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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | Geben sie ein Beispiel an, mit [mm] A_n \subset \IN, [/mm] wobei jedes [mm] A_n [/mm] unendlich ist und
[mm] A_n \cap A_m=\emptyset [/mm] für [mm] n\not= [/mm] m gilt. |
Hey,
Ich finde da einfach kein Beispiel. Das kann doch auch irgendwie nicht gehen, weil wenn die alle unendlich sind, dann sind die doch ab irgendeinem Punkt gleich oder nicht? Das wäre so mein Gefühl, weshalb ich da auch nichts finde.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das kann doch auch
> irgendwie nicht gehen, weil wenn die alle unendlich sind,
> dann sind die doch ab irgendeinem Punkt gleich oder nicht?
Nö, das ist ja das "schöne" an unendlichen Mengen.
Schau dir mal die Potenzen von unterschiedlichen Primzahlen an, was fällt dir auf?
Zufällig sind die Primzahlen dann auch noch abzählbar und daher kann man sie "durchnummerieren".
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
viielen dank für deine antwort, da wäre ich nie von selbst drauf gekommen.
also du meinst doch:
[mm] A_1=\{2,2^2,2^3,2^4,...\}
[/mm]
[mm] A_2=\{3,3^2,3^3,3^4,...\}
[/mm]
....
Also quasi: [mm] A_n=\{a_n^k| k \in \IN\} [/mm] wobei mit [mm] a_n [/mm] die nte Primzahl gemeint ist.
Kann man das so schreiben?
Und dann gilt: [mm] A_n \cap A_m =\emptyset [/mm] für n [mm] \not= [/mm] m ?
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Hallo,
> viielen dank für deine antwort, da wäre ich nie von
> selbst drauf gekommen.
> also du meinst doch:
> [mm]A_1=\{2,2^2,2^3,2^4,...\}[/mm]
> [mm]A_2=\{3,3^2,3^3,3^4,...\}[/mm]
> ....
> Also quasi: [mm]A_n=\{a_n^k| k \in \IN\}[/mm] wobei mit [mm]a_n[/mm] die nte
> Primzahl gemeint ist.
> Kann man das so schreiben?
Sieht schon ganz gut aus, besser (und etwas intuitivere Variablen):
Sei [mm] p_{n} [/mm] die n-te Primzahl, und [mm] $A_{n} [/mm] := [mm] \{(p_{n})^{k}|k\in\IN\}$.
[/mm]
> Und dann gilt: [mm]A_n \cap A_m =\emptyset[/mm] für n [mm]\not=[/mm] m ?
Genau. Beweis: Angenommen, es gäbe [mm] $n,m\in\IN, n\not= [/mm] m$ mit [mm] $A_{n}\cap A_{m}\not= \emptyset$. [/mm] Dann gäbe es also [mm] k_{1},k_{2}\in\IN [/mm] so, dass [mm] $(p_{n})^{k_{1}} [/mm] = [mm] (p_{m})^{k_{2}}$. [/mm] Kann das sein?
(Wenn zwei Zahlen gleich sind, so müssen sie natürlich auch dieselbe Primfaktorzerlegung haben...)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Lori7 |
Vielen Dank ;)
Nein das kann wohl nicht sein, weil da ja schon quasi die Primfaktorzerlegungen stehen und diese sind ja eindeutig und da n [mm] \not= [/mm] m sind ja die Primzahlen auf beiden Seiten unterschiedlich. Also haben sie nicht die gleiche Primfaktorzerlegung und sind auch nicht gleich. Also muss der Schnitt leer sein.
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Hallo,
> Vielen Dank ;)
> Nein das kann wohl nicht sein, weil da ja schon quasi die
> Primfaktorzerlegungen stehen und diese sind ja eindeutig
> und da n [mm]\not=[/mm] m sind ja die Primzahlen auf beiden Seiten
> unterschiedlich. Also haben sie nicht die gleiche
> Primfaktorzerlegung und sind auch nicht gleich. Also muss
> der Schnitt leer sein.
Alles richtig 
Mir fällt gerade auf, dass das mit der Primfaktorzerlegung manchmal etwas ungern gesehen wird (theoretisch muss man erst beweisen, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, blablabla...)
Deswegen argumentiere lieber, dass die linke Zahl durch [mm] p_{n}, [/mm] die rechte Zahl aber nicht durch [mm] p_{n} [/mm] teilbar ist. Deswegen können sie nicht gleich sein.
Grüße,
Stefan
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