direkte Summe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien A und B Matrizen mit Koeffizienten in [mm] \IC.Seien U_{A} [/mm] und [mm] U_{B} [/mm] die Spaltenräume von A bzw.B. Man entscheide in den folgenden Fällen, ob [mm] \IC^{n}=U_{A} \oplus U_{B} [/mm] für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }, B=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] |
Hallo^^
Ich habe mal versucht die Aufgabe zu machen,hab aber erstmal eine Verständnisfrage, was genau bedeutet das [mm] \IC^{n}?
[/mm]
Ich hab versucht,es mir an der a) klarzumachen.
Also das [mm] \oplus [/mm] steht für die direkte Summe.
Dann berechne ich [mm] U_{A} \oplus U_{B},also U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1 \\ 3}),(\vektor{2 \\ 4}) \} [/mm] und [mm] U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})\}, [/mm] d.h.
[mm] U_{A} \oplus U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{1 \\ 3}),(\vektor{2 \\ 4}) \}+Lin_{k}\{(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})\}=r*\vektor{1 \\ 3}+s*\vektor{2 \\ 4}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Meine erste Frage ist,ob diese Summe überhaupt möglich,da ich zwei Vektoren mit 2 Zeilen und einen Vektor mit 3 Zeilen habe, die darf man doch dann gar nicht addieren?
Und wie entscheide ich jetzt ,ob [mm] U_{A} \oplus U_{B}=\IC^{n} [/mm] ist,also ich weiß nicht genau, was ich da jetzt machen soll?
Vielen Dank
lg
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> Seien A und B Matrizen mit Koeffizienten in [mm]\IC.Seien U_{A}[/mm]
> und [mm]U_{B}[/mm] die Spaltenräume von A bzw.B. Man entscheide in
> den folgenden Fällen, ob [mm]\IC^{n}=U_{A} \oplus U_{B}[/mm] für
> ein n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> a) [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }, B=\pmat{ 0 \\
1 \\
0 }[/mm]
>
> Hallo^^
>
> Ich habe mal versucht die Aufgabe zu machen,hab aber
> erstmal eine Verständnisfrage, was genau bedeutet das
> [mm]\IC^{n}?[/mm]
Hallo,
das ist die Menge, die alle Spaltenvektoren mit n Einträgen, welche [mm] \IC [/mm] entstammen, enthält.
> Ich hab versucht,es mir an der a) klarzumachen.
> Also das [mm]\oplus[/mm] steht für die direkte Summe.
Unten fragst Du nach, wie Du entscheiden kannst, ob etwas eine direkte Summe ist.
Diese Frage kannst Du beatworten, wenn Du mal die Def. der direkten Summe aufschreibst, eventuell habt Ihr auch noch ein passendes Sätzchen.
>
> Dann berechne ich [mm]U_{A} \oplus U_{B},also U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1 \\
3}),(\vektor{2 \\
4}) \}[/mm]
> und [mm]U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\
1 \\
0})\},[/mm] d.h.
>
> [mm]U_{A} \oplus U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{1 \\
3}),(\vektor{2 \\
4}) \}+Lin_{k}\{(\vektor{0 \\
1 \\
0})\}=r*\vektor{1 \\
3}+s*\vektor{2 \\
4}+t*\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> Meine erste Frage ist,ob diese Summe überhaupt möglich,da
> ich zwei Vektoren mit 2 Zeilen und einen Vektor mit 3
> Zeilen habe, die darf man doch dann gar nicht addieren?
Genau.
Ganz sicher ist weder der [mm] \IC^2 [/mm] noch der [mm] \IC^3 [/mm] oder sonstwas die Summe der beiden Unterräume, und Du kannst weitergehen zur nächsten Aufgabe.
Gruß v. Angela
>
> Und wie entscheide ich jetzt ,ob [mm]U_{A} \oplus U_{B}=\IC^{n}[/mm]
> ist,also ich weiß nicht genau, was ich da jetzt machen
> soll?
>
> Vielen Dank
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) [mm] A=\pmat{ 1+i & 2-i \\ 3+2i & 4+7i \\ 0 & 1-6i }, B=\pmat{ 0 & 1-i \\ 1+4i & 0 \\ 3i & -1+5i } [/mm] |
> Hallo,
>
> das ist die Menge, die alle Spaltenvektoren mit n
> Einträgen, welche [mm]\IC[/mm] entstammen, enthält.
>
> > Ich hab versucht,es mir an der a) klarzumachen.
> > Also das [mm]\oplus[/mm] steht für die direkte Summe.
>
> Unten fragst Du nach, wie Du entscheiden kannst, ob etwas
> eine direkte Summe ist.
Meine Frage war nicht,wie ich entscheide,ob etwas eine direkte Summe ist,sondern wie ich entscheide,ob eine direkte [mm] Summe=\IC^{n} [/mm] ist.
> Diese Frage kannst Du beatworten, wenn Du mal die Def. der
> direkten Summe aufschreibst, eventuell habt Ihr auch noch
> ein passendes [mm]Sätzchx_{n+1}$[/mm] - 10| en.
Die Def. der direkten Summe weiß ich.Vielleicht hatten wir was auch noch? Ich kann das nicht entziffern?
> > Meine erste Frage ist,ob diese Summe überhaupt möglich,da
> > ich zwei Vektoren mit 2 Zeilen und einen Vektor mit 3
> > Zeilen habe, die darf man doch dann gar nicht addieren?
>
> Genau.
> Ganz sicher ist weder der [mm]\IC^2[/mm] noch der [mm]\IC^3[/mm] oder
> sonstwas die Summe der beiden Unterräume, und Du kannst
> weitergehen zur nächsten Aufgabe.
Ok,dann mach ich mal die b).
Also es ist [mm] U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0}),(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})\}, U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i}),(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})\}.
[/mm]
Dann ist [mm] U_{A} \oplus U_{B}=r*(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+s*(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})+t*(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+v*(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})
[/mm]
Für die direkte Summe gilt dass wenn [mm] r*(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+s*(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})+t*(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+v*(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})=0 [/mm] ist, dann sind auch alle Vektoren =0. Da wir hier die linearen Hüllen haben,würde das heißen,dass r=s=t=v=0 sind oder?
Also kann ich ein Gleichungssystem aufstellen:
1. r*(1+i)+s*(2-i)+v*(1-i)=0
2. r*(3+2i)+s*(4+7i)+t*(1+4i)=0
3.s*(1-6i)+t*(3i)+v*(-1+5i)=0
Jetzt hab ich aber vier Variablen und nur 3 Gleichungen,also kann ich eine Variable =k setzen und dann die Lösungen in Abhängigkeit von k berechnen?
Schön und gut,aber ich weiß eigentlich gar nicht,was mir das bringen soll,wenn ich das berechne?
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
Veilen Dank
lg
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> b) [mm]A=\pmat{ 1+i & 2-i \\
3+2i & 4+7i \\
0 & 1-6i }, B=\pmat{ 0 & 1-i \\
1+4i & 0 \\
3i & -1+5i }[/mm]
>
>
> > Hallo,
> >
> > das ist die Menge, die alle Spaltenvektoren mit n
> > Einträgen, welche [mm]\IC[/mm] entstammen, enthält.
> >
> > > Ich hab versucht,es mir an der a) klarzumachen.
> > > Also das [mm]\oplus[/mm] steht für die direkte Summe.
> >
> > Unten fragst Du nach, wie Du entscheiden kannst, ob etwas
> > eine direkte Summe ist.
>
> Meine Frage war nicht,wie ich entscheide,ob etwas eine
> direkte Summe ist,sondern wie ich entscheide,ob eine
> direkte [mm]Summe=\IC^{n}[/mm] ist.
Hallo,
sie ist = [mm] \IC^n, [/mm] wenn beide Räume, die addiert werden, Unterräume des [mm] \IC^n [/mm] sind und die Dimension der Summe =n ist.
>
> > Diese Frage kannst Du beatworten, wenn Du mal die Def. der
> > direkten Summe aufschreibst, eventuell habt Ihr auch noch
> > ein passendes [mm]Sätzchx_{n+1}$[/mm] - 10| en.
>
> Die Def. der direkten Summe weiß ich.
Schade, daß Du sie nicht verrätst.
> Vielleicht hatten wir
> was auch noch? Ich kann das nicht entziffern?
Ein Sätzchen. (Dieter hat es zwischenzeitlich lesbar gemacht. Danke!)
> Ok,dann mach ich mal die b).
>
> Also es ist [mm]U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0}),(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})\}, U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i}),(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})\}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]U_{A} \oplus U_{B}=r*(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0})+s*(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})+t*(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i})+v*(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})[/mm]
Du meinst sicher [mm] U_A\red{+}U_B.
[/mm]
[mm] \oplus [/mm] darfst Du ja nur schreiben, wenn Du weißt, daß die Summe direkt ist.
Es stimmt hier aber die Schreibweise überhaupt nicht, auch wenn ich verstehe, was Du meinst: rechts müßte doch eine Menge stehen
>
> Für die direkte Summe gilt dass wenn [mm]r*(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0})+s*(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})+t*(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i})+v*(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})=0[/mm]
> ist, dann sind auch alle Vektoren =0.
Auf welche Definition/welchen Satz beziehst Du Dich?
> Da wir hier die
> linearen Hüllen haben,würde das heißen,dass r=s=t=v=0
> sind oder?
Daß das nicht der Fall sein wird, ist eigentlich sofort ohne Rechnung klar, denn der [mm] \IC^3 [/mm] ist ein VR der Dimension 3.
>
> Also kann ich ein Gleichungssystem aufstellen:
>
> 1. r*(1+i)+s*(2-i)+v*(1-i)=0
> 2. r*(3+2i)+s*(4+7i)+t*(1+4i)=0
> 3.s*(1-6i)+t*(3i)+v*(-1+5i)=0
>
> Jetzt hab ich aber vier Variablen und nur 3
> Gleichungen,
also hat dieses Gleichungssystem nicht nur die Lösung r=s=t=v=0.
Neben der Schreibweise des Nullvektors als
[mm] \vektor{0\\0\\0}= $\underbrace{[0*(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+0*(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})]}_{\in U_A}+\underbrace{[0**(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+0*(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})]}_{\in U_B}$ [/mm]
gibt es noch eine andere Darstellung [mm] \vektor{0\\0\\0}= v_A [/mm] + [mm] v_B [/mm] mit [mm] v_A\in U_A, v_B\in U_B.
[/mm]
> also kann ich eine Variable =k setzen und dann
> die Lösungen in Abhängigkeit von k berechnen?
Ja, z.B. =1, und Du bekommst eine weitere Darstellung.
> Schön und gut,aber ich weiß eigentlich gar nicht,was mir
> das bringen soll,wenn ich das berechne?
Wenn wir doch die Def. der direkten Summe vorliegen hätten...
EDIT: Du hast jetzt gezeigt, daß es zwei Darstellungen des Nullvektors als Summe eines Vektors aus [mm] U_A [/mm] und eines aus [mm] U_B [/mm] gibt, womit die Summe nicht direkt ist.
> Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
Man kann das schon so machen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
gerne verrate ich euch die Definition der direkten Summe:
Sei V ein K-Vaktorraum,n [mm] \in \IN, [/mm] und [mm] U_{1},...,U_{n} \subset [/mm] V Unterräume von V.
Sei [mm] W=U_{1}+...+U_{n}.Wenn [/mm] aus [mm] \summe_{i=1}^{n}u_{i}=0 [/mm] (Nullvektor) stets folgt,dass [mm] u_{1}=u_{2}=...=u_{n}=0 [/mm] (Nullvektor),dann heißt W die direkte Summe von [mm] U_{1},...,U_{n}.
[/mm]
Bezeichnung [mm] U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{n}.
[/mm]
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> Hallo,
>
> gerne verrate ich euch die Definition der direkten Summe:
Hallo,
gut, daß wir Eure Def. jetzt kennen.
>
> Sei V ein K-Vaktorraum,n [mm]\in \IN,[/mm] und [mm]U_{1},...,U_{n} \subset[/mm]
> V Unterräume von V.
> Sei [mm]W=U_{1}+...+U_{n}.Wenn[/mm] aus [mm]\summe_{i=1}^{n}u_{i}=0[/mm]
da steht sicher noch: mit [mm] u_i\in U_i
[/mm]
> (Nullvektor) stets folgt,dass [mm]u_{1}=u_{2}=...=u_{n}=0[/mm]
> (Nullvektor),dann heißt W die direkte Summe von
> [mm]U_{1},...,U_{n}.[/mm]
> Bezeichnung [mm]U_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus U_{n}.[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> sie ist = [mm]\IC^n,[/mm] wenn beide Räume, die addiert werden,
> Unterräume des [mm]\IC^n[/mm] sind und die Dimension der Summe =n
> ist.
Ok,also wenn ich die beiden Räume addiere,habe ich [mm] \vektor{0\\0\\0}=\underbrace{[0\cdot{}(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+0\cdot{}(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})]}_{\in U_A}+\underbrace{[0\cdot{}\cdot{}(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+0\cdot{}(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})]}_{\in U_B}.
[/mm]
Also es geht doch hier um den [mm] \IC^{3},weil [/mm] die Matrizen jeweils 3 Zeilen haben oder? Jetzt muss ich doch prüfen,ob die beiden Unterräume des [mm] \IC^{3} [/mm] sind und ob die Dimension der Summe=3 ist.
Also Unterräume sind sie doch,aber die Dimension der Summe ist 4 oder?
>
> > Ok,dann mach ich mal die b).
> >
> > Also es ist [mm]U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0}),(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})\}, U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i}),(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})\}.[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]U_{A} \oplus U_{B}=r*(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0})+s*(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})+t*(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i})+v*(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})[/mm]
>
> Du meinst sicher [mm]U_A\red{+}U_B.[/mm]
> [mm]\oplus[/mm] darfst Du ja nur schreiben, wenn Du weißt, daß
> die Summe direkt ist.
>
> Es stimmt hier aber die Schreibweise überhaupt nicht, auch
> wenn ich verstehe, was Du meinst: rechts müßte doch eine
> Menge stehen.
Ist die richtige Schreibweise die,die du unten geschrieben hast,also [mm] \vektor{0\\0\\0}=\underbrace{[0\cdot{}(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+0\cdot{}(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})]}_{\in U_A}+\underbrace{[0\cdot{}\cdot{}(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+0\cdot{}(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})]}_{\in U_B}
[/mm]
>
>
> >
> > Für die direkte Summe gilt dass wenn [mm]r*(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0})+s*(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})+t*(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i})+v*(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})=0[/mm]
> > ist, dann sind auch alle Vektoren =0.
>
> Auf welche Definition/welchen Satz beziehst Du Dich?
Auf die Definition der direkten Summe,ist das etwa falsch?
Denn in der Definition steht: Sei W die Summe von Unterräumen des Vektorraums V. Wenn die Summe von Elementen aus den Unterräumen=0 ist und daraus folgt, dass auch die Elemente der Unterräume =0 sind,dann ist es die direkte Summe.
> EDIT: Du hast jetzt gezeigt, daß es zwei Darstellungen des
> Nullvektors als Summe eines Vektors aus [mm]U_A[/mm] und eines aus
> [mm]U_B[/mm] gibt, womit die Summe nicht direkt ist.
Und da die Summe nicht direk ist,kann sie auch nicht [mm] =\IC^{3} [/mm] sein?
lg
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Hallo,
erstmal zur Schreibweise:
Es geht in dieser Aufgabe darum, zu prüfen, ob ein Vektorraum die direkte Summe zweier seiner Unterräume U und W ist, ob also [mm] V=U\oplus [/mm] W.
Dazu ist lt. Deiner Definition zweierlei zu zeigen:
1. V=U+W.
(Überleg Dir genau, was das bedeutet.)
2. Aus u+w=0 mit [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\in [/mm] W folgt u=w=0.
Es gibt einige Aussagen, die äquivalent zu Deiner Def. sind, wahrscheinlich habt Ihr sie in Vorlesung oder (Haus)Übung gezeigt.
Dein Fehler bzgl der Schreibweise ist, daß Du nicht genau unterscheidest, ob Du gerade Räume addierst oder Vektoren.
Was haben wir nun in dieser Aufgabe?
Wir haben
[mm] $U_A:=Lin\{\vektor{1+i \\
3+2i \\
0}, (\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i}\}$ [/mm] und [mm] $U_B:=\{\vektor{0 \\
1+4i \\
3i},\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i}\}$.
[/mm]
Dies sind Unterräume des [mm] \IC^3, [/mm] und wir müssen nun schauen, ob
1. [mm] \IC^3=U_A+U_B
[/mm]
und
2. [mm] 0=u_A+u_b [/mm] mit [mm] u_A\in U_A [/mm] und [mm] u_B\in U_B [/mm] ==> [mm] u_A=u_B=0.
[/mm]
Für 1. mußt Du klären, ob man jeden Vektor des [mm] \IC^3 [/mm] als Summe eines Vektors aus [mm] U_A [/mm] und eines aus [mm] U_B [/mm] schreiben kann.
Für 2. ist zu untersuchen, ob die Darstellung des Nullvektors als Summe eines Vektors aus [mm] U_A [/mm] und eines aus [mm] U_B [/mm] eindeutig ist, ob es also neben
> [mm] $\vektor{0\\ 0\\ 0}=\underbrace{[0\cdot{}(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0})+0\cdot{}(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})]}_{\in U_A}+\underbrace{[0\cdot{}\cdot{}(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i})+0\cdot{}(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})]}_{\in U_B}$
[/mm]
eine weitere Darstellung gibt oder nicht.
> Ok,also wenn ich die beiden Räume addiere,habe ich
> [mm]\vektor{0\\
0\\
0}=\underbrace{[0\cdot{}(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0})+0\cdot{}(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})]}_{\in U_A}+\underbrace{[0\cdot{}\cdot{}(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i})+0\cdot{}(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})]}_{\in U_B}.[/mm]
Nein. Wenn Du die Räume addierst, hast Du nicht einen Vektor als Ergebnis, sondern einen Raum.
>
> Also es geht doch hier um den [mm]\IC^{3},weil[/mm] die Matrizen
> jeweils 3 Zeilen haben oder? Jetzt muss ich doch prüfen,ob
> die beiden Unterräume des [mm]\IC^{3}[/mm] sind und ob die
> Dimension der Summe=3 ist.
Ja, so kannst Du das machen.
Dann weißt Du, daß [mm] \IC^3 [/mm] die Summe der beiden Räume ist.
> Also Unterräume sind sie doch,aber die Dimension der
> Summe ist 4 oder?
Nein, daß kann ja nicht sein.
Es ist doch [mm] U_A+U_B [/mm] ein UVR des Raumes [mm] \IC^3, [/mm] er kann also höchstens die Dimension 3 haben.
Richtig ist, und das meinst Du vermutlich auch, daß [mm] dimU_A [/mm] + [mm] dimU_B=4, [/mm] aber das allein macht uns nicht so sonderlich schlau. Das träfe ja auch zu, wenn [mm] U_A [/mm] und [mm] U_B [/mm] identische Unterräume der Dim 2 wären.
Feststellen mußt Du die Dimension von [mm] U_A+U_B, [/mm] was Du tun kannst, indem Du den Rang der aus den 4 Spalten gemachten Matrix berechnest.
Danach ist ggf. zu überlegen, ob die Summe direkt ist.
Das kannst Du nach Def. tun, indem Du Dir über die Eindeutigkeit der Darstellung des Nullvektors Gedanken machst, nach einem Satz, den Ihr sicher gezeigt habt, kannst Du aber auch den Schnitt der beiden Unterräume untersuchen, wobei Dir der Dimenensionssatz, der etwas über Dimensionen von Summen und Schnitten erzählt, helfen könnte.
> > > Also es ist [mm]U_{A}=Lin_{k}\{(\vektor{1+i \\
3+2i \\
0}),(\vektor{2-i \\
4+7i \\
1-6i})\}, U_{B}=Lin_{k}\{(\vektor{0 \\
1+4i \\
3i}),(\vektor{1-i \\
0 \\
-1+5i})\}.[/mm]
Mal zu den Schreibweisen:
[mm] U_A+U_B=$U_{A}=Lin_{K}\{(\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0}),(\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i})\} [/mm] + [mm] Lin_{K}\{(\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i}),(\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i})\}
[/mm]
[mm] =\{r*\vektor{1+i \\ 3+2i \\ 0}+s*\vektor{2-i \\ 4+7i \\ 1-6i}+t*\vektor{0 \\ 1+4i \\ 3i}+v*\vektor{1-i \\ 0 \\ -1+5i}| r,s,t,v\in \IC\}
[/mm]
> > EDIT: Du hast jetzt gezeigt, daß es zwei Darstellungen des
> > Nullvektors als Summe eines Vektors aus [mm]U_A[/mm] und eines aus
> > [mm]U_B[/mm] gibt, womit die Summe nicht direkt ist.
>
> Und da die Summe nicht direk ist,kann sie auch nicht
> [mm]=\IC^{3}[/mm] sein?
Doch.
Es kann die Summe [mm] =\IC^3 [/mm] sein, ohne direkt zu sein.
Dann ist es halt bloß eine Summe, ohne daß das Kriterium der eindeutigen Darstellbarkeit der Null erfüllt ist.
Oder mit einer dazu äquivalenten Aussage argumentiert: es ist eine Summe, bei der der Schnitt der beiden Summanden aber nicht nur den Nullvektor enthält.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Fr 26.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo Angela und Mandy_90!
> > Meine erste Frage ist,ob diese Summe überhaupt möglich,da
> > ich zwei Vektoren mit 2 Zeilen und einen Vektor mit 3
> > Zeilen habe, die darf man doch dann gar nicht addieren?
>
> Genau.
> Ganz sicher ist weder der [mm]\IC^2[/mm] noch der [mm]\IC^3[/mm] oder
> sonstwas die Summe der beiden Unterräume, und Du kannst
> weitergehen zur nächsten Aufgabe.
Ich bin mir nicht so ganz sicher, Angela, ob du mit dieser Antwort der Fragerin auf die richtige Spur geholfen hast. Direkte Summen gibt es ja in 2 Geschmacksrichtungen: Einmal so, daß die beiden VR, um die es geht, Unterräume eines gemeinsamen Oberraums sind. Das ist hier so natürlich nicht der Fall, und dafür ist deine Antwort OK. Aber ich kann auch die direkte Summe bilden als Menge der geordneten Paare mit komponentenweiser Operation, dann kriege ich natürlich nicht '=', sondern nur isomorph. Und das würde hier gehen. Und gäbe n = 3.
Man müßte das noch mal hinterfragen.
Gruß aus den tiefverschneiten Harburger Bergen
Dieter
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Hallo Dieter,
ja, ich bin davon ausgegangen, daß hier die innere direkte Summe gemeint ist - und ich bin mir auch fast sicher, daß diese in der Aufgabe gemeint ist.
Schade, daß Mandy nicht, wie angefragt, die Def. gepostet hat.
Dann wüßten wir's.
> Gruß aus den tiefverschneiten Harburger Bergen
> Dieter
Gruß aus dem Pfälzerwald v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | c) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 }, B=\pmat{ 3 & 5 \\ 0 & -1 \\ -2 & -5 \\ -1 & q }, [/mm] wobei q [mm] \in \IC. [/mm] |
Hallo,
ich habe jetzt versucht die c) zu machen.
Mir geht es jetzt auch um die richtige Schreibweise,wie ich so etwas mathemtisch korrekt aufschreibe.
Also ich habe zunächst [mm] U_{A}=Lin_{K}\{(\pmat{ 1 \\ 3 \\ 5 \\ 7 }),(\pmat{ 2 \\ 4 \\ 6 \\ 8 })\} [/mm] und [mm] U_{B}=Lin_{K}\{(\pmat{ 3 \\ 0 \\ -2 \\ -1 }),(\pmat{ 5 \\ -1 \\ -5 \\ q })\}.
[/mm]
So,Darf ich das jetzt so aufschreiben:
[mm] \vektor{0\\0\\0}=\underbrace{[r\cdot{}(\vektor{1 \\ 3 \\ 5 \\ 7})+s\cdot{}(\vektor{2 \\ 4 \\ 6 \\ 8})]}_{\in U_A}+\underbrace{[t\cdot{}\cdot{}(\vektor{2 \\ 0 \\ -2 \\ -1})+v\cdot{}(\vektor{5 \\ -1 \\ -5 \\ q})]}_{\in U_B}
[/mm]
Dann schreibe ich das als lineares Gleichungssystem auf:
1. r+2s+2t+5v=0
2. 3r+4s+0-v=0
3. 5r+6s-2t-5v=0
4. 7r+8s-t+v*q=0
Und versuche das zu lösen,also ich habe für r=s=t=v=0 raus.Das heißt es ist schonmal eine direkte Summe.Aber was ist mit dem q?Was mache ich denn damit oder lass ich das einfach?
Jetzt muss ich überprüfen,ob die direkte summe [mm] =\IC^{4} [/mm] ist oder?Also ob [mm] U_{A} \oplus U_{B}=\IC^{4} [/mm] ist.
Wie Angela gesagt hat, ist dies genau dann der Fall,wenn [mm] U_{A} [/mm] und [mm] U_{B} [/mm] Unterräume des [mm] \IC^{4} [/mm] sind und die Dimension der Summe =4 ist.
Also muss ich mir das Unterraumkriterium [mm] anschauen.U_{B} [/mm] ist genau dann Unterraum,wenn
1. u+v [mm] \in U_{B}, [/mm] u,v [mm] \in U_{B}
[/mm]
2. r*u [mm] \in U_{B}, [/mm] u [mm] \in U_{B},r \in \IC^{4}
[/mm]
Das ist doch wohl der Fall,aber was ist mit dem q,muss ich da keine Einschränkung machen?
Und die Dimension der Summe ist 4,also gilt [mm] U_{A} \oplus U_{B}=\IC^{4}.
[/mm]
Ist das si richtig?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 So 28.11.2010 | | Autor: | Lenzo |
Hallo zusammen,
Mandy, ich würde mir die Äquivalenz aus der A.1 genau anschauen:
1.dim [mm] V=dim(U_{1}+U_{2})=dim U_{1}+dim U_{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
2. [mm] V=U_{1} \oplus U_{2}
[/mm]
Jetzt brauchst du Dir nur [mm]\IC^n=V[/mm] zu denken...
Außerdem haben wir den Satz 5.25:
[mm] V=U_{1} \oplus U_{2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] UND [mm]U_{1} \cap U_{2} = ({0})[/mm]
Fände ich jetzt einfacher, schneller und unkomplizierter...
LG und für heute Gute Nacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 28.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Lenzo,
> Hallo zusammen,
> Mandy, ich würde mir die Äquivalenz aus der A.1 genau
> anschauen:
> 1.dim [mm]V=dim(U_{1}+U_{2})=dim U_{1}+dim U_{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> 2. [mm]V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> Jetzt brauchst du Dir nur [mm]\IC^n=V[/mm]
> zu denken...
>
> Außerdem haben wir den Satz 5.25:
> [mm]V=U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]U_{1}+U_{2}=V[/mm] UND [mm]U_{1} \cap U_{2} = ({0})[/mm]
>
Danke für den Hinweis.Könnte ich dann bei der c) z.B. sagen dass [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = ({0}) ist,weil man das sofort sieht,dass die beiden keine Vektoren gemeinsam haben? Und wenn ich [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] rechne,hab ich [mm] U_{1}+U_{2}=\underbrace{[r\cdot{}(\vektor{1 \\ 3 \\ 5 \\ 7})+s\cdot{}(\vektor{2 \\ 4 \\ 6 \\ 8})]}_{\in U_A}+\underbrace{[t\cdot{}\cdot{}(\vektor{2 \\ 0 \\ -2 \\ -1})+v\cdot{}(\vektor{5 \\ -1 \\ -5 \\ q})]}_{\in U_B}. [/mm] Woher weiß ich denn jetzt,ob das [mm] =\IC^{4} [/mm] ist?
Und der Schnitt ist doch bei allen dreien leer oder?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 28.11.2010 | | Autor: | Lenzo |
Hey Mandy, so früh wieder bei Mathe?!?!
> Danke für den Hinweis.Könnte ich dann bei der c) z.B.
> sagen dass [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = ({0}) ist,weil man das sofort
> sieht,dass die beiden keine Vektoren gemeinsam haben?
Das ist schwierig, das sofort zu sehen, da ja auch Linearkombinationen der Vektoren vorhanden sein können. Spätestens um das q herauszufinden, würde ich eine Stufenmatrix machen! So siehst Du das dann wirklich (auch die dim [mm] (U_{A} [/mm] + [mm] U_{B})), [/mm] und q findet man dann von selbst. Außerdem muss Du ja für die Gleichung aus A.1 die Dimension von [mm] U_{A} [/mm] und [mm] U_{B} [/mm] haben; auch das sollte dann kein Problem sein.
Schliesslich brauchst du alles nur in die 2. GL von A.1 einzusetzen und .....
> wenn ich [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] rechne,hab ich
> [mm]U_{1}+U_{2}=\underbrace{[r\cdot{}(\vektor{1 \\
3 \\
5 \\
7})+s\cdot{}(\vektor{2 \\
4 \\
6 \\
8})]}_{\in U_A}+\underbrace{[t\cdot{}\cdot{}(\vektor{2 \\
0 \\
-2 \\
-1})+v\cdot{}(\vektor{5 \\
-1 \\
-5 \\
q})]}_{\in U_B}.[/mm]
> Woher weiß ich denn jetzt,ob das [mm]=\IC^{4}[/mm] ist?
naja, falls Du lineare Unabhängigkeit hast, dann ist das doch klar...
was ist denn dim [mm]\IC^4[/mm] ???
> Und der Schnitt ist doch bei allen dreien leer oder?
welche "dreien"?
Schönen Sonntag
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 28.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hey Mandy, so früh wieder bei Mathe?!?!
Gestern Abend warst du auch noch sehr spät bei Mathe ;)
>
> > Danke für den Hinweis.Könnte ich dann bei der c) z.B.
> > sagen dass [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = ({0}) ist,weil man das sofort
> > sieht,dass die beiden keine Vektoren gemeinsam haben?
> Das ist schwierig, das sofort zu sehen, da ja auch
> Linearkombinationen der Vektoren vorhanden sein können.
> Spätestens um das q herauszufinden, würde ich eine
> Stufenmatrix machen! So siehst Du das dann wirklich (auch
> die dim [mm](U_{A}[/mm] + [mm]U_{B})),[/mm] und q findet man dann von selbst.
> Außerdem muss Du ja für die Gleichung aus A.1 die
> Dimension von [mm]U_{A}[/mm] und [mm]U_{B}[/mm] haben; auch das sollte dann
> kein Problem sein.
> Schliesslich brauchst du alles nur in die 2. GL von A.1
> einzusetzen und .....
Tut mir leid,wenn ich grad etwas schwer von Begriff bin,aber ich muss jetzt noch mal nachfragen.Ich verstehe nicht ganz, welche Stufenmatrix du meinst und was du damit erreichen willst bzw. wie du damit zeigen willst,dass der Schnitt leer ist?
Also die Dimension von U1 und U2 ist jeweils 2, und wenn ich das addiere hab ich ja die Dimension 4,also die von [mm] \IC^{4}.
[/mm]
>
>
> > wenn ich [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] rechne,hab ich
> > [mm]U_{1}+U_{2}=\underbrace{[r\cdot{}(\vektor{1 \\
3 \\
5 \\
7})+s\cdot{}(\vektor{2 \\
4 \\
6 \\
8})]}_{\in U_A}+\underbrace{[t\cdot{}\cdot{}(\vektor{2 \\
0 \\
-2 \\
-1})+v\cdot{}(\vektor{5 \\
-1 \\
-5 \\
q})]}_{\in U_B}.[/mm]
> > Woher weiß ich denn jetzt,ob das [mm]=\IC^{4}[/mm] ist?
>
> naja, falls Du lineare Unabhängigkeit hast, dann ist das
> doch klar...
> was ist denn dim [mm]\IC^4[/mm] ???
4 natürlich.
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> > Und der Schnitt ist doch bei allen dreien leer oder?
> welche "dreien"?
Bei (1),(2) und (3)
lg
> Schönen Sonntag
>
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> > Hey Mandy, so früh wieder bei Mathe?!?!
>
> Gestern Abend warst du auch noch sehr spät bei Mathe ;)
> >
> > > Danke für den Hinweis.Könnte ich dann bei der c) z.B.
> > > sagen dass [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = ({0}) ist,weil man das sofort
> > > sieht,dass die beiden keine Vektoren gemeinsam haben?
> > Das ist schwierig, das sofort zu sehen, da ja auch
> > Linearkombinationen der Vektoren vorhanden sein können.
> > Spätestens um das q herauszufinden, würde ich eine
> > Stufenmatrix machen! So siehst Du das dann wirklich (auch
> > die dim [mm](U_{A}[/mm] + [mm]U_{B})),[/mm] und q findet man dann von selbst.
> > Außerdem muss Du ja für die Gleichung aus A.1 die
> > Dimension von [mm]U_{A}[/mm] und [mm]U_{B}[/mm] haben; auch das sollte dann
> > kein Problem sein.
> > Schliesslich brauchst du alles nur in die 2. GL von A.1
> > einzusetzen und .....
>
> Tut mir leid,wenn ich grad etwas schwer von Begriff
> bin,aber ich muss jetzt noch mal nachfragen.Ich verstehe
> nicht ganz, welche Stufenmatrix du meinst und was du damit
> erreichen willst bzw. wie du damit zeigen willst,dass der
> Schnitt leer ist?
> Also die Dimension von U1 und U2 ist jeweils 2, und wenn
> ich das addiere hab ich ja die Dimension 4,also die von
> [mm]\IC^{4}.[/mm]
Hallo,
Du machst hier gerade ein kunterbuntes Durcheinander, indem Du zweierlei Verschiedenes nicht unterscheidest:
a. Die Summe der Dimensionen
b. Die Dimension der Summe
Es ist die Dimension der Summe nicht in jedem Fall die Summe der Dimensionen! Sie kann auch kleiner sein.
> >
> >
> > > wenn ich [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] rechne,hab ich
> > > [mm]U_{1}+U_{2}=\underbrace{[r\cdot{}(\vektor{1 \\
3 \\
5 \\
7})+s\cdot{}(\vektor{2 \\
4 \\
6 \\
8})]}_{\in U_A}+\underbrace{[t\cdot{}\cdot{}(\vektor{2 \\
0 \\
-2 \\
-1})+v\cdot{}(\vektor{5 \\
-1 \\
-5 \\
q})]}_{\in U_B}.[/mm]
> > > Woher weiß ich denn jetzt,ob das [mm]=\IC^{4}[/mm] ist?
Ohha.
Du meinst:
[mm] U_1+U_2= \{ [r*\vektor{1 \\ 3 \\ 5 \\ 7})+s\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\ 6 \\ 8}][t\cdot{}\vektor{2 \\ 0 \\ -2 \\ -1}+v\cdot{}(\vektor{5 \\ -1 \\ -5 \\ q}]| r,s,t,v\in \IC\}.$ [/mm]
Wenn die 4 Vektoren ein Erzeugendensystem von [mm] \IC^4 [/mm] sind, ist die Summe [mm] =\IC^4.
[/mm]
Dann kannst Du noch drüber nachdenken, ob sie direkt ist, also, wie Dein Kommilitone rät, über den Schnitt von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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