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Forum "Uni-Stochastik" - diskrete Gleichverteilung
diskrete Gleichverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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diskrete Gleichverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Fr 12.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Eine Zufallsvariable X habe die Werte in der Menge {1,...,n} und neme diese mit gleicher Wahrscheinlichkeit an. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X.

Hinweis:  [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] = n(n+1)*(2n+1)/6

Moin Moin,

hier würde die Zufalsvariable X n Elemente enthalten.

Da es sich um eine diskrete Gleichverteilung handelt hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

E(X) = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{(n+1)*n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n+1}{2})^2 [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*( \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] - [mm] E(X)^2 [/mm] )

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*(\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] (\bruch{n+1}{2})^2) [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*(\bruch{n^2+n)*(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] \bruch{n^2+2n+1}{4}) [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*(\bruch{2n^3+n^2+2n^2+n)}{6} [/mm] - [mm] \bruch{3n^2+6n+3}{12}) [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*(\bruch{4n^3+6n^2+2n)}{12} [/mm] - [mm] \bruch{3n^2+6n+3}{12}) [/mm]


V(X) = [mm] \bruch{1}{n}*(\bruch{4n^3+3n^2-4n-3)}{12} [/mm] )

richtig?

        
Bezug
diskrete Gleichverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Sa 13.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Da es sich um eine diskrete Gleichverteilung handelt hat
> jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]

[ok]
  
> E(X) = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}[/mm] k =
> [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{(n+1)*n}{2}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{2}[/mm]

[ok]
  
> V(X) = [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k - [mm]\bruch{n+1}{2})^2[/mm]
>  
> V(X) = [mm]\bruch{1}{n}*( \summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] - [mm]E(X)^2[/mm] )

[notok]

Hier vermischst du die zwei Ansätze zur Berechnung der Varianz.
Entweder du verwendest die Formel:
$V(X) = [mm] E\left[ \left(X - E[X]\right)^2\right] [/mm] =   [mm] \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{n+1}{2})^2$ [/mm]

oder die Formel aus dem Verschiebungssatz:
[mm] $E[X^2] [/mm] - [mm] E^2[X] [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\summe_{k=1}^{n}k^2 [/mm] - [mm] E^2[X]$ [/mm]

Was aber falsch ist, ist dein letzter Schritt zu:
[mm] $\frac{1}{n}\left(\summe_{k=1}^{n}k^2 - E^2[X]\right)$ [/mm]
Beachte, dass du bei deinem Ergebnis noch eine Klammer drumrum hast, die falsch ist.

Das solltest du aber leicht fixen können.

Gruß,
Gono
Bezug
                
Bezug
diskrete Gleichverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Sa 13.10.2018
Autor: hase-hh

...
> Beachte, dass du bei deinem Ergebnis noch eine Klammer
> drumrum hast, die falsch ist.

V(X) = [mm]\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] - [mm]E(X)^2[/mm]

V(X) = [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] - [mm](\bruch{n+1}{2})^2[/mm]

V(X) = [mm]\bruch{(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] - [mm]\bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm]
  
V(X) = [mm]\bruch{2n^2+3n+1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm]

V(X) =  [mm] \bruch{4n^2+6n+2}{12} [/mm] - [mm] \bruch{3n^2+6n+3}{12} [/mm]

V(X) = [mm] \bruch{n^2-1}{12} [/mm]

richtig?

Bezug
                        
Bezug
diskrete Gleichverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 13.10.2018
Autor: fred97


> ...
> > Beachte, dass du bei deinem Ergebnis noch eine Klammer
> > drumrum hast, die falsch ist.
>  
> V(X) = [mm]\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] - [mm]E(X)^2[/mm]
>
> V(X) = [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] -
> [mm](\bruch{n+1}{2})^2[/mm]
>  
> V(X) = [mm]\bruch{(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] - [mm]\bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm]
>    
> V(X) = [mm]\bruch{2n^2+3n+1}{6}[/mm] - [mm]\bruch{n^2+2n+1}{4}[/mm]
>  
> V(X) =  [mm]\bruch{4n^2+6n+2}{12}[/mm] - [mm]\bruch{3n^2+6n+3}{12}[/mm]
>  
> V(X) = [mm]\bruch{n^2-1}{12}[/mm]
>  
> richtig?
>  

Richtig



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