diskrete Metrik. kompakte Meng < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 28.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum, d die diskrete Metrik, d.h. d(x,y)=1 für alle x,y [mm] \in [/mm] X mit x [mm] \not= [/mm] y und d(x,x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] X. Bestimmen Sie die kompakten Mengen in X. |
N'Abend Leute,
wie oben bereits steht, bin ich völlig planlos. Ich starre einfach nur auf die Definitionen und versuche schlau daraus zu werden. Aber mein Kopf ist irgendwie dicht.
Kann mir jemand ne Denkanstoss geben?
Silfide
Nachtrag: Also ich weiß, dass in dieser Metrik jede Teilmenge von X abgeschlossen und beschränkt ist, aber das nur die endlichen Teilmengen kompakt sind.
Aber was mache ich nun damit??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, d die diskrete Metrik, d.h.
> d(x,y)=1 für alle x,y [mm]\in[/mm] X mit x [mm]\not=[/mm] y und d(x,x)=0
> für alle x [mm]\in[/mm] X. Bestimmen Sie die kompakten Mengen in
> X.
>
> N'Abend Leute,
>
> wie oben bereits steht, bin ich völlig planlos. Ich starre
> einfach nur auf die Definitionen und versuche schlau daraus
> zu werden. Aber mein Kopf ist irgendwie dicht.
>
> Kann mir jemand ne Denkanstoss geben?
>
> Silfide
>
> Nachtrag: Also ich weiß, dass in dieser Metrik jede
> Teilmenge von X abgeschlossen und beschränkt ist, aber das
> nur die endlichen Teilmengen kompakt sind.
> Aber was mache ich nun damit??
Hallo Silfide,
Zeige:
Die Teilmenge [mm] $M\subseteq [/mm] X$ ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist.
Die Richtung $M$ endlich [mm] $\Rightarrow [/mm] M$ kompakt gilt in jedem metrischen Raum, wie Du ja geschrieben hast.
Für die andere Richtung nimm an, $M$ wäre unendlich und gib eine offene Überdeckung von $M$ an, die keine endliche Teilüberdeckung enthält.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 28.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Silfide,
>
> Zeige:
> Die Teilmenge [mm]M\subseteq X[/mm] ist genau dann kompakt, wenn
> sie endlich ist.
>
> Die Richtung [mm]M[/mm] endlich [mm]\Rightarrow M[/mm] kompakt gilt in jedem
> metrischen Raum, wie Du ja geschrieben hast.
>
> Für die andere Richtung nimm an, [mm]M[/mm] wäre unendlich und gib
> eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm] an, die keine endliche
> Teilüberdeckung enthält.
M=(Vereinigungsmenge x [mm] \in M)\{x\} [/mm] hat keine endliche Telüberdeckung, da M unendlich ???
Kann man das so machen? Also das die eine Richtung direkt ist und die andere quasi durch Widerspruch bewiesen wird??
Silfide
Nachtrag: Danke für deine Hilfe, war echt schon am verzweifeln.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> > Hallo Silfide,
> >
> > Zeige:
> > Die Teilmenge [mm]M\subseteq X[/mm] ist genau dann kompakt, wenn
> > sie endlich ist.
> >
> > Die Richtung [mm]M[/mm] endlich [mm]\Rightarrow M[/mm] kompakt gilt in jedem
> > metrischen Raum, wie Du ja geschrieben hast.
> >
> > Für die andere Richtung nimm an, [mm]M[/mm] wäre unendlich und gib
> > eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm] an, die keine endliche
> > Teilüberdeckung enthält.
>
> M=(Vereinigungsmenge x [mm]\in M)\{x\}[/mm] hat keine endliche
> Telüberdeckung, da M unendlich ???
>
>
> Kann man das so machen? Also das die eine Richtung direkt
> ist und die andere quasi durch Widerspruch bewiesen wird??
>
Ja! Eigentlich ist das kein Widerspruchsbeweis. Sondern Du zeigst direkt:
Aus M unendlich folgt M nicht kompakt.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 28.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> >
> > > Hallo Silfide,
> > >
> > > Zeige:
> > > Die Teilmenge [mm]M\subseteq X[/mm] ist genau dann kompakt,
> wenn
> > > sie endlich ist.
> > >
> > > Die Richtung [mm]M[/mm] endlich [mm]\Rightarrow M[/mm] kompakt gilt in jedem
> > > metrischen Raum, wie Du ja geschrieben hast.
> > >
> > > Für die andere Richtung nimm an, [mm]M[/mm] wäre unendlich und gib
> > > eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm] an, die keine endliche
> > > Teilüberdeckung enthält.
> >
> > M=(Vereinigungsmenge x [mm]\in M)\{x\}[/mm] hat keine endliche
> > Telüberdeckung, da M unendlich ???
> >
> >
> > Kann man das so machen? Also das die eine Richtung direkt
> > ist und die andere quasi durch Widerspruch bewiesen wird??
> >
>
> Ja! Eigentlich ist das kein Widerspruchsbeweis. Sondern Du
> zeigst direkt:
>
> Aus M unendlich folgt M nicht kompakt.
Ja, ist mir bei der Reinschrift auch aufgefallen.
Aber nun bin ich doch unsicher, da es doch ziemlich kurz ist (für eine Aufgabe, die 5 Punkte bringen soll)
Meinst du, dass ich da noch irgendwas hinzuschreiben soll?
Kann ja nicht wirklich schreiben, dass nach Wikipedia nur die endlichen Mengen kompakt sind.
> Gruß,
> Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
> > >
> > > > Hallo Silfide,
> > > >
> > > > Zeige:
> > > > Die Teilmenge [mm]M\subseteq X[/mm] ist genau dann
> kompakt,
> > wenn
> > > > sie endlich ist.
> > > >
> > > > Die Richtung [mm]M[/mm] endlich [mm]\Rightarrow M[/mm] kompakt gilt in jedem
> > > > metrischen Raum, wie Du ja geschrieben hast.
> > > >
> > > > Für die andere Richtung nimm an, [mm]M[/mm] wäre unendlich und gib
> > > > eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm] an, die keine endliche
> > > > Teilüberdeckung enthält.
> > >
> > > M=(Vereinigungsmenge x [mm]\in M)\{x\}[/mm] hat keine endliche
> > > Telüberdeckung, da M unendlich ???
> > >
> > >
> > > Kann man das so machen? Also das die eine Richtung direkt
> > > ist und die andere quasi durch Widerspruch bewiesen wird??
> > >
> >
> > Ja! Eigentlich ist das kein Widerspruchsbeweis. Sondern Du
> > zeigst direkt:
> >
> > Aus M unendlich folgt M nicht kompakt.
>
> Ja, ist mir bei der Reinschrift auch aufgefallen.
>
> Aber nun bin ich doch unsicher, da es doch ziemlich kurz
> ist (für eine Aufgabe, die 5 Punkte bringen soll)
>
> Meinst du, dass ich da noch irgendwas hinzuschreiben soll?
> Kann ja nicht wirklich schreiben, dass nach Wikipedia nur
> die endlichen Mengen kompakt sind.
Wieso auf einmal Wikipedia.
Hast Du denn eine offene Überdeckung angegeben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält?
Und warum ist die Überdeckung offen. Und warum enthält sie keine endliche Teilüberdeckung?
Mehr ist für diese Richtung nicht zu zeigen!
Zusammen mit der anderen Richtung hast Du dann gezeigt:
Ist M endlich, so ist M kompakt. (in jedem metrischen Raum)
Ist M nicht endlich, so ist M nicht kompakt.
Damit ist M genau dann kompakt, wenn M endlich ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 28.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Hast Du denn eine offene Überdeckung angegeben, die keine
> endliche Teilüberdeckung enthält?
> Und warum ist die Überdeckung offen. Und warum enthält
> sie keine endliche Teilüberdeckung?
Überdeckung offen?
Weil bei der diskreten Metrik alle Mengen offen sind und Überdeckungen eines topologischen Raumes X offen sind, wenn alle Teilmengen in X offen sind.
Und das M keine endlichen Teilüberdeckungen besitz folgt aus einem Beweis von einem Theorem von Cantor.
In dem Theorem geht es darum, dass Wenn M [mm] \subseteq [/mm] X eine unendliche Teilmenge einer kompakten Menge ist, dann besitzt M mindestens ein Häüfungspunkt in X.
> Mehr ist für diese Richtung nicht zu zeigen!
>
> Zusammen mit der anderen Richtung hast Du dann gezeigt:
>
> Ist M endlich, so ist M kompakt. (in jedem metrischen
> Raum)
>
> Ist M nicht endlich, so ist M nicht kompakt.
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Silfide,
>
> > Hast Du denn eine offene Überdeckung angegeben, die keine
> > endliche Teilüberdeckung enthält?
> > Und warum ist die Überdeckung offen. Und warum
> enthält
> > sie keine endliche Teilüberdeckung?
>
>
> Überdeckung offen?
>
> Weil bei der diskreten Metrik alle Mengen offen sind und
> Überdeckungen eines topologischen Raumes X offen sind,
> wenn alle Teilmengen in X offen sind.
>
> Und das M keine endlichen Teilüberdeckungen besitz folgt
> aus einem Beweis von einem Theorem von Cantor.
> In dem Theorem geht es darum, dass Wenn M [mm]\subseteq[/mm] X eine
> unendliche Teilmenge einer kompakten Menge ist, dann
> besitzt M mindestens ein Häüfungspunkt in X.
Na, den Beweis kenne ich nicht!
Und ich dachte folgendes:
Da die Metrik diskret ist, ist für jedes [mm] $x\in [/mm] M$ die Menge [mm] $\{x\}$ [/mm] offen. Die Menge [mm] $\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}$ [/mm] ist daher eine offene Überdeckung von $M$. Sie enthält keine endliche Teilüberdeckung von $M$, da jede endliche Teilüberdeckung nur einen endlichen Teil von $M$ überdeckt.
So meinte ich das.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> Und ich dachte folgendes:
>
> Da die Metrik diskret ist, ist für jedes [mm]x\in M[/mm] die Menge
> [mm]\{x\}[/mm] offen. Die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm]
> ist daher eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm]. Sie enthält
> keine endliche Teilüberdeckung von [mm]M[/mm], da jede endliche
> Teilüberdeckung nur einen endlichen Teil von [mm]M[/mm]
> überdeckt.
>
Okay, ich muss das gerade nochmal Revue passieren lassen.
Also die Menge [mm] \bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\} [/mm] enthält keine endlichen Teilmengen, weil die Menge eine offene Überdeckung ist und offene Überdeckungen nur offene Teilmengen enthalten und man diese nicht mit endlichen Teilüberdeckungen abdecken kann.
Silfide
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
>
> > Und ich dachte folgendes:
> >
> > Da die Metrik diskret ist, ist für jedes [mm]x\in M[/mm] die Menge
> > [mm]\{x\}[/mm] offen. Die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm]
> > ist daher eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm]. Sie enthält
> > keine endliche Teilüberdeckung von [mm]M[/mm], da jede endliche
> > Teilüberdeckung nur einen endlichen Teil von [mm]M[/mm]
> > überdeckt.
> >
> Okay, ich muss das gerade nochmal Revue passieren lassen.
>
> Also die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm] enthält
> keine endlichen Teilmengen,
Nein! Die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm] enthält keine endliche Teilüberdeckung von M, denn jede endliche Teilüberdeckung wäre von der Form [mm] ${\cal M}_n [/mm] = [mm] \bigl\{\{x_k\}\colon 1\le k \le n\bigr\}$. [/mm] Die Vereinigung der Elemente von [mm] ${\cal M}$ [/mm] ist dann die endliche Menge [mm] $\{x_k\colon 1\le k \le n\}$ [/mm] und diese Menge kann nicht ganz M enthalten, da M unendlich ist.
> weil die Menge eine offene
> Überdeckung ist und offene Überdeckungen nur offene
> Teilmengen enthalten und man diese nicht mit endlichen
> Teilüberdeckungen abdecken kann.
Hier geht viel durcheinander.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Do 29.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> > > Und ich dachte folgendes:
> > >
> > > Da die Metrik diskret ist, ist für jedes [mm]x\in M[/mm] die Menge
> > > [mm]\{x\}[/mm] offen. Die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm]
> > > ist daher eine offene Überdeckung von [mm]M[/mm]. Sie enthält
> > > keine endliche Teilüberdeckung von [mm]M[/mm], da jede endliche
> > > Teilüberdeckung nur einen endlichen Teil von [mm]M[/mm]
> > > überdeckt.
> > >
> > Okay, ich muss das gerade nochmal Revue passieren lassen.
> >
> > Also die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm] enthält
> > keine endlichen Teilmengen,
>
> Nein! Die Menge [mm]\bigl\{ \{x\}\colon x\in M\bigr\}[/mm] enthält
> keine endliche Teilüberdeckung von M, denn jede endliche
> Teilüberdeckung wäre von der Form [mm]{\cal M}_n = \bigl\{\{x_k\}\colon 1\le k \le n\bigr\}[/mm].
> Die Vereinigung der Elemente von [mm]{\cal M}[/mm] ist dann die
> endliche Menge [mm]\{x_k\colon 1\le k \le n\}[/mm] und diese Menge
> kann nicht ganz M enthalten, da M unendlich ist.
Okay, ist nachvollziehbar. Danke!
> > weil die Menge eine offene
> > Überdeckung ist und offene Überdeckungen nur offene
> > Teilmengen enthalten und man diese nicht mit endlichen
> > Teilüberdeckungen abdecken kann.
>
> Hier geht viel durcheinander.
Ja, Topologie ist nicht wirklich meins.
Danke für deine Hilfe.
Guten Nacht.
Silfide
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