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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Do 15.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
| Aufgabe | Seien A,B Vektorräume über einem Körper K.
Sei geg. die lin. Abb.
f: A [mm] \to [/mm] B |
Die Abb.
b*: B [mm] \to [/mm] K bildet dann den Dualraum B*.
Die Abb.
a*: A [mm] \to [/mm] K bildet A*.
Die zu f duale Abb. f*: B* [mm] \to [/mm] A*
ordnet dann einer lin. Abb. b* eine lin. Abb. a* zu.
Es ist f*(b*)=b* [mm] \circ [/mm] f .
Stimmt das soweit?
Kann ich daraus folgern, dass a*=b* [mm] \circ [/mm] f ?
Ich habe mir ein Diagramm dazu gezeichnet und da sieht es so aus:
Der Pfeil von A nach K ist ja der Dualraum mit den Abbildungen a* und gleichzeitig über die Verknüpfng von f und b* zu erhalten.
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> Seien A,B Vektorräume über einem Körper K.
> Sei geg. die lin. Abb.
>
> f: A [mm]\to[/mm] B
Hallo,
die dazu duale Abbildung [mm] f^{\*} [/mm] ist
[mm] f^{\*}:B^{\*}\to A^{\*}
[/mm]
mit
[mm] f^{\*}(b^{\*}):=b^{\*}\circ [/mm] f für alle [mm] b^{\*}\in B^{*\}.
[/mm]
Was macht [mm] f^{\*}?
[/mm]
[mm] f^{\*} [/mm] ordnet jeder Linearform, die in [mm] B^{\*} [/mm] ist, in der angegebenen Weise eine Linearform aus
[mm] A^{\*} [/mm] zu.
> Die Abb.
>
> b*: B [mm]\to[/mm] K bildet dann den Dualraum B*.
Nein.
[mm] B^{\*} [/mm] ist der Raum, der alle (!) linearen Abbildungen von B nach K enthält:
[mm] B^{\*}:=\{b^{\*}| b^{\*}:B\to K, b^{\*}\quad linear\}
[/mm]
>
> Die Abb.
>
> a*: A [mm]\to[/mm] K bildet A*.
Nein.
[mm] A^{\*} [/mm] ist der Raum, der alle (!) linearen Abbildungen von A nach K enthält.
>
> Die zu f duale Abb. f*: B* [mm]\to[/mm] A*
>
> ordnet dann einer lin. Abb. b* eine lin. Abb. a* zu.
Sie ordnet jeder Linearform [mm] b^{\*} [/mm] aus [mm] B^{\*} [/mm] eine Linearform aus [mm] A^{\*} [/mm] zu.
Und zwar so:
>
> Es ist f*(b*)=b* [mm]\circ[/mm] f .
>
> Stimmt das soweit?
>
> Kann ich daraus folgern, dass a*=b* [mm]\circ[/mm] f ?
Ich weiß nicht genau, was Du damit meinst.
Richtig ist: wenn [mm] b^{\*}\in B^{\*}, [/mm] dann ist [mm] f^{\*}(b^{\*})\in A^{\*}.
[/mm]
> Ich habe mir ein Diagramm dazu gezeichnet und da sieht es
> so aus:
> Der Pfeil von A nach K ist ja der Dualraum
Nein.
A--->K beschreibt dann ein Element des Dualraumes, also eine Linearform.
Der Dualraum enthält alle Linearformen [mm] A\to [/mm] K
> mit den
> Abbildungen a* und gleichzeitig über die Verknüpfng von f
> und b* zu erhalten.
Vielleicht meinst Du es so:
[mm] f^{\*} [/mm] angewendet auf ein Element [mm] b^{\*} [/mm] aus [mm] B^{\*} [/mm] ergibt ein Element aus [mm] A^{\*}.
[/mm]
LG Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 17.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke für die Antwort!!
Die Pfeile fasse ich schon als die Menge aller Abbildungen auf, also z B der Pfeil von B nach K ist Hom(B,K).
Also ist b* die Abbildung, die alle Elemente von B nach K abb..
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also
B*= Hom(B,K)
A* = Hom(A,K)
Meine Auffassung war:
Wenn ich alle Abb. A->K nehme, habe ich A*. Gleichzeitig bekomme ich die Menge aller Abb. A->K aber auch über den "Umweg f", also wenn ich die Menge aller b* unter f nehme. Dann sind alle Abb. A->K entweder zu beschreiben mit a* oder mit b* [mm] \circ [/mm] f. Daher schrieb ich a*= b* [mm] \circ [/mm] f
Du schreibst:
"Richtig ist: wenn $ [mm] b^{*}\in B^{*}, [/mm] $ dann ist $ [mm] f^{*}(b^{*})\in A^{*}. [/mm] $"
Verträgt sich das nicht mir meiner Formulierung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Danke für die Antwort!!
>
> Die Pfeile fasse ich schon als die Menge aller Abbildungen
> auf, also z B der Pfeil von B nach K ist Hom(B,K).
> Also ist b* die Abbildung, die alle Elemente von B nach K
> abb..
Hallo,
es ist [mm] b^{\*} [/mm] eine (!) lineare Abbildung von B nach K abbildet.
Und die Menge dieser Abbildungen ist Hom(B,K). Da sind wir uns einig.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Also
> B*= Hom(B,K)
> A* = Hom(A,K)
Ja.
>
> Meine Auffassung war:
> Wenn ich alle Abb. A->K nehme, habe ich A*.
Ja.
> Gleichzeitig
> bekomme ich die Menge aller Abb. A->K aber auch über den
> "Umweg f", also wenn ich die Menge aller b* unter f nehme.
Da wäre ich skeptisch.
Wenn ich Dich recht verstehe, erzählst Du mir gerade, daß für jedes [mm] f\in [/mm] Hom(A,B) die durch
[mm] f^{\*}:W^{\*}\to V^{\*}
[/mm]
[mm] f^{\*}(b^{\*}):= b^{\*}\circ [/mm] f
definierte Abbildung [mm] f^{\*}\in Hom(W^{\*},V^{\*}) [/mm] surjektiv ist.
Das ist sicher nicht der Fall.
Vielleicht verstehe ich aber auch falsch, was Du sagen möchtest.
> Dann sind alle Abb. A->K entweder zu beschreiben mit a*
> oder mit b* [mm]\circ[/mm] f. Daher schrieb ich a*= b* [mm]\circ[/mm] f
Wie gesagt: [mm] f^{\*} [/mm] ist nicht zwingend surjektiv.
>
> Du schreibst:
> "Richtig ist: wenn [mm]b^{*}\in B^{*},[/mm] dann ist
> [mm]f^{*}(b^{*})\in A^{*}. [/mm]"
>
> Verträgt sich das nicht mir meiner Formulierung?
Nein. Du behauptest, daß man für vorgegebenes f jede Abbildung [mm] a^{\*} [/mm] in Hom(A,K) schreiben kann als [mm] f^{\*}(b^{\*}).
[/mm]
Das ist nicht der Fall.
Richtig ist aber, daß [mm] f^{*}(b^{*})\in A^{*}.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 17.01.2015 | | Autor: | eva4eva |
Danke, ich akzeptiere das jetzt einfach!
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