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Forum "Uni-Lineare Algebra" - duale Basis
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duale Basis: Frage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 07:57 Mi 19.01.2005
Autor: sternchen19.8

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: []Mathe Board
Hab leider noch ne Frage:
Gegeben seien die Basis B = {v1,v2,v3} von [mm] R^3=V [/mm] mit
V1=(1,-1,3)
V2=(0,1,-1)
V3=(0,3,-2).
Als Aufgabe ist jetzt gestellt, das wir die zu B duale Basis {f1,f2,f3} Teilmenge von V* mit ‹fi,vj›= δij bezüglich der kanonischen Basis von V* darstellen sollen.

        
Bezug
duale Basis: Lösung (schaut jemand drüber?)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 20:42 Mi 19.01.2005
Autor: Faenol

Hi !

Dualräume, hmm, das muss ich mir auch immer antun..
Und irgendwie mag es niemand ! *g*

Ich hab mal deine Aufgabe versucht zu lösen, aber alles mit Vorsicht zu genießen:

[mm] v_{1}=e_{1}-e_{2}+3e_{3} [/mm]
[mm] v_{2}=e_{2}-e_{3} [/mm]
[mm] v_{3}=3e_{2}-2e_{3} [/mm]

=> [mm] e_{1}=v_{1}+e_{2}-3e_{3} [/mm]
[mm] e_{2}=v_{2}+e_{3} [/mm]
[mm] e_{3}=\bruch{1}{2}(v_{3}-3e_{2}) [/mm]

Jetzt muss man aber [mm] e_{1}, [/mm] ..., [mm] e_{3} [/mm] nur mit hilfe [mm] v_{1},...,v_{3} [/mm] ausdrücken (muss ja möglich sein, da [mm] v_{1},...,v_{3} [/mm] eine Basis ist).

Dann kommt man zu:
I) [mm] e_{1}=v_{1}+13v_{2}-4e_{3} [/mm]
II) [mm] e_{2}=-5v_{2}+2e_{2} [/mm]
III) [mm] e_{3}=-6v_{2}+3e_{3} [/mm]

[mm] [/mm]
Einsetzen von I)
[mm] [/mm]
Add.Linearität im zweiten Argument ausnutzen
=
[mm] ++=1 [/mm]
[mm] =0 [/mm]
[mm] 0 [/mm]

[mm] =13 [/mm]
[mm] =-5 [/mm] (Komplex-Konjugierte einer reellen Zahl ist die Zahl selbst) (skalare Linearität auch im zweiten Argument)
[mm] =-6 [/mm]

[mm] =-4 [/mm]
[mm] =2 [/mm]
[mm] =2 [/mm]

[mm] f_{i} \in [/mm] V*, also darstellbar durch die Basen:
[mm] e^{*}_{1},e^{*}_{2},e^{*}_{3} [/mm] (kanonische Basen von V*)
[mm] f_{1}= \lambda_{1}e^{*}_{1}+ \lambda_{2}e^{*}_{2}+\lambda_{3}e^{*}_{3} [/mm]

Es gilt aber [mm] \lambda_{1}= [/mm]
Daher sind das die Koeffizienten, die wir gerade ausgerechnet haben !

[mm] f_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] f_{2}= \vektor{13 \\ -5 \\ -6} [/mm]
[mm] f_{3}= \vektor{-4 \\ 2 \\ 2} [/mm]

Das wäre die Darstellung zu der kanonische Basis von V*, meiner Meinung nach..

Hoffe, hab mich net verrechnet,....

Kannst du bitte ein Feeback geben, wie ihr das gelöst habt ?
Wäre daran interssiert.

Faenôl


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Bezug
duale Basis: Nachprüfung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Sa 22.01.2005
Autor: MathePower

Hallo Faenol,

offensichtlich haben sich in Deiner Rechnung ein paar Fehler eingeschlichen.

Der erste ist schon bei der Darstellung der [mm]e_{i}[/mm] passiert.

Ich frage mich, wie Du zu der kanonischen Basis, eine duale Basis bestimmen willst.

Gruß
MathePower

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Bezug
duale Basis: Vorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Sa 22.01.2005
Autor: MathePower

Hallo,

die Bedingung für eine duale Basis kann etwas anders geschrieben:

[mm]\left( {B^{D} } \right)^{T} \;B\; = \;I[/mm], wobei [mm]\left( {B^{D} } \right)[/mm] die zu bestimmende duale Basis zu der gegebenen Basis B ist.

Daraus folgt dann, dass für [mm]\left( {B^{D} } \right)[/mm]  gilt:

[mm]B^{D} \; = \;\left( {B^{ - 1} } \right)^{T}[/mm]

Hier ist

[mm]B\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ { - 1} & 1 & 3 \\ 3 & { - 1} & { - 2} \\ \end{array} } \right)[/mm]

Daraus folgt:

[mm]B^{D} \; = \;\left( {B^{ - 1} } \right)^T \; = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 7 & { - 2} \\ 0 & { - 2} & 1 \\ 0 & { - 3} & 1 \\ \end{array} } \right)[/mm]

wobei die Spalten von [mm]B^{D}[/mm] als Vektoren zu interpretieren sind.

Gruß
MathePower


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Bezug
duale Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Sa 13.01.2007
Autor: Chichisama

Könnte vielleicht jemand die Aufgabe nochmal "richtig" vorrechnen, damit ich die Methode kenne?
Ich habe eine ähnliche Aufgabe und habe sie nach dem Schema von Faenol gerechnet. War fertig, nur schade, dass ich danach weitergelesen habe und die Rechnung falsch sein soll.
Wie kann man denn eine duale Basis darstellen?

Also ich habe folgende Aufgabe:
B = ((-1,2,1),(1,-1,-1),(0,-2,1)) Basis von [mm] \IR^3. [/mm] Zu bestimmen ist die duale Basis  B*.
Da habe ich nach der "falschen" Methode" folgendes raus:
(1,-1,1), (-2,-3,-1), (3,2,2)

Bin für jede Hilfe echt dankbar!

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Bezug
duale Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 13.01.2007
Autor: der_emu

Schau dir das mal, evtl. ist es hilfreich...


http://www.unet.univie.ac.at/~a0307893/Repetitorium/2007-01-11.pdf

Bezug
                                                
Bezug
duale Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 So 14.01.2007
Autor: Chichisama

Vielen Dank! Das hilft mir tatsächlich!


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