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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - disjunkte Ereignisse
disjunkte Ereignisse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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disjunkte Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Mi 20.07.2011
Autor: path

Aufgabe
Seien [mm] X_1,X_2,\ldots,X_n [/mm] unabhängige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion [mm] F_X. [/mm] Dann heißen
[mm] X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \ldots \leq X_{(n)} [/mm] die zugehörigen Ordnungsstatistiken (d.h. die geordneten [mm] $X_i$). [/mm]

[mm] X_{(m)}\leq X_{(m+1)} [/mm] ->  [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm] t] = ?

Hallo!

Ich steh grad irgendwie voll auf dem Schlauch.

Ist
[mm] X_{(m)}\leq X_{(m+1)} ->\{X_{(m)}>t\}\cap\{X_{(m+1)}\leq t\}=\emptyset [/mm]  -> [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm] t] = [mm] P[\{X_{(m)}>t\}\cap\{X_{(m+1)}\leq t\}]=P[\emptyset]=0 [/mm] richtig?

D.h. kann ich hier die zwei Wahrscheinlichkeiten zu einer zusammenfassen?


Vielen Dank schonmal,

path


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
disjunkte Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 20.07.2011
Autor: luis52

Moin,

wo ist das Problem? Du weisst doch bestimmt, wie man die Verteilungsfunktion [mm] $F_{(i)}$ [/mm] von [mm] $X_{(i)}$ [/mm] berechnet. Dann ist

$ [mm] P[X_{(m)}>t]\cdot P[X_{(m+1)}\leq [/mm]  t]=  [mm] (1-P[X_{(m)}\le t])\cdot P[X_{(m+1)}\leq t]=(1-F_{(m)}(t))F_{(m+1)}(t)$. [/mm]

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Bezug
disjunkte Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mi 20.07.2011
Autor: path

Danke!

Also mein eigentliches Problem ist, dass ich mit der Annahme, dass da 0 rauskommt, eine ziemlich lange Umformung in einer Arbeit begründe.
Also sollte das nicht der Fall sein, hab ich anscheinend was falsch gemacht.

Meine Überlegung war, dass die beiden Ereignisse eben nicht gleichzeitig auftreten können.

Eigentlich möchte ich zeigen, dass
[mm] \sum_{i=m+1}^n P[X_{(i)}\leq t]\cdotp P[X_{(m)}>t]=0 [/mm] ist.

path

Bezug
                        
Bezug
disjunkte Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mi 20.07.2011
Autor: luis52

Moin,

betrachte den Fall $n=2_$ mit unabhaengigen  standardnormalverteilten [mm] $X_1,X_2$. [/mm] Dann ist


[mm] $(1-F_{(m)}(t))F_{(m+1)}(t)=(1-F_{(1)}(t))F_{(2)}(t)=(1-\Phi(t))^2\Phi^2(t)=\psi(t) [/mm] $. Es ist [mm] $\psi(0)=0.0625>0$. [/mm]

vg Luis

Bezug
                                
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disjunkte Ereignisse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Mi 20.07.2011
Autor: path

Oh Mann, das ist jetzt natürlich nicht so gut (für meine Umformung).

Es gilt dann wahrscheinlich auch nicht

[mm] \sum_{i=m+1}^n P[X_{(m)} \leq [/mm] t < [mm] X_{(i)}]=\sum_{i=m+1}^nP[\{X_{(m)}\leq t\}\cap \{t [/mm] t],

oder?

Vielen Dank,

path

Bezug
                                        
Bezug
disjunkte Ereignisse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mi 20.07.2011
Autor: luis52


>  
> Es gilt dann wahrscheinlich auch nicht
>
> [mm]\sum_{i=m+1}^n P[X_{(m)} \leq[/mm] t <
> [mm]X_{(i)}]=\sum_{i=m+1}^nP[\{X_{(m)}\leq t\}\cap \{t t][/mm] ,
>  
> oder?

Die erste Gleichung ist okay, die zweite nicht. [mm] $X_{(i)}$ [/mm] und [mm] $X_{(j)}$ [/mm] sind  ja korreliert, die zweite Gleichung gilt nur bei Unabhaengigkeit.

vg Luis


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Bezug
disjunkte Ereignisse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Mi 20.07.2011
Autor: path

Ok,

also danke nochmal! Hast mir sehr weitergeholfen!

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