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duale Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Do 15.01.2015
Autor: eva4eva

Aufgabe
Seien A,B Vektorräume über einem Körper K.
Sei geg. die lin. Abb.

f: A [mm] \to [/mm] B

Die Abb.

b*: B [mm] \to [/mm] K bildet dann den Dualraum B*.

Die Abb.

a*: A [mm] \to [/mm] K bildet A*.

Die zu f duale Abb. f*: B* [mm] \to [/mm] A*

ordnet dann einer lin. Abb. b* eine lin. Abb. a* zu.

Es ist f*(b*)=b* [mm] \circ [/mm] f .

Stimmt das soweit?

Kann ich daraus folgern, dass a*=b* [mm] \circ [/mm] f ?
Ich habe mir ein Diagramm dazu gezeichnet und da sieht es so aus:
Der Pfeil von A nach K ist ja der Dualraum mit den Abbildungen a* und gleichzeitig über die Verknüpfng von f und b* zu erhalten.


        
Bezug
duale Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Fr 16.01.2015
Autor: angela.h.b.


> Seien A,B Vektorräume über einem Körper K.
>  Sei geg. die lin. Abb.
>  
> f: A [mm]\to[/mm] B

Hallo,

die dazu duale Abbildung [mm] f^{\*} [/mm] ist

[mm] f^{\*}:B^{\*}\to A^{\*} [/mm]
mit
[mm] f^{\*}(b^{\*}):=b^{\*}\circ [/mm] f für alle [mm] b^{\*}\in B^{*\}. [/mm]

Was macht [mm] f^{\*}? [/mm]
[mm] f^{\*} [/mm] ordnet jeder Linearform, die in [mm] B^{\*} [/mm] ist, in der angegebenen Weise eine Linearform aus
[mm] A^{\*} [/mm] zu.




>  Die Abb.
>  
> b*: B [mm]\to[/mm] K bildet dann den Dualraum B*.

Nein.
[mm] B^{\*} [/mm] ist der Raum, der alle (!) linearen Abbildungen von B nach K enthält:

[mm] B^{\*}:=\{b^{\*}| b^{\*}:B\to K, b^{\*}\quad linear\} [/mm]


>  
> Die Abb.
>
> a*: A [mm]\to[/mm] K bildet A*.

Nein.
[mm] A^{\*} [/mm] ist der Raum, der alle (!) linearen Abbildungen von A nach K enthält.

>  
> Die zu f duale Abb. f*: B* [mm]\to[/mm] A*
>  
> ordnet dann einer lin. Abb. b* eine lin. Abb. a* zu.

Sie ordnet jeder Linearform [mm] b^{\*} [/mm] aus [mm] B^{\*} [/mm] eine Linearform aus [mm] A^{\*} [/mm] zu.

Und zwar so:

>  
> Es ist f*(b*)=b* [mm]\circ[/mm] f .


>  
> Stimmt das soweit?
>  
> Kann ich daraus folgern, dass a*=b* [mm]\circ[/mm] f ?

Ich weiß nicht genau, was Du damit meinst.
Richtig ist: wenn [mm] b^{\*}\in B^{\*}, [/mm] dann ist [mm] f^{\*}(b^{\*})\in A^{\*}. [/mm]


>  Ich habe mir ein Diagramm dazu gezeichnet und da sieht es
> so aus:
>  Der Pfeil von A nach K ist ja der Dualraum

Nein.
A--->K beschreibt dann ein Element des Dualraumes, also eine Linearform.
Der Dualraum enthält alle Linearformen [mm] A\to [/mm] K


> mit den
> Abbildungen a* und gleichzeitig über die Verknüpfng von f
> und b* zu erhalten.

Vielleicht meinst Du es so:

[mm] f^{\*} [/mm] angewendet auf ein Element [mm] b^{\*} [/mm] aus [mm] B^{\*} [/mm] ergibt ein Element aus [mm] A^{\*}. [/mm]

LG Angela

>  


Bezug
                
Bezug
duale Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 17.01.2015
Autor: eva4eva

Danke für die Antwort!!

Die Pfeile fasse ich schon als die Menge aller Abbildungen auf, also z B der Pfeil von B nach K ist Hom(B,K).
Also ist b* die Abbildung, die alle Elemente von B nach K abb..

[Dateianhang nicht öffentlich]

Also
B*= Hom(B,K)
A* = Hom(A,K)

Meine Auffassung war:
Wenn ich alle Abb. A->K nehme, habe ich A*. Gleichzeitig bekomme ich die Menge aller Abb. A->K aber auch über den "Umweg f", also wenn ich die Menge aller b* unter f nehme. Dann sind alle Abb. A->K entweder zu beschreiben mit a* oder mit b* [mm] \circ [/mm] f. Daher schrieb ich a*= b* [mm] \circ [/mm] f

Du schreibst:
"Richtig ist: wenn $ [mm] b^{*}\in B^{*}, [/mm] $ dann ist $ [mm] f^{*}(b^{*})\in A^{*}. [/mm] $"

Verträgt sich das nicht mir meiner Formulierung?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
duale Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 17.01.2015
Autor: angela.h.b.


> Danke für die Antwort!!
>  
> Die Pfeile fasse ich schon als die Menge aller Abbildungen
> auf, also z B der Pfeil von B nach K ist Hom(B,K).
> Also ist b* die Abbildung, die alle Elemente von B nach K
> abb..

Hallo,

es ist [mm] b^{\*} [/mm] eine (!) lineare Abbildung von B nach K abbildet.

Und die Menge dieser Abbildungen ist Hom(B,K). Da sind wir uns einig.

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Also
> B*= Hom(B,K)
>  A* = Hom(A,K)

Ja.

>  
> Meine Auffassung war:
>  Wenn ich alle Abb. A->K nehme, habe ich A*.

Ja.

> Gleichzeitig
> bekomme ich die Menge aller Abb. A->K aber auch über den
> "Umweg f", also wenn ich die Menge aller b* unter f nehme.

Da wäre ich skeptisch.
Wenn ich Dich recht verstehe, erzählst Du mir gerade, daß für jedes [mm] f\in [/mm] Hom(A,B) die durch
[mm] f^{\*}:W^{\*}\to V^{\*} [/mm]
[mm] f^{\*}(b^{\*}):= b^{\*}\circ [/mm] f
definierte Abbildung [mm] f^{\*}\in Hom(W^{\*},V^{\*}) [/mm] surjektiv ist.
Das ist sicher nicht der Fall.
Vielleicht verstehe ich aber auch falsch, was Du sagen möchtest.


> Dann sind alle Abb. A->K entweder zu beschreiben mit a*
> oder mit b* [mm]\circ[/mm] f. Daher schrieb ich a*= b* [mm]\circ[/mm] f

Wie gesagt: [mm] f^{\*} [/mm] ist nicht zwingend surjektiv.

>  
> Du schreibst:
>  "Richtig ist: wenn [mm]b^{*}\in B^{*},[/mm] dann ist
> [mm]f^{*}(b^{*})\in A^{*}. [/mm]"
>  
> Verträgt sich das nicht mir meiner Formulierung?

Nein. Du behauptest, daß man für vorgegebenes f jede Abbildung [mm] a^{\*} [/mm] in Hom(A,K) schreiben kann als  [mm] f^{\*}(b^{\*}). [/mm]
Das ist nicht der Fall.
Richtig ist aber, daß [mm] f^{*}(b^{*})\in A^{*}. [/mm]

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
duale Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Sa 17.01.2015
Autor: eva4eva

Danke, ich akzeptiere das jetzt einfach!

Bezug
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