direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei V ein endlich erzeigter Vektorraum über einem Körper K und seien U und W Unterräume von V.
Beweisen sie, daß es einen Unterraum Q von W gibt, so daß U+W = U [mm] \oplus [/mm] Q gilt. [mm] (\oplus [/mm] ist das zeichen für die direkte Summe) |
Leider verstehe ich nicht, wie ich das beweisen kann. über die dimensionsformel ? *kopfkratz*
Oder den Basenaustauschsatz von Steinitz? oder die Basisergänzung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Fr 05.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei V ein endlich erzeigter Vektorraum über einem Körper K
> und seien U und W Unterräume von V.
>
> Beweisen sie, daß es einen Unterraum Q von W gibt, so daß
> U+W = U [mm]\oplus[/mm] Q gilt. [mm](\oplus[/mm] ist das zeichen für die
> direkte Summe)
> Leider verstehe ich nicht, wie ich das beweisen kann. über
> die dimensionsformel ? *kopfkratz*
> Oder den Basenaustauschsatz von Steinitz? oder die
> Basisergänzung?
Letzteres scheint mir ein guter Ansatz. Wenn du eine Basis von U geeignet ergänzt, ...
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
Meine "Beweisführung" ist momentan die folgende:
Ich nehme obdA an, daß diV=n gilt, das heißt V wird durch n linear unabhängige Vektoren erzeugt.
U ist ein Unterraum, das heißt, er wird durch höchstens k mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1 linear unabhängige Vektoren erzeugt.
durch geeignete Wahl von n-k linear unabhängige Vektoren kann ich die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen.
Für W gilt analoges. Er wird durch l unabhängige Vektoren erzeugt. Auch hier kann ich durch die Wahl von n-l unabh. Vektoren die Basis von W zu einer Basis von V ergänzen.
Wenn nun gilt, daß spanU [mm] \cap [/mm] spanW = {} bin ich mit der Beweisführung am Ende und es gilt Q=W
Wenn nun gilt, daß spanU [mm] \cap [/mm] spanW [mm] \not= [/mm] {}, kann ich aus der linearen Hülle von W q linear unabhängige Vektoren auswählen, so daß folgendes gilt:
1. Die Vektoren q sind eine Basis von Basis von Q
2. Span Q [mm] \cap [/mm] span U = {}
dies geschieht durch Auswahl der Vektoren, die nicht Element von spanU [mm] \cap [/mm] spanW sind. Durch die Auswahl von q Vektoren, mit q<l gilt, daß Q ein Unterraum von W ist.
Nun ist gegeben, daß dimQ + dim U = dim V gilt und damit ist U [mm] \oplus [/mm] Q = V erfüllt.
Aber irgendwie habe ich das Gefühl, das falsche gezeigt zu haben, oder????? Und wenn nicht, ist die Beweisführung so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Sa 06.12.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Susann!
> Meine "Beweisführung" ist momentan die folgende:
> Ich nehme obdA an, daß diV=n gilt, das heißt V wird durch
> n linear unabhängige Vektoren erzeugt.
> U ist ein Unterraum, das heißt, er wird durch höchstens k
> mit 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n-1 linear unabhängige Vektoren erzeugt.
Soweit richtig.
> durch geeignete Wahl von n-k linear unabhängige Vektoren
> kann ich die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen.
Aber das willst du gar nicht, du willst eine Basis von U + W finden.
> Für W gilt analoges. Er wird durch l unabhängige Vektoren
> erzeugt. Auch hier kann ich durch die Wahl von n-l unabh.
> Vektoren die Basis von W zu einer Basis von V ergänzen.
V ist ein großes Übergebilde, von dem uns nur interessiert, daß es endlich-dimensional ist.
> Wenn nun gilt, daß spanU [mm]\cap[/mm] spanW = {} bin ich mit der
> Beweisführung am Ende und es gilt Q=W
Da U und W Untervektorräume sind, ist spanU = U uns spanW = W. Ansonsten ist das richtig, aber es 'gilt' nicht Q=W, sondern ich nehme für Q W, also Q := W.
> Wenn nun gilt, daß spanU [mm]\cap[/mm] spanW [mm]\not=[/mm] {}, kann ich aus
> der linearen Hülle von W q linear unabhängige Vektoren
> auswählen, so daß folgendes gilt:
> 1. Die Vektoren q sind eine Basis von Basis von Q
> 2. Span Q [mm]\cap[/mm] span U = {}
> dies geschieht durch Auswahl der Vektoren, die nicht
> Element von spanU [mm]\cap[/mm] spanW sind. Durch die Auswahl von q
> Vektoren, mit q<l gilt, daß Q ein Unterraum von W ist.
>
> Nun ist gegeben, daß dimQ + dim U = dim V gilt und damit
> ist U [mm]\oplus[/mm] Q = V erfüllt.
Wirklich? War das nicht so, daß U [mm] $\subseteq$ [/mm] U+W [mm] $\subseteq$ [/mm] V ist mit der Möglichkeit der Ungleichheit? Wie heißt denn bei dir genau der Basisergänzungssatz? Wenn du eine Basis [mm] u_i [/mm] von U durch ein paar [mm] w_j [/mm] zu einer Basis von U+W ergänzt, dann kannst du Q := [mm] span<$w_j$> [/mm] setzen. Warum ist die Summe dann direkt?
Alles, was man sagen kann, kann man klar sagen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:42 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
Nun steh ich da und weiß nimmer weiter....
Ich hatte ja schon die Ahnung, daß das nicht so ganz das ist, was ich machen sollte.
Also "mein" Basisergänzungssatz heißt:
"In einem Vektorraum läßt sich jede linear unanhängige Menge zu einer Basis ergänzen"
Mehr ist er nicht.
Ich versteh schon, was dieter mir sagen will aber so wirklich weiter kommen tu ich nicht....
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> Nun steh ich da und weiß nimmer weiter....
> Ich hatte ja schon die Ahnung, daß das nicht so ganz das
> ist, was ich machen sollte.
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> Also "mein" Basisergänzungssatz heißt:
> "In einem Vektorraum läßt sich jede linear unanhängige
> Menge zu einer Basis ergänzen"
>
> Mehr ist er nicht.
>
> Ich versteh schon, was dieter mir sagen will aber so
> wirklich weiter kommen tu ich nicht....
Hallo,
es wäre an dieser Stelle interessant zu erfahren, wie weit Du nun mit dem, was Dieter Dir sagen will, gekommen bist.
Wie weit ist Dein Beweis denn nun unter Berücksichtigung der neuesten Erkenntnisse gediehen?
Nur, wenn man konkret sieht, wie weit du bist, kann man Dir weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
Also meine neuesten "ergüsse" belaufen sich auf:
Sei spanU [mm] ={u_j}, u_j [/mm] sind linear unabhängig.
Sei weiterhin spanW [mm] ={w_k}, w_k [/mm] sind lin. unabh.
Durch geeignete Wahl von Vektoren [mm] w_{ki} [/mm] aus SpanW kann ich SpanU zu einer Basis von U+W ergänzen.
gilt für diese [mm] w_{ki} [/mm] dann auch noch, daß sie [mm] \not\in [/mm] spanW [mm] \cap [/mm] spanU sind, dann gilt, daß sie eine Basis von U [mm] \oplus [/mm] Q sind. Wähle ich mir nun diese gewissen [mm] w_{ki} [/mm] aus, so sind diese eine Basis von Q und damit ist Q ein Unterraum von W.
Aber ich finde diesen "erguss" zu dünnflüssig :(
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> Also meine neuesten "ergüsse" belaufen sich auf:
>
> Sei spanU [mm]={u_j}, u_j[/mm] sind linear unabhängig.
> Sei weiterhin spanW [mm]={w_k}, w_k[/mm] sind lin. unabh.
Hallo,
Du hast also Basen von U und W.
Diese ergeben zusammen ein Erzeugendensystem von U+W.
> Durch geeignete Wahl von Vektoren [mm]w_{ki}[/mm] aus SpanW kann ich
> SpanU die Basis von U zu einer Basis von U+W ergänzen.
Den Span der Ergänzungsvektoren kannst Du Q nennen.
Erkläre jetzt, warum U+W= U+Q richtig ist,
und zeige, daß U und Q außer der Null kein gemeinsames Element haben.
Damit hast Du dann "direkte Summe" gezeigt.
Gruß v, Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
Also U+W = U+Q ist deswegen richtig, weil alle Vektoren Q [mm] \in [/mm] spanQ auch in SpanW enthalten sind, weil ich sie ja dort ausgewählt habe bzw mene Ergänzungsvektoren sind.
Aber wie zeige ich, daß sie kein gemeinsames element haben? ich ahbe sie mir doch so ausgwählt, daß sie das nicht haben, weil die Vektoren q doch grade solche sind, die nicht in U liegen, sondern nur in W.....
Letztlich dreht ich dieser beweis doch um die einfache tatsache, daß U und W ne schnittmenge an gemeinsamen Vektoren haben und Q die Teilmenge von W ist, die diese Vktoren, die in der Schnittmenge liegen, nicht enthält (in der menge der basisvektoren) und damit ist U [mm] \oplus [/mm] Q die direkte Summe und U+W. (sozusagen abzüglich der gemeinsamen "doppelten" Vektoren)
*schulterzuck*
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> Also U+W = U+Q ist deswegen richtig, weil alle Vektoren Q
> [mm]\in[/mm] spanQ auch in SpanW enthalten sind, weil ich sie ja
> dort ausgewählt habe bzw mene Ergänzungsvektoren sind.
Und umgekehrt?
warum ist jedes Element aus U+W in U+Q?
>
> Aber wie zeige ich, daß sie kein gemeinsames element haben?
> ich ahbe sie mir doch so ausgwählt, daß sie das nicht
> haben, weil die Vektoren q doch grade solche sind, die
> nicht in U liegen, sondern nur in W.....
Davon hast Du bisher nichts gesagt. Du hast nur gesagt, daß Du die Basis von U zu einer von U+W ergänzt hast.
Nimm doch einfach an, es hätten U und Q ein gemeinsames Element.
Dann?
Gruß v. Angela
> Letztlich dreht ich dieser beweis doch um die einfache
> tatsache, daß U und W ne schnittmenge an gemeinsamen
> Vektoren haben und Q die Teilmenge von W ist, die diese
> Vktoren, die in der Schnittmenge liegen, nicht enthält (in
> der menge der basisvektoren) und damit ist U [mm]\oplus[/mm] Q die
> direkte Summe und U+W. (sozusagen abzüglich der gemeinsamen
> "doppelten" Vektoren)
>
> *schulterzuck*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
> > Also U+W = U+Q ist deswegen richtig, weil alle Vektoren Q
> > [mm]\in[/mm] spanQ auch in SpanW enthalten sind, weil ich sie ja
> > dort ausgewählt habe bzw mene Ergänzungsvektoren sind.
>
> Und umgekehrt?
>
> warum ist jedes Element aus U+W in Q?
Ist es doch gar nicht, denn ich habe die Vektoren [mm] q_{i} [/mm] ja so gewählt, daß die gerade die sind, die nur in W liegen, aber nicht in U.
>
> Davon hast Du bisher nichts gesagt. Du hast nur gesagt, daß
> Du die Basis von U zu einer von U+W ergänzt hast.
Das meinte ich mit der " gewissen" Wahl. Hat mein alter Prof auch immer so gesagt.
>
> Nimm doch einfach an, es hätten U und Q ein gemeinsames
> Element.
Dann wäre es nicht die direkte Summe... *schulterzuck*, weil die Schnittmenge der linearen Hüllen nicht leer wäre.
Aber das ist mit meiner Wahl an Vektoren auch nicht der Fall, denn ich habe sie mir ja so ausgesucht, daß in Q nur solche Vektoren enthalten sind, die zwar in W liegen, aber nicht in U.
Wüßte nicht, wie ich das beweisen kann :(
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> > > Also U+W = U+Q ist deswegen richtig, weil alle Vektoren Q
> > > [mm]\in[/mm] spanQ auch in SpanW enthalten sind, weil ich sie ja
> > > dort ausgewählt habe bzw mene Ergänzungsvektoren sind.
> >
> > Und umgekehrt?
> >
> > warum ist jedes Element aus U+W in Q?
>
> Ist es doch gar nicht, denn ich habe die Vektoren [mm]q_{i}[/mm] ja
> so gewählt, daß die gerade die sind, die nur in W liegen,
> aber nicht in U.
Hallo,
es sollte natürlich U+Q heißen. EDIT: warum ist jedes Element aus U+W in U+Q?
>
> >
> > Davon hast Du bisher nichts gesagt. Du hast nur gesagt, daß
> > Du die Basis von U zu einer von U+W ergänzt hast.
>
> Das meinte ich mit der " gewissen" Wahl. Hat mein alter
> Prof auch immer so gesagt.
Tja, aber ob man Dir so glaubt wie dem alten Prof.?
Du hast gesagt, Du ergänzt durch gewisse Vektoren zu einer Basis von U+W.
Auf dem Niveau, auf welchem sich die Aufgabe bewegt, ist es nunmal erklärungsbedürftig, daß diese Vektoren nicht in U sind.
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> > Nimm doch einfach an, es hätten U und Q ein gemeinsames
> > Element.
>
> Dann wäre es nicht die direkte Summe...
Daß es die direkte Summe ist, willst du ja auch erst zeigen.
*schulterzuck*,
> weil die Schnittmenge der linearen Hüllen nicht leer wäre.
> Aber das ist mit meiner Wahl an Vektoren auch nicht der
> Fall, denn ich habe sie mir ja so ausgesucht, daß in Q nur
> solche Vektoren enthalten sind, die zwar in W liegen, aber
> nicht in U.
Du hast sie so ausgesucht, daß sie zusammen eine Basis von U+W bilden. s.o.
Nimm doch mal an, es gäbe ein v [mm] \in U\cap [/mm] U. Dann? Jetzt mal los. Mit Definitionen, mit dem, was Du getan hast. Kraftvoll und konkret.
Gruß v Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Aquilera |
*schulterzuck*
Es ist doch auch nicht jedes element aus U+Q in Q, sondern es gibt Elemente aus U und welche aus Q, die aber alle in W enthalten sind (also nur die aus Q sind auch in W enthalten, keines, aus Q ist in U enthalten, denn so habe ich sie mir gewählt)
Ich geb auf... Ich habe das ganze Wochenende über diese aufgabe nachgedacht und bin zu keinem Ergebnis gekommen und jetzt kommen immer mehr fragen dazu.
Aber trotzdem danke für die liebe Erklärung.
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> *schulterzuck*
> Es ist doch auch nicht jedes element aus U+Q in Q,
Du s/wolltest zeigen, daß U+W=U+Q ist, also muß man sich überlegen, daß jedes Element aus U+W in U+Q und U+Q ist.
gruß v. Angela
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