div.Reihe und Leibnizkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Fr 14.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Es sei [mm] c_{n}=\begin{cases} n^{-1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -n^{-2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_{n} [/mm] divergiert. Warum lässt sich das Leibnizkriterium nicht auf diese Reihe anwenden? |
Hallo,
ich denke ich habe die Aufgabe schon einigermaßen verstanden aber beim richtigen aufschreiben fehlt es mir jetzt doch an einigen Enden.
Das Leibnizkriterium kann man ja nur an monoton fallenden Nullfolgen anwenden und das "monoton fallend" haben wir hier bei [mm] |c_{n}|nicht [/mm] gegeben, wie ich durch aufschreiben der ersten Folgeglieder festgestellt habe. Aber wie kann ich das mathematisch jetzt auch noch schön beweisen?
Desweiteren wollte ich fragen, ob meine Beweisidee für die Divergenz der Reihe einigermaßen in Ordnung ist bzw. was daran noch verbessert werden könnte..
Ich habe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_{n}=\summe_{n=1, n gerade}^{\infty} -n^{-2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1, n ungerade}^{\infty}n^{-1} [/mm] so aufgeschrieben, weil ich jetzt sagen kann, dass der zweite Summand divergiert da ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{-1} [/mm] divergiert und da die Folgenglieder für gerade und ungerade n bei dieser Folge verschachtelt sind müssen ja beide Teilfolgen divergieren.
Dann habe ich anhand der Grenzwertsätze lediglich noch ein bisschen Prosa aufgeschrieben, dass wenn ein Summand divergiert die Summe nicht mehr konvergieren kann und somit wäre mein Beweis erledigt. Was sagt ihr dazu? Freue mich über Rückmeldungen :)
Liebe Grüße Tamara
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Hallo,
> Es sei [mm]c_{n}=\begin{cases} n^{-1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\
-n^{-2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n}[/mm]
> divergiert. Warum lässt sich das Leibnizkriterium nicht
> auf diese Reihe anwenden?
> Hallo,
> ich denke ich habe die Aufgabe schon einigermaßen
> verstanden aber beim richtigen aufschreiben fehlt es mir
> jetzt doch an einigen Enden.
> Das Leibnizkriterium kann man ja nur an monoton fallenden
> Nullfolgen anwenden und das "monoton fallend" haben wir
> hier bei [mm]|c_{n}|nicht[/mm] gegeben, wie ich durch aufschreiben
> der ersten Folgeglieder festgestellt habe.
Das ist richtig, wäre aber auch noch zu zeigen. Denn wenn ab einem gewissen N für alle folgenden Reihenglieder gilt, dass sie monoton gegen Null gehen, dann wäre das Leibnitzkriterium anwendbar.
> Aber wie kann
> ich das mathematisch jetzt auch noch schön beweisen?
> Desweiteren wollte ich fragen, ob meine Beweisidee für
> die Divergenz der Reihe einigermaßen in Ordnung ist bzw.
> was daran noch verbessert werden könnte..
> Ich habe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n}=\summe_{n=1, n gerade}^{\infty} -n^{-2}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1, n ungerade}^{\infty}n^{-1}[/mm] so
> aufgeschrieben, weil ich jetzt sagen kann, dass der zweite
> Summand divergiert da ja [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^{-1}[/mm]
> divergiert und da die Folgenglieder für gerade und
> ungerade n bei dieser Folge verschachtelt sind müssen ja
> beide Teilfolgen divergieren.
Zuerst einmal solltest du dich mit der Technik des korrekten Indizierens vertraut machen. Es ist
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}c_n=\summe_{i=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{(2n)^2}\right) [/mm]
und das darfst du nicht in Teilsummen zerlegen!
> Dann habe ich anhand der Grenzwertsätze lediglich noch
> ein bisschen Prosa aufgeschrieben, dass wenn ein Summand
> divergiert die Summe nicht mehr konvergieren kann und somit
> wäre mein Beweis erledigt. Was sagt ihr dazu? Freue mich
> über Rückmeldungen :)
Bringe den Sumammden auf einen gemeinsamen Nenner und dann ist es sehr einfach zu zeigen, dass die Reihe divergieren muss.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 14.12.2012 | | Autor: | tmili |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
Ja eben, dass ich das noch zeigen muss, dass die Folge nicht monoton fallend ist, weiß ich auch. Aber ich weiß nicht wie :( Ich habe mich mit Induktion versucht - komme aber nicht weiter..was wäre denn ein Ansatz um dies zu zeigen?
Oh ok stimmt so gehts natürlich auch - ich fand meine Schreibweise auch schon etwas merkwürdig, aber dachte es würde schon stimmen..ok dann habe ich den Bruch jetzt auf einen Nenner gebracht und habe dastehen [mm] \bruch{4n^{2}-2n+1}{8n^{3}-4n^{2}}..leider [/mm] hilft mir das nun nicht viel weiter :( Wir haben in der Uni gerade erst mit Reihen angefangen und auch noch keine Divergenz gezeigt..ich würde mich sehr über eine weitere Hilfestellung freuen,
liebe Grüße Tamara
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Hallo Tamara,
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
Na, dafür hats jetzt ja gedauert bis zu einer weiteren Antwort.
> Ja eben, dass ich das noch zeigen muss, dass die Folge
> nicht monoton fallend ist, weiß ich auch. Aber ich weiß
> nicht wie :( Ich habe mich mit Induktion versucht - komme
> aber nicht weiter..was wäre denn ein Ansatz um dies zu
> zeigen?
Da es ja um die Prüfung geht, ob das Leibniz-Kriterium anwendbar ist, musst Du ja den Betrag der Folgenglieder betrachten.
Für n=2k-1 gilt: [mm] |c_n|>|c_{n+1}|, [/mm] während für n=2k gilt: [mm] |c_n|<|c_{n+1}|. [/mm]
Was sagt Dir das über die Monotonie?
> Oh ok stimmt so gehts natürlich auch - ich fand meine
> Schreibweise auch schon etwas merkwürdig, aber dachte es
> würde schon stimmen..ok dann habe ich den Bruch jetzt auf
> einen Nenner gebracht und habe dastehen
> [mm]\bruch{4n^{2}-2n+1}{8n^{3}-4n^{2}}..leider[/mm] hilft mir das
> nun nicht viel weiter :(
Soweit richtig.
Es ist nun leicht zu zeigen, dass dieser Bruch [mm] >\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n} [/mm] ist.
> Wir haben in der Uni gerade erst
> mit Reihen angefangen und auch noch keine Divergenz
> gezeigt..ich würde mich sehr über eine weitere
> Hilfestellung freuen,
Was ich mich frage ist, ob Ihr das Vergleichskriterium (auch Majoranten-/Minorantenkriterium genannt) überhaupt schon hattet. Ansonsten sehe ich ein bisschen schwarz für die Aufgabe - es sei denn, Ihr hättet schon gezeigt, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] endlich ist. Dann gäbe es noch einen zweiten Weg.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hallo reverend,
zuerst mal zum letzten...also das Vergleichskriterium hatten wir noch nicht, aber durch Stromausfall bei der letzten Vorlesung ist der Prof auch etwas hinter dem Übungsblatt..(wir wurden vorgewarnt)..also ist es wohl kein Problem dies zu benutzen. Ich habe gerade nachgelesen was es bedeutet und das wir hier wohl dann das Minorantenkriterium nutzen würden..kann man durch die Abschätzung kommen in dem man bei dem Bruch einfach [mm] 4n^{2} [/mm] kürzt und dann stehen hat [mm] \bruch{1-\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{4n^{2}}}{2n-1} [/mm] und das ist ja [mm] >\bruch{1}{2n}...reicht [/mm] das?
Mit der Monotonie hab ich immer noch meine Probleme - fühl mich schon richtig bescheuert, dass ich da nix hinbekomme :(
> Für n=2k-1 gilt: [mm]|c_n|>|c_{n+1}|,[/mm] während für n=2k gilt:
> [mm]|c_n|<|c_{n+1}|.[/mm]
Das das gelten muss ist mir klar..das sehe ich auch wenn ich die ersten Folgeglieder aufschreibe..das Problem liegt am beweisen :(
Wenn ich für n=2k-1 annehme: [mm]|c_n|>|c_{n+1}|,[/mm] und das dann zeigen will komme ich auf [mm] \bruch{1}{2k-1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{4k^{2}}
[/mm]
Also das stimmt schonmal wie man erkennen kann, da der Nenner des rechten Bruches größer ist; also der Bruch insgesamt kleiner..mein Problem war bei der Annahme, dass für n=2k auch wirklich rauskommt was ich annehme, nämlich dass [mm]|c_n|<|c_{n+1}|[/mm]
Hier habe ich dann stehen [mm] \bruch{1}{2k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{(2k+1)^{2}}=\bruch{1}{4k^{2}+4k+1}
[/mm]
So und das stimmt doch mal überhaupt nicht; hier ist ja auch der Nenner des rechten Bruches größer - also der Bruch kleiner :( Wo liegt mein Fehler? Ich habe schon das Gefühl ich werde betriebsblind..
Vielen Dank im Vorraus!
Grüße Tamara
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Hallo,
> zuerst mal zum letzten...also das Vergleichskriterium
> hatten wir noch nicht, aber durch Stromausfall bei der
> letzten Vorlesung ist der Prof auch etwas hinter dem
> Übungsblatt..(wir wurden vorgewarnt)..also ist es wohl
> kein Problem dies zu benutzen. Ich habe gerade nachgelesen
> was es bedeutet und das wir hier wohl dann das
> Minorantenkriterium nutzen würden..kann man durch die
> Abschätzung kommen in dem man bei dem Bruch einfach [mm]4n^{2}[/mm]
> kürzt und dann stehen hat
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{4n^{2}}}{2n-1}[/mm] und das ist
> ja [mm]>\bruch{1}{2n}...reicht[/mm] das?
>
ja, das reicht zum Nachweis der Divergenz völlig aus.
> Mit der Monotonie hab ich immer noch meine Probleme - fühl
> mich schon richtig bescheuert, dass ich da nix hinbekomme
> :(
> > Für n=2k-1 gilt: [mm]|c_n|>|c_{n+1}|,[/mm] während für n=2k
> gilt:
> > [mm]|c_n|<|c_{n+1}|.[/mm]
> Das das gelten muss ist mir klar..das sehe ich auch wenn
> ich die ersten Folgeglieder aufschreibe..das Problem liegt
> am beweisen :(
> Wenn ich für n=2k-1 annehme: [mm]|c_n|>|c_{n+1}|,[/mm] und das
> dann zeigen will komme ich auf [mm]\bruch{1}{2k-1}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{4k^{2}}[/mm]
> Also das stimmt schonmal wie man erkennen kann, da der
> Nenner des rechten Bruches größer ist; also der Bruch
> insgesamt kleiner..
Das sollte man (theoretisch) schon vollends nachrechnen, aber es ist ja eigentlich der 'uninteressante Fall'.
> mein Problem war bei der Annahme, dass
> für n=2k auch wirklich rauskommt was ich annehme, nämlich
> dass [mm]|c_n|<|c_{n+1}|[/mm]
> Hier habe ich dann stehen [mm]\bruch{1}{2k}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{(2k+1)^{2}}=\bruch{1}{4k^{2}+4k+1}[/mm]
> So und das stimmt doch mal überhaupt nicht; hier ist ja
> auch der Nenner des rechten Bruches größer - also der
> Bruch kleiner :( Wo liegt mein Fehler? Ich habe schon das
> Gefühl ich werde betriebsblind..
Für diesen Fall hast du ja links den quadratischen Term stehen, also
[mm]\bruch{1}{4k^2}<\bruch{1}{2k+1}[/mm]
wäre zu zeigen, was mittels quadratischer Ergänzung leicht gelingt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Sa 15.12.2012 | | Autor: | tmili |
Vielen Dank für die Rückmeldung :)
Mein Fehler war ja auch so bescheuert - ich habe einfach das "gerade n " in den "ungeraden Teil" der Folge eingesetzt - so konnte es ja nicht klappen ;)
Liebe Grüße
Tamara
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