direkte Summanden bestimmmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Do 17.11.2011 | | Autor: | yonca |
| Aufgabe | Sei R der Ring aller 2x2 oberen Dreiecksmatrizen über [mm] \IZ_2.
[/mm]
Listen Sie alle direkten Summanden von [mm]_R R[/mm] und von [mm] R_R [/mm] auf. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz klar. Es sollen ja alle direkten Summanden des Rings aller oberen 2x2 Dreiecksmatrizen über [mm] \IZ_2 [/mm] aufgelistet werden. Und ich verstehe nicht, warum diese Summanden für [mm]_R R[/mm] andere sein sollen als die für [mm] R_R. [/mm] Denn im Grunde beschreiben doch [mm] R_R [/mm] und [mm]_R R[/mm] dieselbe Menge nur das jeweils eine andere Operation auf dieser Menge definiert wurde.
Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?
Viele Grüße und vielen Dank,
Yonca
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Hallo Yonca!
> Sei R der Ring aller 2x2 oberen Dreiecksmatrizen über
> [mm]\IZ_2.[/mm]
>
> Listen Sie alle direkten Summanden von [mm]_R R[/mm] und von [mm]R_R[/mm]
> auf.
> Hallo,
>
> ich komme mit dieser Aufgabe nicht ganz klar. Es sollen ja
> alle direkten Summanden des Rings aller oberen 2x2
> Dreiecksmatrizen über [mm]\IZ_2[/mm] aufgelistet werden. Und ich
> verstehe nicht, warum diese Summanden für [mm]_R R[/mm] andere
> sein sollen als die für [mm]R_R.[/mm] Denn im Grunde beschreiben
> doch [mm]R_R[/mm] und [mm]_R R[/mm] dieselbe Menge nur
Wieso 'nur'?
> das jeweils eine
> andere Operation auf dieser Menge definiert wurde.
> Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?
>
> Viele Grüße und vielen Dank,
> Yonca
Betrachte beispielsweise
[mm] $V_h [/mm] := [mm] \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}$
[/mm]
[mm] $V_v [/mm] := [mm] \left\{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &a \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}$
[/mm]
Welche Operation [mm] ('$\cdot$' [/mm] oder [mm] '$\cdot^{op}$') [/mm] des Rings [mm] $(R,+,\cdot)$ [/mm] auf der abelschen Gruppe $(R,+)$ läßt sich auf [mm] $V_h$ [/mm] bzw. [mm] $V_v$ [/mm] beschränken?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Do 17.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
> Hallo Yonca!
>
>
> Betrachte beispielsweise
>
> [mm]V_h := \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> [mm]V_v := \left\{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &a \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> Welche Operation ('[mm]\cdot[/mm]' oder '[mm]\cdot^{op}[/mm]') des Rings
> [mm](R,+,\cdot)[/mm] auf der abelschen Gruppe [mm](R,+)[/mm] läßt sich auf
> [mm]V_h[/mm] bzw. [mm]V_v[/mm] beschränken?
Also, ich bin mir nich sicher, was du damit meinst: "dass eine Operation eines Ringes auf einer abelschen Gruppe sich auf die Menge [mm] V_h [/mm] bzw. [mm] V_v [/mm] beschränken lässt."
Bedeutet dies für [mm] V_h [/mm] z.B. , dass wenn ich jeweils jedes Ringelement mit dem Element aus der Menge [mm] V_h [/mm] von der entsprechenden Seite multipliziere [mm] ('\cdot' [/mm] oder ^{op}), wieder ein Element aus [mm] V_h [/mm] herauskommen muss. Ist das so gemeint?
Wenn dies so gemeint ist, würde ich sagen, dass die Operation [mm] '\cdot' [/mm] des Ringes auf der abelschen Gruppe sich auf [mm] V_h [/mm] beschränken lässt und die Operation ^{op} lässt sich auf [mm] V_v [/mm] beschränken.
Stimmt das so?
Hilft mir das denn jetzt die direkten Summanden zu finden? Oder sollte mir das ganze nur zeigen, dass bei Multiplikation von rechts etwas anderes rauskommen kann als bei einer Multiplikation von Links.
Bei den direkten Summanden, die hier gesucht werden bin ich leider immer noch nicht weiter gekommen. Es ist doch aber richtig, dass direkte Summanden eines Moduls M Untermoduln [mm] M_1, M_2 [/mm] sind, für die folgendes gilt:
Jedes Element aus M ist eindeutig darstellbar als [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] mit [mm] m_1 \in M_1 [/mm] und [mm] m_2 \in M_2. [/mm] Wobei das Pluszeichen die Addition aus der abelschen Gruppe darstellt.
So habe ich das jedenfalls bis jetzt verstanden. Und wenn dies so richtig ist und sowohl [mm] R_R [/mm] als auch [mm]_RR[/mm] dieselbe Menge zugrunde liegt, frage ich mich warum es einen Unterschied gibt in bezug auf die direkten Summanden, welche in der Aufgabe gesucht sind.
Gruß, Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo,
>
> > Hallo Yonca!
> >
> >
> > Betrachte beispielsweise
> >
> > [mm]V_h := \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]V_v := \left\{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &a \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> >
> > Welche Operation ('[mm]\cdot[/mm]' oder '[mm]\cdot^{op}[/mm]') des Rings
> > [mm](R,+,\cdot)[/mm] auf der abelschen Gruppe [mm](R,+)[/mm] läßt sich auf
> > [mm]V_h[/mm] bzw. [mm]V_v[/mm] beschränken?
>
>
> Also, ich bin mir nich sicher, was du damit meinst: "dass
> eine Operation eines Ringes auf einer abelschen Gruppe sich
> auf die Menge [mm]V_h[/mm] bzw. [mm]V_v[/mm] beschränken lässt."
> Bedeutet dies für [mm]V_h[/mm] z.B. , dass wenn ich jeweils jedes
> Ringelement mit dem Element aus der Menge [mm]V_h[/mm] von der
> entsprechenden Seite multipliziere [mm]('\cdot'[/mm] oder ^{op}),
> wieder ein Element aus [mm]V_h[/mm] herauskommen muss. Ist das so
> gemeint?
Ja, genau so!
>
> Wenn dies so gemeint ist, würde ich sagen, dass die
> Operation [mm]'\cdot'[/mm] des Ringes auf der abelschen Gruppe sich
> auf [mm]V_h[/mm] beschränken lässt und die Operation ^{op} lässt
> sich auf [mm]V_v[/mm] beschränken.
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt!
>
> Hilft mir das denn jetzt die direkten Summanden zu finden?
Ja, das hilft!
> Oder sollte mir das ganze nur zeigen, dass bei
> Multiplikation von rechts etwas anderes rauskommen kann als
> bei einer Multiplikation von Links.
Nein, das sollte es nicht!
> Bei den direkten Summanden, die hier gesucht werden bin
> ich leider immer noch nicht weiter gekommen. Es ist doch
> aber richtig, dass direkte Summanden eines Moduls M
> Untermoduln [mm]M_1, M_2[/mm] sind, für die folgendes gilt:
> Jedes Element aus M ist eindeutig darstellbar als [mm]m_1[/mm] + [mm]m_2[/mm]
> mit [mm]m_1 \in M_1[/mm] und [mm]m_2 \in M_2.[/mm] Wobei das Pluszeichen
> die Addition aus der abelschen Gruppe darstellt.
> So habe ich das jedenfalls bis jetzt verstanden. Und wenn
> dies so richtig ist und sowohl [mm]R_R[/mm] als auch [mm]_RR[/mm] dieselbe
> Menge zugrunde liegt, frage ich mich warum es einen
> Unterschied gibt in bezug auf die direkten Summanden,
> welche in der Aufgabe gesucht sind.
>
> Gruß, Yonca
Die direkten Summanden sind auch Untermoduln. Somit lässt sich die Operation des Rings auf einen direkten Summanden beschränken. Deshalb ist [mm] $V_h$ [/mm] ein Kandidat für einen direkten Summanden von $_R R$ und [mm] $V_v$ [/mm] ein Kandidat für einen direkten Summanden von $ [mm] R_R$.
[/mm]
Versuchen wir also ein Element $m [mm] \in\, [/mm] _RR$ darzustellen als $m = [mm] v_h [/mm] + v$ mit [mm] $v_h \in V_h$ [/mm] und $v [mm] \in [/mm] V$.
Wie könnte der Untermodul $V$ aussehen, so dass [mm] $V_h$ [/mm] und $V$ direkte Summanden sind?
Analog in [mm] $R_R$! [/mm]
Das sind aber [mm] \textbf{nicht alle} [/mm] direkten Summanden! Also weiter suchen!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 18.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo mathfunnel,
>
> > Bei den direkten Summanden, die hier gesucht werden bin
> > ich leider immer noch nicht weiter gekommen. Es ist doch
> > aber richtig, dass direkte Summanden eines Moduls M
> > Untermoduln [mm]M_1, M_2[/mm] sind, für die folgendes gilt:
> > Jedes Element aus M ist eindeutig darstellbar als [mm]m_1[/mm] + [mm]m_2[/mm]
> > mit [mm]m_1 \in M_1[/mm] und [mm]m_2 \in M_2.[/mm] Wobei das Pluszeichen
> > die Addition aus der abelschen Gruppe darstellt.
> > So habe ich das jedenfalls bis jetzt verstanden. Und
> wenn
> > dies so richtig ist und sowohl [mm]R_R[/mm] als auch [mm]_RR[/mm] dieselbe
> > Menge zugrunde liegt, frage ich mich warum es einen
> > Unterschied gibt in bezug auf die direkten Summanden,
> > welche in der Aufgabe gesucht sind.
> >
> > Gruß, Yonca
>
> Die direkten Summanden sind auch Untermoduln. Somit lässt
> sich die Operation des Rings auf einen direkten Summanden
> beschränken. Deshalb ist [mm]V_h[/mm] ein Kandidat für einen
> direkten Summanden von [mm]_R R[/mm] und [mm]V_v[/mm] ein Kandidat für einen
> direkten Summanden von [mm]R_R[/mm].
>
> Versuchen wir also ein Element [mm]m \in\, _RR[/mm] darzustellen als
> [mm]m = v_h + v[/mm] mit [mm]v_h \in V_h[/mm] und [mm]v \in V[/mm].
> Wie könnte der
> Untermodul [mm]V[/mm] aussehen, so dass [mm]V_h[/mm] und [mm]V[/mm] direkte Summanden
> sind?
Ich denke der Untermodul V könnte wie folgt aussehen, damit V und [mm] V_h [/mm] direkte Summanden von [mm] _RR[/mm] sind:
V := [mm] \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a&1\\ 0 &1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a&1\\ 0 &0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
Denn so kann ich zusammen mit [mm] V_h [/mm] durch summieren jedes Element aus [mm]_RR[/mm] bilden und außerdem ist V abgeschlossen gegenüber der Multiplikation mit den Ringelementen und somit ist auch V ein Untermodul von [mm]_RR[/mm]. Stimmt das so?
Kann man eigentlich generell sagen, dass wenn [mm]_RR[/mm] = V [mm] \oplus V_h [/mm] gilt, V und [mm] V_h [/mm] komplementäre direkte Summanden von [mm]_RR[/mm] sind?
> Analog in [mm]R_R[/mm]!
>
Für das Modul [mm] R_R [/mm] komme ich auf die folgende Menge V als direken Summenden:
V := [mm] \left\{\begin{pmatrix} 1&1\\ 0 &a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &a \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1\\ 0 &a \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &a \end{pmatrix} \right\}[/mm]
Ist das so richtig?
> Das sind aber [mm]\textbf{nicht alle}[/mm] direkten Summanden! Also
> weiter suchen!
>
> LG mathfunnel
Wie kann ich denn die anderen direkten Summanden finden. Kann man sie nur durch ausprobieren finden oder gibt es ein Prinzip nach dem man vorgehen kann? Falls es kein Prinzip gibt nach dem man vorgehen kann, könntest du mir vielleicht sagen wieviele direkte Summanden es hier eigentlich gibt, damit ich nicht stundenlang weitersuche und es gibt gar keine mehr. Und du weißt das ja vielleicht auch so. Das wäre sehr nett :0)
Viele Grüße,
Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo mathfunnel,
>
> >
> > > Bei den direkten Summanden, die hier gesucht werden bin
> > > ich leider immer noch nicht weiter gekommen. Es ist doch
> > > aber richtig, dass direkte Summanden eines Moduls M
> > > Untermoduln [mm]M_1, M_2[/mm] sind, für die folgendes gilt:
> > > Jedes Element aus M ist eindeutig darstellbar als [mm]m_1[/mm] + [mm]m_2[/mm]
> > > mit [mm]m_1 \in M_1[/mm] und [mm]m_2 \in M_2.[/mm] Wobei das Pluszeichen
> > > die Addition aus der abelschen Gruppe darstellt.
> > > So habe ich das jedenfalls bis jetzt verstanden. Und
> > wenn
> > > dies so richtig ist und sowohl [mm]R_R[/mm] als auch [mm]_RR[/mm] dieselbe
> > > Menge zugrunde liegt, frage ich mich warum es einen
> > > Unterschied gibt in bezug auf die direkten Summanden,
> > > welche in der Aufgabe gesucht sind.
> > >
> > > Gruß, Yonca
> >
> > Die direkten Summanden sind auch Untermoduln. Somit lässt
> > sich die Operation des Rings auf einen direkten Summanden
> > beschränken. Deshalb ist [mm]V_h[/mm] ein Kandidat für einen
> > direkten Summanden von [mm]_R R[/mm] und [mm]V_v[/mm] ein Kandidat für einen
> > direkten Summanden von [mm]R_R[/mm].
> >
> > Versuchen wir also ein Element [mm]m \in\, _RR[/mm] darzustellen als
> > [mm]m = v_h + v[/mm] mit [mm]v_h \in V_h[/mm] und [mm]v \in V[/mm].
> > Wie könnte
> der
> > Untermodul [mm]V[/mm] aussehen, so dass [mm]V_h[/mm] und [mm]V[/mm] direkte Summanden
> > sind?
>
>
> Ich denke der Untermodul V könnte wie folgt aussehen,
> damit V und [mm]V_h[/mm] direkte Summanden von [mm]_RR[/mm] sind:
>
> V := [mm]\left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a&1\\ 0 &1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a&1\\ 0 &0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> Denn so kann ich zusammen mit [mm]V_h[/mm] durch summieren jedes
> Element aus [mm]_RR[/mm] bilden und außerdem ist V abgeschlossen
> gegenüber der Multiplikation mit den Ringelementen und
> somit ist auch V ein Untermodul von [mm]_RR[/mm]. Stimmt das so?
Die Schreibweise (es fehlt $a [mm] \in \mathbb Z_2$) [/mm] und auch $V$ ist falsch, da dann $V=R$ wäre.
>
> Kann man eigentlich generell sagen, dass wenn [mm]_RR[/mm] = V
> [mm]\oplus V_h[/mm] gilt, V und [mm]V_h[/mm] komplementäre direkte Summanden
> von [mm]_RR[/mm] sind?
Es muss ein $V$ mit $V [mm] \cap V_h [/mm] = 0 = [mm] \{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &0 \end{pmatrix}\}$ [/mm] existieren, damit [mm] $V_h$ [/mm] überhaupt ein direkter Summand sein kann! Weißt Du nicht was ein direkter Summand ist? Dann ist es schwer welche zu finden 
Besitzt ein Untermodul $U$ eines $R$-Moduls $M$ ein Komplement in $M$, so heißt $U$ direkter Summand von $M$.
>
> > Analog in [mm]R_R[/mm]!
> >
>
> Für das Modul [mm]R_R[/mm] komme ich auf die folgende Menge V als
> direken Summenden:
>
>
> V := [mm]\left\{\begin{pmatrix} 1&1\\ 0 &a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &a \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1\\ 0 &a \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &a \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
>
> Ist das so richtig?
Nein, siehe oben.
>
>
> > Das sind aber [mm]\textbf{nicht alle}[/mm] direkten Summanden! Also
> > weiter suchen!
> >
> > LG mathfunnel
>
>
> Wie kann ich denn die anderen direkten Summanden finden.
> Kann man sie nur durch ausprobieren finden oder gibt es ein
> Prinzip nach dem man vorgehen kann?
Es gibt die Möglichkeit idempotente Elemente bzw. Projektionen zu betrachten. Aber wie das geht kannst Du vielleicht selbst nachlesen.
> Falls es kein Prinzip
> gibt nach dem man vorgehen kann, könntest du mir
> vielleicht sagen wieviele direkte Summanden es hier
> eigentlich gibt, damit ich nicht stundenlang weitersuche
> und es gibt gar keine mehr. Und du weißt das ja vielleicht
> auch so. Das wäre sehr nett :0)
Naja, ich bin ein bisschen nett
Also:
[mm] $V_h [/mm] = [mm] \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}$
[/mm]
$V = [mm] \left\{\begin{pmatrix} 0&a\\ 0 &b \end{pmatrix} | a,b \in \mathbb Z_2 \right\}$
[/mm]
$_R R = [mm] V_h \oplus [/mm] V $
$_R R = _R R [mm] \oplus [/mm] 0 $
Hiermit hat man erstmal $4$ direkte Summanden.
Es gibt noch einen weiteren direkten Summanden dessen Komplement $V$ ist. Welcher? (Wieviele Elemente hat $V$? Wieviele Elemente kann dann der direkte Summand haben?)
Es gibt insgesamt $5$ direkte Summanden für $_R R$.
Das sieht für den Rechtsmodul ziemlich ähnlich, aber nicht gleich aus!
>
> Viele Grüße,
> Yonca
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 19.11.2011 | | Autor: | yonca |
Guten Morgen mathfunnel,
> Hallo Yonca!
> Es muss ein [mm]V[/mm] mit [mm]V \cap V_h = 0 = \{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &0 \end{pmatrix}\}[/mm]
> existieren, damit [mm]V_h[/mm] überhaupt ein direkter Summand sein
> kann! Weißt Du nicht was ein direkter Summand ist? Dann
> ist es schwer welche zu finden
Bin mir bei den direkten Summanden in der Tat ein wenig unsicher. Vor allem weil ich Büchern oft von inneren und äußeren direkten Summanden die Rede ist. Aber im Grunde dachte ich, dass hier in meiner Aufgabenstellung mit einem direkten Summanden folgendes gemeint ist:
[mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind direkte Summanden von einem Modul M, wenn [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] Untermoduln von M sind und wenn sich jedes Element aus M in eindeutiger Weise darstellen lässt als: [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] mit [mm] m_1 \in M_1, m_2 \in M_2 [/mm] . Und außerdem muss gelten: [mm] M_1 \cap M_2 [/mm] = {0}.
Diese letzte Bedingung [mm] (M_1 \cap M_2 [/mm] = {0}) hatte ich nur bei meinen Überlegungen letztens vergessen gehabt.
Ist diese Erklärung für die direkten Summanden denn ansonsten richtig? Oder fehlt da vielleicht noch irgendeine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit es sich um direkte Summanden handelt?
> > Wie kann ich denn die anderen direkten Summanden finden.
> > Kann man sie nur durch ausprobieren finden oder gibt es ein
> > Prinzip nach dem man vorgehen kann?
>
> Es gibt die Möglichkeit idempotente Elemente bzw.
> Projektionen zu betrachten. Aber wie das geht kannst Du
> vielleicht selbst nachlesen.
Die Sache mit den idempotenten Elementen würde ich sehrgerne selber nachlesen. Ich weiß nur nicht so
genau wo ich da schauen muss ( unter welchem Stichwort bzw. in welchen Büchern). Bin bei der Suche danach bisher leider nicht so richtig fündig geworden. Kannst du mir da einen Tipp geben.
>
>
> > Falls es kein Prinzip
> > gibt nach dem man vorgehen kann, könntest du mir
> > vielleicht sagen wieviele direkte Summanden es hier
> > eigentlich gibt, damit ich nicht stundenlang weitersuche
> > und es gibt gar keine mehr. Und du weißt das ja vielleicht
> > auch so. Das wäre sehr nett :0)
>
> Naja, ich bin ein bisschen nett
>
> Also:
>
> [mm]V_h = \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> [mm]V = \left\{\begin{pmatrix} 0&a\\ 0 &b \end{pmatrix} | a,b \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> [mm]_R R = V_h \oplus V[/mm]
>
> [mm]_R R = _R R \oplus 0[/mm]
>
> Hiermit hat man erstmal [mm]4[/mm] direkte Summanden.
>
> Es gibt noch einen weiteren direkten Summanden dessen
> Komplement [mm]V[/mm] ist. Welcher? (Wieviele Elemente hat [mm]V[/mm]?
> Wieviele Elemente kann dann der direkte Summand haben?)
Also, ich würde sagen, V hat vier Elemente. Dann kann der direkte Summand dazu maximal fünf Elemente haben, da ja [mm]_RR[/mm] neun Elemente hat und die Nullmatrix ja in beiden Summanden vorkommt.
Nach ein wenig rumprobieren bin ich auf folgenden direkten Summanden zu V gestoßen. Ich nenne ihn mal [mm] V_g:
[/mm]
[mm] V_g [/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
Kann das hinkommen?
Bei meinem "Glück" ists bestimmt wieder falsch. :(
Viele Grüße,
Yonca!
>
> Es gibt insgesamt [mm]5[/mm] direkte Summanden für [mm]_R R[/mm].
>
> Das sieht für den Rechtsmodul ziemlich ähnlich, aber
> nicht gleich aus!
>
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Hallo Yonca!
> Guten Morgen mathfunnel,
>
> > Hallo Yonca!
> > Es muss ein [mm]V[/mm] mit [mm]V \cap V_h = 0 = \{\begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &0 \end{pmatrix}\}[/mm]
> > existieren, damit [mm]V_h[/mm] überhaupt ein direkter Summand sein
> > kann! Weißt Du nicht was ein direkter Summand ist? Dann
> > ist es schwer welche zu finden
>
> Bin mir bei den direkten Summanden in der Tat ein wenig
> unsicher. Vor allem weil ich Büchern oft von inneren und
> äußeren direkten Summanden die Rede ist. Aber im Grunde
> dachte ich, dass hier in meiner Aufgabenstellung mit einem
> direkten Summanden folgendes gemeint ist:
>
> [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] sind direkte Summanden von einem Modul M, wenn
> [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] Untermoduln von M sind und wenn sich jedes
> Element aus M in eindeutiger Weise darstellen lässt als:
> [mm]m_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] mit [mm]m_1 \in M_1, m_2 \in M_2[/mm] . Und außerdem
> muss gelten: [mm]M_1 \cap M_2[/mm] = {0}.
>
> Diese letzte Bedingung [mm](M_1 \cap M_2[/mm] = {0}) hatte ich nur
> bei meinen Überlegungen letztens vergessen gehabt.
Womöglich weil sie in der Definition nicht explizit vorkommen muss.
>
> Ist diese Erklärung für die direkten Summanden denn
> ansonsten richtig? Oder fehlt da vielleicht noch irgendeine
> Bedingung, die erfüllt sein muss, damit es sich um direkte
> Summanden handelt?
Das ist richtig. Wobei der Zusatz $ [mm] M_1 \cap M_2 [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] aus der geforderten Eindeutigkeit der Darstellung folgt und somit bei der Definition wegfallen kann: Für [mm] $x\in M_1\cap M_2$ [/mm] gilt $x = [mm] m_1+m_2 [/mm] = [mm] \underbrace{x}_{\in M_1}+\underbrace{0}_{\in M_2} [/mm] = [mm] \underbrace{0}_{\in M_1}+\underbrace{x}_{\in M_2} \Rightarrow m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] = 0 = x$
>
>
> > > Wie kann ich denn die anderen direkten Summanden finden.
> > > Kann man sie nur durch ausprobieren finden oder gibt es ein
> > > Prinzip nach dem man vorgehen kann?
> >
> > Es gibt die Möglichkeit idempotente Elemente bzw.
> > Projektionen zu betrachten. Aber wie das geht kannst Du
> > vielleicht selbst nachlesen.
>
> Die Sache mit den idempotenten Elementen würde ich
> sehrgerne selber nachlesen. Ich weiß nur nicht so
> genau wo ich da schauen muss ( unter welchem Stichwort bzw.
> in welchen Büchern). Bin bei der Suche danach bisher
> leider nicht so richtig fündig geworden. Kannst du mir da
> einen Tipp geben.
G. Scheja/U. Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 § 39 Direkte Summen
> >
> >
> > > Falls es kein Prinzip
> > > gibt nach dem man vorgehen kann, könntest du mir
> > > vielleicht sagen wieviele direkte Summanden es hier
> > > eigentlich gibt, damit ich nicht stundenlang weitersuche
> > > und es gibt gar keine mehr. Und du weißt das ja vielleicht
> > > auch so. Das wäre sehr nett :0)
> >
> > Naja, ich bin ein bisschen nett
> >
> > Also:
> >
> > [mm]V_h = \left\{\begin{pmatrix} a&0\\ 0 &0 \end{pmatrix} | a \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]V = \left\{\begin{pmatrix} 0&a\\ 0 &b \end{pmatrix} | a,b \in \mathbb Z_2 \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]_R R = V_h \oplus V[/mm]
> >
> > [mm]_R R = _R R \oplus 0[/mm]
> >
> > Hiermit hat man erstmal [mm]4[/mm] direkte Summanden.
> >
> > Es gibt noch einen weiteren direkten Summanden dessen
> > Komplement [mm]V[/mm] ist. Welcher? (Wieviele Elemente hat [mm]V[/mm]?
> > Wieviele Elemente kann dann der direkte Summand haben?)
>
> Also, ich würde sagen, V hat vier Elemente.
Ok!
> Dann kann der
> direkte Summand dazu maximal fünf Elemente haben,
Er hat sogar nur $2$ Elemente!
> da ja
> [mm]_RR[/mm] neun Elemente hat und die Nullmatrix ja in beiden
> Summanden vorkommt.
???
$_RR$ hat $8$ Elemente! Wie zählt man diese?
> Nach ein wenig rumprobieren bin ich auf folgenden direkten
> Summanden zu V gestoßen. Ich nenne ihn mal [mm]V_g:[/mm]
>
> [mm]V_g[/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
>
> Kann das hinkommen?
Nein. [mm] $V_g$ [/mm] ist keine Gruppe. Lass ein Element weg!
> Bei meinem "Glück" ists bestimmt wieder falsch. :(
Tut mir leid, du solltest Dein Glück gegen ein anderes umtauschen. Wenn das nicht geht, einfach weiter lernen.
>
> Viele Grüße,
> Yonca!
>
> >
> > Es gibt insgesamt [mm]5[/mm] direkte Summanden für [mm]_R R[/mm].
> >
> > Das sieht für den Rechtsmodul ziemlich ähnlich, aber
> > nicht gleich aus!
> >
>
>
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 20.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
bin leider immer noch nicht hundertprozentig klargekommen.
> > > Es gibt noch einen weiteren direkten Summanden dessen
> > > Komplement [mm]V[/mm] ist. Welcher? (Wieviele Elemente hat [mm]V[/mm]?
> > > Wieviele Elemente kann dann der direkte Summand haben?)
> >
> > Also, ich würde sagen, V hat vier Elemente.
>
> Ok!
>
> > Dann kann der
> > direkte Summand dazu maximal fünf Elemente haben,
>
> Er hat sogar nur [mm]2[/mm] Elemente!
>
> > da ja
> > [mm]_RR[/mm] neun Elemente hat und die Nullmatrix ja in beiden
> > Summanden vorkommt.
>
> ???
>
> [mm]_RR[/mm] hat [mm]8[/mm] Elemente! Wie zählt man diese?
[mm]_RR[/mm] hat natürlich nur acht Elemente. Ich hatte mich einfach verzählt.
> > Nach ein wenig rumprobieren bin ich auf folgenden direkten
> > Summanden zu V gestoßen. Ich nenne ihn mal [mm]V_g:[/mm]
> >
> > [mm]V_g[/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> >
> >
> > Kann das hinkommen?
>
> Nein. [mm]V_g[/mm] ist keine Gruppe. Lass ein Element weg!
Und auch hier hatte ich mich einfach bei der Matrixmultiplikation vertan und bin somit auf ein falsches Ergebnis gekommen. Nach nochmaligem Nachrechnen komme ich jetzt allerdings darauf, dass sowohl
[mm] V_g [/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
als auch das
[mm] V_g' [/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
ein direkter Summand von V ist. Und du sagtest ja es gibt noch einen direkten Summanden von V. Da kann dann ja also wieder irgendetwas nicht stimmen. Entweder habe ich wieder einen blöden Fehler bei der Matrixmultiplikation gemacht (was ich eigentlich nicht glaube, denn ich habe zweimal nachgerechnet) oder ich übersehe wieder irgend etwas Entscheidendes?! Ich habe aber nachgeprüft, ob man jeweils alle Elemente aus [mm]_RR[/mm] eindeutig bilden kann, ich habe nachgeprüft, ob [mm] V_g [/mm] und [mm] V_g' [/mm] abgeschlossen sind gegenüber der Ringmultiplikation von links und habe geschaut, dass sowohl [mm] V_g [/mm] als auch [mm] V_g' [/mm] Gruppen sind. Also was stimmt da nicht?
LG Yonca
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Hallo yonca!
> Hallo nochmal,
>
> bin leider immer noch nicht hundertprozentig klargekommen.
>
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> > > > Es gibt noch einen weiteren direkten Summanden dessen
> > > > Komplement [mm]V[/mm] ist. Welcher? (Wieviele Elemente hat [mm]V[/mm]?
> > > > Wieviele Elemente kann dann der direkte Summand haben?)
> > >
> > > Also, ich würde sagen, V hat vier Elemente.
> >
> > Ok!
> >
> > > Dann kann der
> > > direkte Summand dazu maximal fünf Elemente haben,
> >
> > Er hat sogar nur [mm]2[/mm] Elemente!
> >
> > > da ja
> > > [mm]_RR[/mm] neun Elemente hat und die Nullmatrix ja in beiden
> > > Summanden vorkommt.
> >
> > ???
> >
> > [mm]_RR[/mm] hat [mm]8[/mm] Elemente! Wie zählt man diese?
>
>
> [mm]_RR[/mm] hat natürlich nur acht Elemente. Ich hatte mich
> einfach verzählt.
>
>
> > > Nach ein wenig rumprobieren bin ich auf folgenden direkten
> > > Summanden zu V gestoßen. Ich nenne ihn mal [mm]V_g:[/mm]
> > >
> > > [mm]V_g[/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Kann das hinkommen?
> >
> > Nein. [mm]V_g[/mm] ist keine Gruppe. Lass ein Element weg!
>
> Und auch hier hatte ich mich einfach bei der
> Matrixmultiplikation vertan und bin somit auf ein falsches
> Ergebnis gekommen. Nach nochmaligem Nachrechnen komme ich
> jetzt allerdings darauf, dass sowohl
>
>
> [mm]V_g[/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{1}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> als auch das
>
> [mm]V_g'[/mm] := [mm]\left\{\begin{pmatrix} \overline{0}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \overline{1}&\overline{0}\\ \overline{0} &\overline{0} \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> ein direkter Summand von V ist. Und du sagtest ja es gibt
> noch einen direkten Summanden von V.
Es gibt keinen 'direkten Summanden von $V$', sondern es gibt zwei direkte Summanden von $_RR$ mit Komplement $V$.
> Da kann dann ja also
> wieder irgendetwas nicht stimmen.
Doch, es stimmt alles 
> Entweder habe ich wieder
> einen blöden Fehler bei der Matrixmultiplikation gemacht
> (was ich eigentlich nicht glaube, denn ich habe zweimal
> nachgerechnet) oder ich übersehe wieder irgend etwas
> Entscheidendes?! Ich habe aber nachgeprüft, ob man jeweils
> alle Elemente aus [mm]_RR[/mm] eindeutig bilden kann, ich habe
> nachgeprüft, ob [mm]V_g[/mm] und [mm]V_g'[/mm] abgeschlossen sind gegenüber
> der Ringmultiplikation von links und habe geschaut, dass
> sowohl [mm]V_g[/mm] als auch [mm]V_g'[/mm] Gruppen sind. Also was stimmt da
> nicht?
Nichts stimmt nicht!
Wir habe also Folgendes: [mm] $(V_h=)V_g'$, $V_g$ [/mm] und $V$ sind direkte Summanden von $_RR$.
Dann gibt es noch den Nulluntermodul und $_RR$.
Hast du auch die Eindeutigkeit der Darstellung bzw. die Schnittmengen betrachtet?
Edit: Pardon, das hast du. Ich habe es übersehen!
>
>
> LG Yonca
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 21.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo und guten Morgen,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Hat mir schonmal sehr weitergeholfen.
Werd dann mal versuchen die direkten Summanden für [mm] R_R [/mm] zu bestimmen.
Hab allerdings immer noch nicht so ganz rausgefunden, obs ein Prinzip dazu gibt. Du schriebst ja was von Idempotenten und Projektionen, mit dessen Hilfe man dann die direkten Summanden bestimmen kann.
In meinem Text, den ich bearbeiten soll für den Vortrag, ist sehr viel von Idempotenten und Idealen die Rede.
Allerdings sind die Sätze, Propositionen, Korollare irgendwie alle sehr ähnlich und ich blicke irgendwie überhaupt nicht mehr durch. Ich kann nicht beurteilen, was aus dem Text wichtig ist und was eher nicht so wichtig ist. Und aufgrund von Zeitmangel, würde es mir sehr helfen, wenn ich wüsste was wichtig ist.
Ich frage mich halt, ob es einen bestimmten Satz darüber gibt, der besonders wichtig ist und mit dessen Hilfe man direkte Summanden von [mm] R_R [/mm] bzw. [mm]_RR[/mm] bestimmen kann. Gibt es dazu einen Satz, den ich ihn auf keinen Fall in meinem Vortrag (Thema: Zerlegung von Ringen) weglassen sollte?
In dem Text (er ist auf Englisch) ist auch von einem "block decomposition theorem" die Rede. Könnte das vielleicht so ein wichtiger Satz sein?
Lieben Gruß,
Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo und guten Morgen,
>
> vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Hat mir schonmal sehr
> weitergeholfen.
>
> Werd dann mal versuchen die direkten Summanden für [mm]R_R[/mm] zu
> bestimmen.
> Hab allerdings immer noch nicht so ganz rausgefunden, obs
> ein Prinzip dazu gibt. Du schriebst ja was von Idempotenten
> und Projektionen, mit dessen Hilfe man dann die direkten
> Summanden bestimmen kann.
> In meinem Text, den ich bearbeiten soll für den Vortrag,
> ist sehr viel von Idempotenten und Idealen die Rede.
> Allerdings sind die Sätze, Propositionen, Korollare
> irgendwie alle sehr ähnlich und ich blicke irgendwie
> überhaupt nicht mehr durch. Ich kann nicht beurteilen, was
> aus dem Text wichtig ist und was eher nicht so wichtig ist.
> Und aufgrund von Zeitmangel, würde es mir sehr helfen,
> wenn ich wüsste was wichtig ist.
> Ich frage mich halt, ob es einen bestimmten Satz darüber
> gibt, der besonders wichtig ist und mit dessen Hilfe man
> direkte Summanden von [mm]R_R[/mm] bzw. [mm]_RR[/mm] bestimmen kann. Gibt
> es dazu einen Satz, den ich ihn auf keinen Fall in meinem
> Vortrag (Thema: Zerlegung von Ringen) weglassen sollte?
Es gibt einen wichtigen Satz über die Zuordnung gewisser Familien von Idempotenten in $R$ zu Familien von Linksidealen, die direkte Summanden von $_RR$ sind.
In dem hier behandelten Beispiel kann man sehr leicht die Idempotenten finden und somit auch die Links- bzw. Rechtsideale.
Beispiel:
$a := [mm] \begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &0 \end{pmatrix}, [/mm] e := [mm] \begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$b := e-a = [mm] \begin{pmatrix} 0&0\\ 0 &1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$a$ und $b$ sind Idempotente mit $ab = 0$ und $a+b= 1$
Dazu existieren die Linksideale $Ra= [mm] V_g'$, [/mm] $Rb=V$ mit
$_RR = Ra [mm] \oplus [/mm] Rb$
> In dem Text (er ist auf Englisch) ist auch von einem
> "block decomposition theorem" die Rede. Könnte das
> vielleicht so ein wichtiger Satz sein?
Ich würde nicht wagen, ihn als unwichtig zu bezeichnen.
Dabei handelt es sich um Zerlegungen in $2$-seitige Ideale (und nicht wie hier um Zerlegungen in Links- bzw. Rechtsideale). Dabei sind [mm] \textbf{zentrale} [/mm] Idempotente interessant.
>
> Lieben Gruß,
> Yonca
>
>
>
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 22.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo und guten Abend mathfunnel,
ok, danke soweit.
Ist doch richtig, dass es dann noch die beiden folgenden orthogonalen idempotenten Elemente gibt, deren Summe 1 ist und die, wenn man sie von links mit den Ringelementen multipliziert auch wieder Linksideale ergeben, wobei diese Linksideale dann den direkten Summanden V und [mm] V_h [/mm] entsprechen?
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] also
[mm]_RR[/mm] = [mm] R\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } \oplus R\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm]
Sehe diese ganze Sache jedoch immer noch durch so eine Art grauen Schleier und frage mich unter anderem folgendes:
1) In meinem Text steht dass [mm]_RR[/mm] und [mm] R_R [/mm] und auch [mm]_RR_R[/mm] jeweils seine eigene Zerlegungstheorie haben und ich frage mich was damit gemeint ist. Was kann da so anders dran sein. Ich hätte mir jetzt vorstellen können, dass die Theorie von [mm]_RR[/mm] und [mm] R_R [/mm] gleich ist, nur das das eine eben über Linksideale und das andere über Rechtsideale läuft. Also was könnte mit dieser Aussage gemeint sein?
2) In dem Text steht so etwas wie: "Of course it shows that if [mm]_RR[/mm] has an indecomposable decomposition, so does [mm] R_R. [/mm] The existence of such decompositions for R is far from common, but many rings that are met in practice do have indecomposable left and right decompositions."
Also, ich verstehe das so, dass wenn [mm]_RR[/mm] eine solche Zerlegung in direkte Summanden hat, auch [mm] R_R [/mm] eine solche Zerlegung hat. Dass aber die Existenz solcher Zerlegungen für R eher ungewöhnlich ist. Dass aber für viele Ringe, die man in der Praxis trifft eine Links- und Rechtszerlegung existiert. Ich denke, dass kann man so ungefähr übersetzen. Ich verstehe es nur leider nicht so ganz. Was ist denn jetzt genau mit einer Zerlegung von R gemeint ? Denn [mm]_RR[/mm] und [mm] R_R [/mm] beschreiben doch auch im Grunde den Ring nur das noch eine zusätzliche Operation darauf definiert wurde.
Damit bin ich dann auch wieder beim Begriff der Operation. Du (mathfunnel) hattest in deinen anderen Antworten darauf bestanden, dass es Operation und nicht Verknüpfung heißt. Und ich weiß nicht warum das so wichtig ist. Ich habe noch nicht heraus gefunden, was jetzt genau der Unterschied ist. Kannst du mir das vielleicht sagen?
Diese ganze Geschichte ist, wie gesagt leider noch etwas undurchsichtig für mich. Könnte auch daran liegen, dass ich mich teilweise noch mit den Definitionen der benutzten Begriffe schwer tue. Ich habe auch immer noch nicht ganz verstanden warum der Links- und Rechtsmodul gleich sind, wenn der Ring kommutativ ist. Ist es vielleicht so, dass die Aussage Links- und Rechtsmodul sind bei kommutativen Ringen gleich nicht ganz korrekt ist. Sondern man müsste eigentlich sagen, dass sie isomorph zueinander sind?
Vielleicht kannst du mir ja doch noch einmal ein wenig weiter helfen und ein wenig Licht in mein Dunkel bringen?! :)
LG
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Hallo Yonca!
> Hallo und guten Abend mathfunnel,
>
> ok, danke soweit.
>
> Ist doch richtig, dass es dann noch die beiden folgenden
> orthogonalen idempotenten Elemente gibt, deren Summe 1 ist
> und die, wenn man sie von links mit den Ringelementen
> multipliziert auch wieder Linksideale ergeben,
Ja.
> wobei diese
> Linksideale dann den direkten Summanden V und [mm]V_h[/mm]
> entsprechen?
Nein (Schreibfehler?), diese Linksideale [mm] \textbf{sind} $R\begin{pmatrix} 0&1\\ 0 &1 \end{pmatrix}= [/mm] V$ und [mm] $R\begin{pmatrix} 1&1\\ 0 &0 \end{pmatrix}= V_g$
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },[/mm] also
>
> [mm]_RR[/mm] = [mm]R\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } \oplus R\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },[/mm]
>
>
>
> Sehe diese ganze Sache jedoch immer noch durch so eine Art
> grauen Schleier und frage mich unter anderem folgendes:
>
> 1) In meinem Text steht dass [mm]_RR[/mm] und [mm]R_R[/mm] und auch [mm]_RR_R[/mm]
> jeweils seine eigene Zerlegungstheorie haben und ich frage
> mich was damit gemeint ist. Was kann da so anders dran
> sein. Ich hätte mir jetzt vorstellen können, dass die
> Theorie von [mm]_RR[/mm] und [mm]R_R[/mm] gleich ist, nur das das eine eben
> über Linksideale und das andere über Rechtsideale läuft.
> Also was könnte mit dieser Aussage gemeint sein?
Betrachtet man eine Theorie als Menge von Sätzen, so unterscheiden sich in unserem Beispiel die Theorien von
$_RR$ und [mm] $R_R$, [/mm] da der Satz [mm] '$V_h$ [/mm] tritt in einer Zerlegung auf.' nicht in beiden Theorien wahr ist.
>
> 2) In dem Text steht so etwas wie: "Of course it shows
> that if [mm]_RR[/mm] has an indecomposable decomposition, so does
> [mm]R_R.[/mm] The existence of such decompositions for R is far from
> common, but many rings that are met in practice do have
> indecomposable left and right decompositions."
> Also, ich verstehe das so, dass wenn [mm]_RR[/mm] eine solche
> Zerlegung in direkte Summanden hat, auch [mm]R_R[/mm] eine solche
> Zerlegung hat. Dass aber die Existenz solcher Zerlegungen
> für R eher ungewöhnlich ist.
'Die Existenz solcher Zerlegungen ist nicht selbstverständlich.'
> Dass aber für viele Ringe,
> die man in der Praxis trifft eine Links- und
> Rechtszerlegung existiert. Ich denke, dass kann man so
> ungefähr übersetzen. Ich verstehe es nur leider nicht so
> ganz. Was ist denn jetzt genau mit einer Zerlegung von R
> gemeint ? Denn [mm]_RR[/mm] und [mm]R_R[/mm] beschreiben doch auch im Grunde
> den Ring nur das noch eine zusätzliche Operation darauf
> definiert wurde.
Eine Zerlegung kann man so definieren: Eine Zerlegung von $R$ in $R$-Linksideale ist eine Familie [mm] $J_i, i\in [/mm] I$ von $R$-Linksidealen mit $R = [mm] \oplus_{i\in I} J_i$. [/mm] Entsprechend für Rechtsideale und zweiseitige Ideale.
>
> Damit bin ich dann auch wieder beim Begriff der Operation.
> Du (mathfunnel) hattest in deinen anderen Antworten darauf
> bestanden, dass es Operation und nicht Verknüpfung heißt.
> Und ich weiß nicht warum das so wichtig ist. Ich habe noch
> nicht heraus gefunden, was jetzt genau der Unterschied ist.
> Kannst du mir das vielleicht sagen?
So wichtig ist das zwar nicht, aber dann hätte ich womöglich zugeben müssen, dass hippias (in 'https://www.vorhilfe.de/read?t=837187' Definition Moduln) eine neue Verknüpfung definiert hat . Ich habe das 'Operation von $R$ auf $M$' genannt und behauptet, dass die Definition von hippias keine neue Operation ('Definition siehe unten') definiert. Das dient alles dazu unnötige Freiheitsgrade, die zur Verwirrung führen, zu eliminieren. (Entschuldige bitte, dass das Verschwinden der Freiheitsgrade nicht unbedingt gleichzusetzen ist mit dem Verschwinden der Verwirrung. )
Definition: Eine Operation [mm] $\Phi$ [/mm] von $R$ auf $M$ ist eine Abbildung [mm] $\Phi:R\times M\rightarrow [/mm] M$.
Damit ist eine Abbildung [mm] $\varphi:M\times [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] M$ für [mm] $R\neq [/mm] M$ keine Operation von $R$ auf $M$, aber immer noch eine Verknüpfung von $R$ und $M$.
>
> Diese ganze Geschichte ist, wie gesagt leider noch etwas
> undurchsichtig für mich. Könnte auch daran liegen, dass
> ich mich teilweise noch mit den Definitionen der benutzten
> Begriffe schwer tue. Ich habe auch immer noch nicht ganz
> verstanden warum der Links- und Rechtsmodul gleich sind,
> wenn der Ring kommutativ ist. Ist es vielleicht so, dass
> die Aussage Links- und Rechtsmodul sind bei kommutativen
> Ringen gleich nicht ganz korrekt ist. Sondern man müsste
> eigentlich sagen, dass sie isomorph zueinander sind?
Benutzt man obige Definition von 'Operation' für die Definition von '$R$-Modul', so ist im Falle eines
kommutativen Rings $R$ eine abelsche Gruppe genau dann ein $R$-Rechtsmodul, wenn sie ein $R$-Linksmodul ist.
(Bei [mm] \mathbf{anderen} [/mm] Definitionen ist es möglich, dass sie nur noch isomorph sind.)
>
> Vielleicht kannst du mir ja doch noch einmal ein wenig
> weiter helfen und ein wenig Licht in mein Dunkel bringen?!
> :)
> LG
>
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LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 25.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
> > wobei diese
> > Linksideale dann den direkten Summanden V und [mm]V_h[/mm]
> > entsprechen?
>
> Nein (Schreibfehler?), diese Linksideale [mm]\textbf{sind}[/mm]
> [mm]R\begin{pmatrix} 0&1\\ 0 &1 \end{pmatrix}= V[/mm] und
> [mm]R\begin{pmatrix} 1&1\\ 0 &0 \end{pmatrix}= V_g[/mm]
Ja, hab mich einfach nur vertan. [mm] \begin{pmatrix}1&1\\0&0 \end{pmatrix} [/mm] hatten wir ja als [mm] V_g [/mm] definiert.
> Eine Zerlegung kann man so definieren: Eine Zerlegung von [mm]R[/mm]
> in [mm]R[/mm]-Linksideale ist eine Familie [mm]J_i, i\in I[/mm] von
> [mm]R[/mm]-Linksidealen mit [mm]R = \oplus_{i\in I} J_i[/mm]. Entsprechend
> für Rechtsideale und zweiseitige Ideale.
Ja ok, aber was ist denn nun der Unterschied zwischen einer Zerlegung von R und einer von [mm] R_R [/mm] bzw. was ist der Unterschied zwischen einer Zerlegung von R und einer von [mm]_RR[/mm]? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?
>
> So wichtig ist das zwar nicht, aber dann hätte ich
> womöglich zugeben müssen, dass hippias (in
> 'https://www.vorhilfe.de/read?t=837187' Definition Moduln)
> eine neue Verknüpfung definiert hat . Ich habe das
> 'Operation von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm]' genannt und behauptet, dass die
> Definition von hippias keine neue Operation ('Definition
> siehe unten') definiert. Das dient alles dazu unnötige
> Freiheitsgrade, die zur Verwirrung führen, zu eliminieren.
> (Entschuldige bitte, dass das Verschwinden der
> Freiheitsgrade nicht unbedingt gleichzusetzen ist mit dem
> Verschwinden der Verwirrung. )
>
> Definition: Eine Operation [mm]\Phi[/mm] von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm] ist eine
> Abbildung [mm]\Phi:R\times M\rightarrow M[/mm].
>
> Damit ist eine Abbildung [mm]\varphi:M\times R \rightarrow M[/mm]
> für [mm]R\neq M[/mm] keine Operation von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm], aber immer noch
> eine Verknüpfung von [mm]R[/mm] und [mm]M[/mm].
Super, danke! Dann hat es scheinbar wohl nur etwas mit der Reihenfolge der Mengen im kartesischen Produkt des Definitionsbereichs zu tun, ob es sich um eine Operation handelt oder nicht. Kann man das so sagen?
>
> >
> > Diese ganze Geschichte ist, wie gesagt leider noch etwas
> > undurchsichtig für mich. Könnte auch daran liegen, dass
> > ich mich teilweise noch mit den Definitionen der benutzten
> > Begriffe schwer tue. Ich habe auch immer noch nicht ganz
> > verstanden warum der Links- und Rechtsmodul gleich sind,
> > wenn der Ring kommutativ ist. Ist es vielleicht so, dass
> > die Aussage Links- und Rechtsmodul sind bei kommutativen
> > Ringen gleich nicht ganz korrekt ist. Sondern man müsste
> > eigentlich sagen, dass sie isomorph zueinander sind?
>
> Benutzt man obige Definition von 'Operation' für die
> Definition von '[mm]R[/mm]-Modul', so ist im Falle eines
> kommutativen Rings [mm]R[/mm] eine abelsche Gruppe genau dann ein
> [mm]R[/mm]-Rechtsmodul, wenn sie ein [mm]R[/mm]-Linksmodul ist.
> (Bei [mm]\mathbf{anderen}[/mm] Definitionen ist es möglich, dass
> sie nur noch isomorph sind.)
Da muss ich selber erst mal ein wenig drüber nachdenken. Aber Danke schonmal soweit.
Lieben Gruß, Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo nochmal,
>
>
> > > wobei diese
> > > Linksideale dann den direkten Summanden V und [mm]V_h[/mm]
> > > entsprechen?
> >
> > Nein (Schreibfehler?), diese Linksideale [mm]\textbf{sind}[/mm]
> > [mm]R\begin{pmatrix} 0&1\\ 0 &1 \end{pmatrix}= V[/mm] und
> > [mm]R\begin{pmatrix} 1&1\\ 0 &0 \end{pmatrix}= V_g[/mm]
>
> Ja, hab mich einfach nur vertan. [mm]\begin{pmatrix}1&1\\0&0 \end{pmatrix}[/mm]
> hatten wir ja als [mm]V_g[/mm] definiert.
>
> > Eine Zerlegung kann man so definieren: Eine Zerlegung von [mm]R[/mm]
> > in [mm]R[/mm]-Linksideale ist eine Familie [mm]J_i, i\in I[/mm] von
> > [mm]R[/mm]-Linksidealen mit [mm]R = \oplus_{i\in I} J_i[/mm]. Entsprechend
> > für Rechtsideale und zweiseitige Ideale.
>
> Ja ok, aber was ist denn nun der Unterschied zwischen einer
> Zerlegung von R und einer von [mm]R_R[/mm] bzw. was ist der
> Unterschied zwischen einer Zerlegung von R und einer von
> [mm]_RR[/mm]? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?
Man interessiert sich dafür, ob eine Struktur in kleinere Bestandteile derselben Struktur zerlegbar ist.
Betrachtet man einen Ring, so sind direkte Zerlegungen in Ringe interessant.
Betrachtet man einen Rechtsmodul, so sind direkte Zerlegungen in Rechtsmoduln interessant.
Betrachtet man einen L [mm] \ldots
[/mm]
Wählt man also eine der Strukturen $R$, $_RR$ oder [mm] $R_R$, [/mm] so gibt es die dazu jeweilig 'natürliche' Fragestellung nach Zerlegungen.
Hab' ich's diesmal getroffen?
> >
> > So wichtig ist das zwar nicht, aber dann hätte ich
> > womöglich zugeben müssen, dass hippias (in
> > 'https://www.vorhilfe.de/read?t=837187' Definition Moduln)
> > eine neue Verknüpfung definiert hat . Ich habe das
> > 'Operation von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm]' genannt und behauptet, dass die
> > Definition von hippias keine neue Operation ('Definition
> > siehe unten') definiert. Das dient alles dazu unnötige
> > Freiheitsgrade, die zur Verwirrung führen, zu eliminieren.
> > (Entschuldige bitte, dass das Verschwinden der
> > Freiheitsgrade nicht unbedingt gleichzusetzen ist mit dem
> > Verschwinden der Verwirrung. )
> >
> > Definition: Eine Operation [mm]\Phi[/mm] von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm] ist eine
> > Abbildung [mm]\Phi:R\times M\rightarrow M[/mm].
> >
> > Damit ist eine Abbildung [mm]\varphi:M\times R \rightarrow M[/mm]
> > für [mm]R\neq M[/mm] keine Operation von [mm]R[/mm] auf [mm]M[/mm], aber immer noch
> > eine Verknüpfung von [mm]R[/mm] und [mm]M[/mm].
>
> Super, danke! Dann hat es scheinbar wohl nur etwas mit
> der Reihenfolge der Mengen im kartesischen Produkt des
> Definitionsbereichs zu tun, ob es sich um eine Operation
> handelt oder nicht. Kann man das so sagen?
Ja, aber um ganz deutlich zu sein: Das Wesentliche ist nicht die Reihenfolge in der Definition von Operation, sondern die [mm] \textbf{Auswahl genau einer} [/mm] Reihenfolge!
> >
> > >
> > > Diese ganze Geschichte ist, wie gesagt leider noch etwas
> > > undurchsichtig für mich. Könnte auch daran liegen, dass
> > > ich mich teilweise noch mit den Definitionen der benutzten
> > > Begriffe schwer tue. Ich habe auch immer noch nicht ganz
> > > verstanden warum der Links- und Rechtsmodul gleich sind,
> > > wenn der Ring kommutativ ist. Ist es vielleicht so, dass
> > > die Aussage Links- und Rechtsmodul sind bei kommutativen
> > > Ringen gleich nicht ganz korrekt ist. Sondern man müsste
> > > eigentlich sagen, dass sie isomorph zueinander sind?
> >
> > Benutzt man obige Definition von 'Operation' für die
> > Definition von '[mm]R[/mm]-Modul', so ist im Falle eines
> > kommutativen Rings [mm]R[/mm] eine abelsche Gruppe genau dann ein
> > [mm]R[/mm]-Rechtsmodul, wenn sie ein [mm]R[/mm]-Linksmodul ist.
> > (Bei [mm]\mathbf{anderen}[/mm] Definitionen ist es möglich,
> dass
> > sie nur noch isomorph sind.)
>
> Da muss ich selber erst mal ein wenig drüber nachdenken.
> Aber Danke schonmal soweit.
>
> Lieben Gruß, Yonca
>
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 26.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo mathfunnel,
> > Ja ok, aber was ist denn nun der Unterschied zwischen
> einer
> > Zerlegung von R und einer von [mm]R_R[/mm] bzw. was ist der
> > Unterschied zwischen einer Zerlegung von R und einer
> von
> > [mm]_RR[/mm]? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?
>
> Man interessiert sich dafür, ob eine Struktur in kleinere
> Bestandteile derselben Struktur zerlegbar ist.
>
> Betrachtet man einen Ring, so sind direkte Zerlegungen in
> Ringe interessant.
>
> Betrachtet man einen Rechtsmodul, so sind direkte
> Zerlegungen in Rechtsmoduln interessant.
>
> Betrachtet man einen L [mm]\ldots[/mm]
>
> Wählt man also eine der Strukturen [mm]R[/mm], [mm]_RR[/mm] oder [mm]R_R[/mm], so
> gibt es die dazu jeweilig 'natürliche' Fragestellung nach
> Zerlegungen.
>
> Hab' ich's diesmal getroffen?
Ja, danke das hat mir schon mal weitergeholfen.
Ist es denn so, dass es trotzdem z.B. Zerlegungen von Rechtsmoduln in Ringe gibt bzw. Zerlegungen von Ringe in Rechts-(Links-)module; diese aber einfach nicht so interessant sind?
Kann man das so sagen?
Und noch eine blöde letzte Frage: Was hat man davon eine gegebene Struktur in kleinere Bestandteile derselben Struktur zu zerlegen? Warum ist es nicht so interessant eine Struktur in kleinere Bestandteile von anderen Strukturen zu zerlegen?
Lieben Gruß,
Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo mathfunnel,
>
> > > Ja ok, aber was ist denn nun der Unterschied zwischen
> > einer
> > > Zerlegung von R und einer von [mm]R_R[/mm] bzw. was ist der
> > > Unterschied zwischen einer Zerlegung von R und einer
> > von
> > > [mm]_RR[/mm]? Gibt es da überhaupt einen Unterschied?
> >
> > Man interessiert sich dafür, ob eine Struktur in kleinere
> > Bestandteile derselben Struktur zerlegbar ist.
> >
> > Betrachtet man einen Ring, so sind direkte Zerlegungen in
> > Ringe interessant.
> >
> > Betrachtet man einen Rechtsmodul, so sind direkte
> > Zerlegungen in Rechtsmoduln interessant.
> >
> > Betrachtet man einen L [mm]\ldots[/mm]
> >
> > Wählt man also eine der Strukturen [mm]R[/mm], [mm]_RR[/mm] oder [mm]R_R[/mm], so
> > gibt es die dazu jeweilig 'natürliche' Fragestellung nach
> > Zerlegungen.
> >
> > Hab' ich's diesmal getroffen?
>
> Ja, danke das hat mir schon mal weitergeholfen.
> Ist es denn so, dass es trotzdem z.B. Zerlegungen von
> Rechtsmoduln in Ringe gibt bzw. Zerlegungen von Ringe in
> Rechts-(Links-)module;
Die gibt es, wie unsere Beispiele $R$, $_RR$ und [mm] $R_R$ [/mm] zeigen!
Die direkte Summe einer Zerlegung von $_RR$ kann ja als $R$-Linksmodul oder als Ring aufgefasst werden.
> diese aber einfach nicht so
> interessant sind?
> Kann man das so sagen?
Das würde ich nicht so formulieren. Umgekehrt könnte man fragen: Welche Struktur sollten die Komponenten einer Zerlegung einer Struktur haben? Offensichtlich ist die gegebene Struktur die einzige, die [mm] \textbf{a priori} [/mm] vorhanden ist!
>
> Und noch eine blöde letzte Frage:
Die letzte? Schade, deine Fragen waren nicht blöd. (Hoffentlich kann man das auch von meinen Antworten sagen.)
> Was hat man davon eine
> gegebene Struktur in kleinere Bestandteile derselben
> Struktur zu zerlegen?
Man hofft, dass die kleineren Bestandteile einfacher zu verstehen sind, so dass die gegebene Struktur ebenfalls verständlicher wird.
> Warum ist es nicht so interessant
> eine Struktur in kleinere Bestandteile von anderen
> Strukturen zu zerlegen?
Diese Frage steht ja leider hinter der letzten Frage
(siehe oben!)
>
> Lieben Gruß,
> Yonca
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 28.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo mathfunnel,
> >
> > Und noch eine blöde letzte Frage:
>
> Die letzte? Schade, deine Fragen waren nicht blöd.
> (Hoffentlich kann man das auch von meinen Antworten
> sagen.)
deine Antworten waren wirklich sehr gut. Und ich habe natürlich noch viele Fragen, die mir auf der Seele brennen und die ich mir alleine nicht so richtig beantworten kann. Aber ich kann diese hier ja nicht alle stellen. Zumal ich wohl mittlerweile von eigentlichen Thema etwas abgekommen bin.
Naja, aber ich versuchs trotzdem noch mal. Vielleicht magst du ja nochmal antworten:
Also in meinem Text, der ja auf Englisch ist steht folgendes, wobei es glaube ich um eine Zerlegung eines Ringes R in zweiseitige Ideale geht: " Wenn R has such a decomposition, we say that R is the ring direct sum of the ideals [mm] R_1,...,R_n, [/mm] we call [mm] R_1,...,R_n [/mm] ring direct summands of R and write [mm] R=R_1+...+R_n."
[/mm]
Meine Frage dazu ist nun einfach, wie man das fettgeschriebene richtig auf deutsch sagen würde (ich muss wie gesagt einen Vortrag über das Thema machen). Kannst du mir vielleicht sagen, wie man das mathematisch korrekt ausdrückt?
Was mich auch noch interessieren würde, ist folgendes:
Dieses block decomposition theorem; bezeichnet man dieses im deutschen auch als Block- Zerlegungstheorem oder gibt es da einen anderen Ausdruck für, den ich mal googlen könnte?
Lieben Gruß und vielen Dank schon mal,
Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo mathfunnel,
>
> > >
> > > Und noch eine blöde letzte Frage:
> >
> > Die letzte? Schade, deine Fragen waren nicht blöd.
> > (Hoffentlich kann man das auch von meinen Antworten
> > sagen.)
>
> deine Antworten waren wirklich sehr gut.
Vielen Dank. Das ist sehr nett von dir.
> Und ich habe
> natürlich noch viele Fragen, die mir auf der Seele brennen
> und die ich mir alleine nicht so richtig beantworten kann.
> Aber ich kann diese hier ja nicht alle stellen. Zumal ich
> wohl mittlerweile von eigentlichen Thema etwas abgekommen
> bin.
> Naja, aber ich versuchs trotzdem noch mal. Vielleicht magst
> du ja nochmal antworten:
>
> Also in meinem Text, der ja auf Englisch ist steht
> folgendes, wobei es glaube ich um eine Zerlegung eines
> Ringes R in zweiseitige Ideale geht: " Wenn R has such a
> decomposition, we say that R is the ring direct sum of the
> ideals [mm]R_1,...,R_n,[/mm] we call [mm]R_1,...,R_n[/mm] ring direct
> summands of R and write [mm]R=R_1+...+R_n."[/mm]
>
> Meine Frage dazu ist nun einfach, wie man das
> fettgeschriebene richtig auf deutsch sagen würde (ich muss
> wie gesagt einen Vortrag über das Thema machen).
Oje, dafür kenne ich keine eingedeutschten Begriffe ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> Kannst du
> mir vielleicht sagen, wie man das mathematisch korrekt
> ausdrückt?
Den Abschnitt würde ich so übersetzen (Das geht aber bestimmt noch besser):
Wenn $R$ eine solche Zerlegung hat, dann sagt man, dass $R$ die direkte Summe der Ideale bzw. Ringe [mm] $R_1,\ldots,R_n [/mm] $ ist. Man schreibt $R = [mm] R_1\dotplus \ldots \dotplus R_n$.
[/mm]
>
> Was mich auch noch interessieren würde, ist folgendes:
> Dieses block decomposition theorem; bezeichnet man dieses
> im deutschen auch als Block- Zerlegungstheorem oder gibt es
> da einen anderen Ausdruck für, den ich mal googlen
> könnte?
Das Theorem bekommt in einigen Büchern gar keinen Namen.
Man muss wohl nach den Begriffen 'Ring', 'Zerlegung', 'Ideal',
'Darstellungstheorie', [mm] \ldots [/mm] suchen.
>
> Lieben Gruß und vielen Dank schon mal,
> Yonca
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 01.12.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo mathfunnel,
vielen Dank schon mal für deine supernetten Antworten.
Werd jetzt hier erst mal nicht weiternerven. Hab allerdings schon wieder andere Fragen, die ich hier im Mahteraum gepostet habe.
Viele Adventsgrüße,
Yonca!
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