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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - direktes Komplement, ON-Basis
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direktes Komplement, ON-Basis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 14.10.2008
Autor: uniklu

Aufgabe
Gegeben sei U = < (1,2,3,-1,2), (2,4,7,2,-1) >, [mm] u_1, u_2 \in \IR^5 [/mm]

a) 2 direkte Komplemente von U berechnen
b) orthogonales Komplement [mm] U^\perp [/mm] von U
c) ON-Basen von U bzw. [mm] U^\perp [/mm]



Hallo!

Ich habe wieder drei Fragen bezüglich der obigen Aufgabe :)

ad a) Ich habe eine lineare Hülle U gegeben. Damit ist es mir möglich jeden Vektor in dem Teilraum durch eine Linearkombination zu erzeugen

Nun könnte ich also eine Vektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = (v1,v2,v3,v4,v5) folgend erzeugen:

v = [mm] \lambda_1 (1,2,3,-1,2)^T [/mm] +  [mm] \lambda_1 (2,4,7,2,-1)^T [/mm]


V = U [mm] \oplus\ [/mm] W <=> [mm] \begin{cases} \mbox{(i)} & V = U + W,\\ \mbox{(ii)} & U \cap W \not= {0}\end{cases} [/mm]

dabei handelt es sich bei W um den komplementären Teilraum.

Meine Frage hier ist also, wie komme ich auf W? Berechnung von W?

ad b)
hier kann ich mir nur vorstellen was gemeint ist.
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in U^\perp [/mm] | u [mm] \perp [/mm] s [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] U

die Frage ist, wie berechnet man das?

ad c)
hier wende ich einfach Gram-Schmidt an?


ich hoffe jemand kann mir helfen!

lg



(Beispiel auch hier gepostet: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=109987)

        
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Di 14.10.2008
Autor: fred97

Zu a):  Addiere das (-2) - fache des ersten Vektors in U auf den zweiten. Dann siehst Du

U = < (1,2,3,-1,2), (0,0,1,4,-5) >

Nun schau Dir mal Folgendes an:
(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)
(0,1,0,0,0)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)


Kannst Du hieraus einen Komplementärraum zu U ablesen ?

Zu b): Hier ist ein Komplementärraum W von U gesucht mit:

u [mm] \perp [/mm] w für jedes u in U und jedes w in W

Zu c)

Wende Gram - Schmidt auf eine Basis von U an, dann erhälst Du eine ONB von U. Mache es ebenso für [mm] U^\perp [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 14.10.2008
Autor: uniklu

Hallo Fred!

Danke für die Antwort!

Tut mir leid, ich weiß nicht wie man hier den komplementärraum ablesen kann.

Bezug
                        
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Di 14.10.2008
Autor: fred97

Z.B.:  <(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1) >

FRED

Bezug
                                
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Di 14.10.2008
Autor: uniklu

Danke!

Nur zum Verständnis:

U besteht aus [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] - beide sind natürlich l.u.

V muss aber aus 5 Elementen bestehen.

W muss nun aus 3 Elementen bestehen, weil 5 = 2 + 3. Diese 3 Elemente müssen auch l.u. sein. Damit man nun auf 5 Elemente kommt, müssen alle Vektoren aus W und U l.u. sein.

im Prinzip wäre dann <(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0), (0,0,0,0,2)> auch ein Komplement?


Ich habe mir aus dem "erweiterten" System:
(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)
(0,1,0,0,0)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)

ein LGS erstellt.

[mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm]
[mm] x_5 [/mm] = [mm] \lambda_4 [/mm]

=> [mm] x_1 [/mm] = - 2 [mm] \lambda_2 [/mm] - 3 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] - 2 [mm] \lambda_4 [/mm]
=> [mm] x_3 [/mm] = - 4 [mm] \lambda_3 [/mm] - 5 [mm] \lambda_4 [/mm]

[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_4 \vektor{-2 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 0} [/mm]


sofern ich mich nicht verrechnet habe solle dann

[mm] \vektor{(-2,0,0,0,0) \\ (-3,0,0,0,0) \\ (1,0,-4,0,0) \\ (-2,0,-5,0,0)} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = 0 ergeben, wobei der Variablenvektor aus U stammt.

Bezug
                                        
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Di 14.10.2008
Autor: fred97


> Danke!
>  
> Nur zum Verständnis:
>  
> U besteht aus [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] - beide sind natürlich l.u.

Besser: U hat die Basus [mm] {u_1, u_2} [/mm]

>  
> V muss aber aus 5 Elementen bestehen.


Besser: eine Basis von V muss aber aus 5 Elementen bestehen.


>  
> W muss nun aus 3 Elementen bestehen,

Besser: eine Basis von W muss nun aus 3 Elementen bestehen

weil 5 = 2 + 3. Diese

> 3 Elemente müssen auch l.u. sein. Damit man nun auf 5
> Elemente kommt, müssen alle Vektoren aus W und U l.u.
> sein.
>  
> im Prinzip wäre dann <(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0),
> (0,0,0,0,2)> auch ein Komplement?

Ja, aber das gleiche, denn

<(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0),  (0,0,0,0,2)>  = <(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0),  (0,0,0,0,1)>



>  
>
> Ich habe mir aus dem "erweiterten" System:
>  (1,2,3,-1,2)
>  (0,0,1,4,-5)
>  (0,1,0,0,0)
>  (0,0,0,1,0)
>  (0,0,0,0,1)
>
> ein LGS erstellt.

>



Was Du ab hier treibst ist mir nicht klar


FRED

  

> [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm]
>  [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
>  [mm]x_4[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm]
>  [mm]x_5[/mm] = [mm]\lambda_4[/mm]
>  
> => [mm]x_1[/mm] = - 2 [mm]\lambda_2[/mm] - 3 [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] - 2
> [mm]\lambda_4[/mm]
>  => [mm]x_3[/mm] = - 4 [mm]\lambda_3[/mm] - 5 [mm]\lambda_4[/mm]

>  
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = [mm]\lambda_1 \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda_3 \vektor{1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_4 \vektor{-2 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
>
> sofern ich mich nicht verrechnet habe solle dann
>  
> [mm]\vektor{(-2,0,0,0,0) \\ (-3,0,0,0,0) \\ (1,0,-4,0,0) \\ (-2,0,-5,0,0)}[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = 0 ergeben,
> wobei der Variablenvektor aus U stammt.


Bezug
                                                
Bezug
direktes Komplement, ON-Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Di 14.10.2008
Autor: uniklu

Hallo!

Danke für die Antwort.

Das untere war der Versuch für Teil b) der Aufgabe. Ist natürlich falsch

Hier kommt folgendes heraus:

(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)

ein LGS erstellt.

[mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm]
[mm] x_5 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm]

=> [mm] x_1 [/mm] = - 2 [mm] \lambda_1 [/mm] - 3 [mm] x_2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] - 2 [mm] \lambda_3 [/mm]
=> [mm] x_3 [/mm] = - 4 [mm] \lambda_2 [/mm] - 5 [mm] \lambda_3 [/mm]

[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-34 \\ 0 \\ -10 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{17 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \\ 1} [/mm]


[mm] \vektor{(-2,1,0,0,0) \\ (-34,0,0,-10,1) \\ (17,0,5,0,1)} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = 0 ergeben, wobei der Variablenvektor aus U stammt.


noch mal zu a)
Gibt es hier einen strukturierten Ansatz? Sonst findet sich die Lösung nämlich durch stupides Probieren: [mm] W_2 [/mm] = {(1,3,0,1,2),(2,1,0,2,1),(-1,0,1,2,1)}

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