Warum existiert eine solche Teilfolge?

Nun folgt mit dem Satz von Mazur, da M abgeschlossen und konvex ist, dass M schwach folgenabgeschlossen ist. D.h sind
[mm] x_k \in [/mm] M [mm] \forall [/mm] k und x [mm] \in [/mm] X so gilt [mm] ($x_k \rightharpoonup [/mm] x $ in X für $k [mm] \to \infty \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M$).
Das heißt also hier , da [mm] $u_{m_{k }} \rightharpoonup u^{\ast}$ [/mm] in M [mm] \Rightarrow $u^{\ast} \in [/mm] M$

und jetzt nutze ich die Unterhalbstetigkeit bzgl. schwacher Konvergenz, d.h. für [mm] u_m,u \in [/mm] M mit [mm] $u_m \rightharpoonup [/mm] u [mm] \gdw [/mm] F(u) [mm] \le [/mm] liminf [mm] F(u_m)$ [/mm]

Das heißt also hier

[mm] F(u^{\ast}) \le [/mm] liminf [mm] F(u_{m_{k }}). [/mm]


Für eine Minimalolge gilt [mm] $F(u_m) \to [/mm] d$ und somit für [mm] $u^{\ast} \in [/mm] M$

d [mm] \le F(u^{\ast}) \le [/mm] liminf [mm] F(u_{m_{k }}) [/mm] = d

und somit [mm] F(u^{\ast}) [/mm] = d = inf F(u) und [mm] u^{\ast} [/mm] ist Minimierer.

Vielleicht könnt ihr mir meine Fragen benatworten und gerne meinen Beweis korrigieren.

für die Eindeutigkeit würde ich mich später nochmal melden. Idee: angenommen es gäbe 2 Minimierer und dies zum widerspruch bringen sodass beide Minimierer gleich sind.

Nachtrag Eindeutigkeit:  
Sei nun die strikte Konvexität von F gegeben, d.h. [mm] F(\lambda u_1 [/mm] +(1- [mm] \lambda)u_2)< \lambda F(u_1)+(1-\lambda)F(u_2) [/mm] für [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] und [mm] u_1,u_2 \in [/mm] M.


Angenommen es existiert [mm] u_1,u_2 \in [/mm] M mit [mm] F(u_1)=F(u_2)=d [/mm] und [mm] u_1 \not= u_2. [/mm]
Betrachte nun ein v= [mm] \bruch{1}{2}(u_1+u_2) \in [/mm] M, da M konvex, d.h für [mm] u_1,u_2 \in [/mm] M und 0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1 ist [mm] \lambda u_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda)u_2 \in [/mm] M (hier [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}) [/mm]

[mm] d=F(v)=F(\bruch{1}{2}(u_1+u_2))\le \bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2)=\bruch{1}{2}d+\bruch{1}{2}d=d [/mm]
Somit ist v ebenfalls Minimierer.
[mm] 0=\bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2)-F(v) \ge [/mm] 0, da F konvex
also [mm] \bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2) [/mm] = F(v)
und somit ein Widerspruch zur strikten Konvexität vpn F, da [mm] u_1\not= u_2 [/mm]

Daher muss [mm] u_1=u_2 [/mm] sein.
Und somit ist der Minimierer eindeutig!

Vielen Dank und liebe Grüße
Noya



        
Bezug
direkte Methode Variationsrech: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Mo 25.03.2019
Autor: fred97


> Sei X ein reflexiver Banachraum. M [mm]\subset[/mm] X. M [mm]\not=0.[/mm] Sei
> F: M [mm]\to \IR[/mm] eine Abbildung und es gelte
>  i) M ist abgeschlossen und konvex,
>  ii) F ist unterhalbstetig bezüglich schwacher
> Konvergenz,
>  iii) falls M nicht beschränkt ist, ist F koerziv, d.hh.
> für jede Folge [mm](v_n) \subset[/mm] M, mit [mm]\parallel v_n \parallel_X \to \infty[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm] so folgt [mm]F(v_n) \to \infty.[/mm]
>  
> Zeigen Sie: es existiert ein [mm]u_0 \in[/mm] M mit [mm]F(u_0)=\inf_{u \in M}F(u).[/mm]
>  
> iv) ist F zusätzlich strikt konvex dann hat das probem
> genau eine Lösung.
>  
> Hallo ihr Lieben,
>  
> ich habe einige Fragen zu dem Beweis.
>  
> Sei [mm]d:= \inf_{u \in M} F(u)[/mm].
>  Da [mm]M \not= 0[/mm] so ist [mm]d < \infty[/mm].

Ja, das brauchen wir in Kürze.


>  
> Es gilt: wenn M nach unten beschränkt so gilt [mm]d > -\infty[/mm]
>  
> und wenn M nicht nach unten beschränkt so ist [mm]d=- \infty[/mm].
>  
> 1. Frage  : Wie zeige ich nun, dass eins von beidem gilt?

Da gibt es doch nichts zu zeigen !

Es gibt nur 2 Fälle: M ist nach unten beschränkt oder M ist nicht nach unten beschränkt. Mehr steht oben nicht.


>  
> Sei nun [mm](u_m)[/mm] eine Minimalfolge in M mit [mm]F(u_m) \to d=\inf_{u \in M} F(u)[/mm]
> für [mm]m \to \infty[/mm]
>  
> Nun nutzt man die Koerzitivität für die gleichmäßige
> Beschränktheit der Minimalfolge.
> 2. Frage  : Warum folgt aus der Koerzitivität die glm.
> Beschränktheit der Minimalfolge?

Die obige Minimalfolge ist beschränkt ! Nimm an, sie wäre es nicht. Dann enthält [mm] $(u_m)$ [/mm] eine Teilfolge [mm] (u_{m_j}) [/mm] mit [mm] $||u_{m_j}||_X \to \infty.$ [/mm]

Die Koerzitivität liefert: [mm] F(u_{m_j}) \to \infty, [/mm] also d= [mm] \infty, [/mm] Widerspruch !


>  
>
> Jetzt wird als nächstes gesagt :
>  [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert schwach konvergente Teilfolge
> [mm]u_{m_{k }}[/mm] mit [mm]u_{m_{k }} \rightharpoonup u^{\ast}[/mm]
>  3.
> Frage  : Warum existiert eine solche Teilfolge?

Ich predige meinen Studenten immer: "wenn man einen Beweis versucht, sollte man alle Voraussetzungen verwenden" oder "verwendet man nicht alle Voraussetzungen, so wirds nix mit dem Beweis".

Welche Voraussetzung hast Du nicht in Betracht gezogen ?

Die: X ist reflexiv !

Damit haben wir: [mm] $(u_m)$ [/mm] ist eine beschränkte Folge in einem reflexiven Banachraum. Damit enthält sie eine schwach konvergente Teilfolge.



>  
> Nun folgt mit dem Satz von Mazur, da M abgeschlossen und
> konvex ist, dass M schwach folgenabgeschlossen ist. D.h
> sind
> [mm]x_k \in[/mm] M [mm]\forall[/mm] k und x [mm]\in[/mm] X so gilt ([mm]x_k \rightharpoonup x[/mm]
> in X für [mm]k \to \infty \Rightarrow x \in M[/mm]).
>  Das heißt
> also hier , da [mm]u_{m_{k }} \rightharpoonup u^{\ast}[/mm] in M
> [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]u^{\ast} \in M[/mm]
>  
> und jetzt nutze ich die Unterhalbstetigkeit bzgl. schwacher
> Konvergenz, d.h. für [mm]u_m,u \in[/mm] M mit [mm]u_m \rightharpoonup u \gdw F(u) \le liminf F(u_m)[/mm]
>
> Das heißt also hier
>  
> [mm]F(u^{\ast}) \le[/mm] liminf [mm]F(u_{m_{k }}).[/mm]
>  
>
> Für eine Minimalolge gilt [mm]F(u_m) \to d[/mm] und somit für
> [mm]u^{\ast} \in M[/mm]
>  
> d [mm]\le F(u^{\ast}) \le[/mm] liminf [mm]F(u_{m_{k }})[/mm] = d
>  
> und somit [mm]F(u^{\ast})[/mm] = d = inf F(u) und [mm]u^{\ast}[/mm] ist
> Minimierer.
>  
> Vielleicht könnt ihr mir meine Fragen benatworten und
> gerne meinen Beweis korrigieren.
>  
> für die Eindeutigkeit würde ich mich später nochmal
> melden. Idee: angenommen es gäbe 2 Minimierer und dies zum
> widerspruch bringen sodass beide Minimierer gleich sind.
>
> Nachtrag Eindeutigkeit:
>  Sei nun die strikte Konvexität von F gegeben, d.h.
> [mm]F(\lambda u_1[/mm] +(1- [mm]\lambda)u_2)< \lambda F(u_1)+(1-\lambda)F(u_2)[/mm]
> für [mm]\lambda \in[/mm] [0,1] und [mm]u_1,u_2 \in[/mm] M.
>  
>
> Angenommen es existiert [mm]u_1,u_2 \in[/mm] M mit [mm]F(u_1)=F(u_2)=d[/mm]
> und [mm]u_1 \not= u_2.[/mm]
>  Betrachte nun ein v=
> [mm]\bruch{1}{2}(u_1+u_2) \in[/mm] M, da M konvex, d.h für [mm]u_1,u_2 \in[/mm]
> M und 0 [mm]\le \lambda \le[/mm] 1 ist [mm]\lambda u_1[/mm] + [mm](1-\lambda)u_2 \in[/mm]
> M (hier [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1}{2})[/mm]
>  
> [mm]d=F(v)=F(\bruch{1}{2}(u_1+u_2))\le \bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2)=\bruch{1}{2}d+\bruch{1}{2}d=d[/mm]
>  
> Somit ist v ebenfalls Minimierer.
>  [mm]0=\bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2)-F(v) \ge[/mm] 0, da F
> konvex
>  also [mm]\bruch{1}{2}F(u_1)+\bruch{1}{2}F(u_2)[/mm] = F(v)
>  und somit ein Widerspruch zur strikten Konvexität vpn F,
> da [mm]u_1\not= u_2[/mm]
>  
> Daher muss [mm]u_1=u_2[/mm] sein.
>  Und somit ist der Minimierer eindeutig!
>  
> Vielen Dank und liebe Grüße
>  Noya
>  
>  


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