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duale Basis, äußeres Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 So 18.09.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Sei [mm] $e_1,\dotso, e_k$ [/mm] die kanonische Basis des [mm] $\mathbb{R}^k$ [/mm] und [mm] $\delta^1,\dotso, \delta^k$ [/mm] die dazu duale Basis von [mm] $\mathbb{R}^{k\ast}=Alt^1\mathbb{R}^k$, [/mm] so gilt:

[mm] $\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k(e_1,\dotso,e_k)=1$ [/mm] für alle [mm] $k\geq [/mm] 1$.


Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aussage und wie man sie beweisen kann.
Die Aussage scheint trivial zu sein, ich würde sie dennoch gerne Formal beweisen.

Probiert habe ich eine Induktion.

Für k=1 haben wir [mm] $\delta^1(e_1)=1$ [/mm] nach Definition der dualen Basis.

Der Induktionsschritt:

[mm] $\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k\wedge\delta^{k+1}(e_1,\dotso,e_k,e_{k+1})$ [/mm]

Die [mm] $\delta^i$ [/mm] müssten alle 0-Formen sein, richtig?

Nach Definition des äußeren Produktes (und da dieses assoziativ ist) gilt nun

[mm] $\sum_{\sigma\in S_0} sgn(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k)\wedge\delta^{k+1}_\sigma(e_{k+1})=(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_1,\dotso,e_k)\wedge\delta^{k+1}(e_{k+1})$ [/mm]

mit der Definition der dualen Basis und der Induktionsvoraussetzung folgt die Behauptung.


Über Anmerkungen würde ich mich sehr freuen.

mfg

        
Bezug
duale Basis, äußeres Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Mo 19.09.2016
Autor: huddel


> Sei [mm]e_1,\dotso, e_k[/mm] die kanonische Basis des [mm]\mathbb{R}^k[/mm]
> und [mm]\delta^1,\dotso, \delta^k[/mm] die dazu duale Basis von
> [mm]\mathbb{R}^{k\ast}=Alt^1\mathbb{R}^k[/mm], so gilt:
>  
> [mm]\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k(e_1,\dotso,e_k)=1[/mm] für
> alle [mm]k\geq 1[/mm].
>  
> Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aussage und wie man sie
> beweisen kann.
>  Die Aussage scheint trivial zu sein, ich würde sie
> dennoch gerne Formal beweisen.
>  
> Probiert habe ich eine Induktion.
>  
> Für k=1 haben wir [mm]\delta^1(e_1)=1[/mm] nach Definition der
> dualen Basis.
>  
> Der Induktionsschritt:
>  
> [mm]\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k\wedge\delta^{k+1}(e_1,\dotso,e_k,e_{k+1})[/mm]
>  
> Die [mm]\delta^i[/mm] müssten alle 0-Formen sein, richtig?
>  
> Nach Definition des äußeren Produktes (und da dieses
> assoziativ ist) gilt nun

>

> [mm]\sum_{\sigma\in S_0} sgn(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k)\wedge\delta^{k+1}_\sigma(e_{k+1})=(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_1,\dotso,e_k)\wedge\delta^{k+1}(e_{k+1})[/mm]

hm, gefällt mir nicht so... aber kann sein, dass ich deinen Gedankengang nicht richtig verstanden hab. Ich denke [mm] $S_0$ [/mm] sollte [mm] $S_{k+1}$ [/mm] sein (gut konventionssache) und was [mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k)$ [/mm] genau sein soll ist mir nicht so klar (vllt. auch konventionssache), was aber nicht passt, dass du [mm] $(\delta_1\wedge\dotso\wedge\delta_k)$ [/mm] in der Summe mit [mm] $\delta_{k+1}$ [/mm] "verwegdgst". Die Definition wäre:

[mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)\wedge\delta^{k+1}(e_1,\dotso,e_k,e_{k+1}) [/mm] = [mm] \sum_{\sigma\in S_{k+1}} sgn(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)})\cdot\delta^{k+1}_\sigma(e_{\sigma(k+1)})$ [/mm]

So, die Frage ist nun, was ist [mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)})$ [/mm] für die einzelnen [mm] $\sigma$ [/mm] (nach Induktionsvorraussetzung)?

> mit der Definition der dualen Basis und der
> Induktionsvoraussetzung folgt die Behauptung.
>  
>
> Über Anmerkungen würde ich mich sehr freuen.
>  
> mfg


Bezug
                
Bezug
duale Basis, äußeres Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 19.09.2016
Autor: impliziteFunktion

Danke für deine Rückmeldung.

Ich dachte [mm] $S_0$, [/mm] da wir hier 0-Formen haben.
Ich dachte deshalb wird die Summe nur über einen Summanden gebildet, weil [mm] $S_0$ [/mm] nur die identische Abbildung $id$ enthält.

> So, die Frage ist nun, was ist $ [mm] (\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)}) [/mm] $ für die einzelnen $ [mm] \sigma [/mm] $ (nach Induktionsvorraussetzung)?

Für [mm] $\sigma=id$ [/mm] ist der Term 1 (nach I.V). Für jede andere Permutation Null.

Edit:

> und was $ [mm] (\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k) [/mm] $ genau sein soll ist mir nicht so klar

Ich benutze die Konvention

[mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k):=(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)}) [/mm] $

Bezug
                        
Bezug
duale Basis, äußeres Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Di 20.09.2016
Autor: huddel


> Danke für deine Rückmeldung.
>  
> Ich dachte [mm]S_0[/mm], da wir hier 0-Formen haben.
>  Ich dachte deshalb wird die Summe nur über einen
> Summanden gebildet, weil [mm]S_0[/mm] nur die identische Abbildung
> [mm]id[/mm] enthält.

oh, die frage hatte ich in deinem ersten Post übersehen, sorry. Wie kommst du darauf, dass das $0$-Formen sind?
[mm] $\delta^i$ [/mm] ist für alle $i$ eine lineare Abbildung. Damit ist dies was für eine Form?
Wenn wir nun eine $p$-Form $f$ und eine $q$-Form $g$ haben, was ist dann [mm] $f\wedge [/mm] g$ für eine Form?

EDIT: Fun fact:guck dir mal die Definition der Determinante an und vergleich mal.

Was eine $0$-Form in diesem Zusammenhang ist, wüsste ich nichtmal. Man bezeichnet glatte Funktionen auf einer offenen Menge $U$ einer Mannigfaltigkeit als $0$-Formen, aber das hat hiermit erstmal nichts zu tun, da in diesem Kontext auch $1$-Formen etwas anderes sind :D

> > So, die Frage ist nun, was ist [mm](\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)})[/mm] für die einzelnen [mm]\sigma[/mm] (nach Induktionsvorraussetzung)?
>
> Für [mm]\sigma=id[/mm] ist der Term 1 (nach I.V). Für jede andere
> Permutation Null.

top

> Edit:
>  
> > und was [mm](\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k)[/mm] genau sein soll ist mir nicht so klar
>  
> Ich benutze die Konvention
>
> [mm](\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)_{\sigma}(e_1,\dotso,e_k):=(\delta^1\wedge\dotso\wedge \delta^k)(e_{\sigma(1)},\dotso,e_{\sigma(k)})[/mm]

das dachte ich mir schon, nachdem ich meine Antwort abgeschickt hatte :D


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duale Basis, äußeres Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 20.09.2016
Autor: impliziteFunktion


> Wie kommst du darauf, dass das $ 0 $-Formen sind?

Die [mm] $\delta^i$ [/mm] sind ja jeweils die duale Basis. Also eine lineare Abbildung in einen Körper [mm] $\mathbb{K}$. [/mm] Ich dachte eine k-Form ist k-dimensional, und weil es sich um Körperelemente handelt wären es 0-Formen.

> Wenn wir nun eine $ p $-Form $ f $ und eine $ q $-Form $ g $ haben, was ist dann $ [mm] f\wedge [/mm] g $ für eine Form?

Eine (p+q)-Form.

> Für $ [mm] \sigma=id [/mm] $ ist der Term 1 (nach I.V). Für jede andere
> Permutation Null.

Doch wie begründet man, dass für jede andere Permutation der Term Null ist?
Ich denke das liegt daran, weil die duale Basis gerade so definiert ist, oder?


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duale Basis, äußeres Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mi 21.09.2016
Autor: huddel


> > Wie kommst du darauf, dass das [mm]0 [/mm]-Formen sind?
>
> Die [mm]\delta^i[/mm] sind ja jeweils die duale Basis. Also eine
> lineare Abbildung in einen Körper [mm]\mathbb{K}[/mm]. Ich dachte
> eine k-Form ist k-dimensional, und weil es sich um
> Körperelemente handelt wären es 0-Formen.

Guter Gedanken, aber es geht eher um folgendes:

Betrachten wir einen Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraume $V_i$, $i=1,\dotso [/mm] ,p$, dann ist ja eine $p$-Multilinearform auf diesen [mm] $V_i$ [/mm] eine Abbildung

[mm] $\omega \colon V_1\times\dotso\times V_p \to \mathbb{K}$ [/mm]
[mm] $(v_1,\dotso ,v_p) \mapsto \omega(v_1,\dotso ,v_p)$ [/mm]

die in jeder Komponente linear ist.
Das heißt, Multilinearformen gehen immer in den zugrundeliegenden Körper (ja ich weiß, man kann das auch verallgemeinern...).
Wenn nun [mm] $V_1 [/mm] = [mm] \dotso [/mm] = [mm] V_p [/mm] = V$ ist gilt bei $p$-Formen, wie wir sie nun oben betrachtet haben, nur noch zusätzlich, dass diese alternierend sind.

> > Wenn wir nun eine [mm]p [/mm]-Form [mm]f[/mm] und eine [mm]q [/mm]-Form [mm]g[/mm] haben, was
> ist dann [mm]f\wedge g[/mm] für eine Form?
>
> Eine (p+q)-Form.

>

> > Für [mm]\sigma=id[/mm] ist der Term 1 (nach I.V). Für jede andere
> > Permutation Null.
>
> Doch wie begründet man, dass für jede andere Permutation
> der Term Null ist?
>  Ich denke das liegt daran, weil die duale Basis gerade so
> definiert ist, oder?

Achso, ja davon sollte man nicht direkt ausgehen, da hast du recht und das stimmt so auch nicht. Dass wenn wir in [mm] $\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k$ [/mm] mit unter ein [mm] $e_{k+n}$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] 1$ einsetzen, das $0$ ist, ist denke ich klar. Das lässt sich auch recht einfach zeigen. Das heißt wir betrachten in unserer Summe nur noch die [mm] $\sigma \in S_{k+1}$ [/mm] die $k+1$ auf $k+1$ abbilden. Das lässt sich jedoch mit [mm] $S_k$ [/mm] identifizieren. [mm] $S_k$ [/mm] hat $k!$ viele Elemente und wir wissen, dass [mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wegde\delta^k)_\sigma(e_1,\dotso ,e_k) [/mm] = [mm] sign(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wegde\delta^k)(e_1,\dotso ,e_k)$ [/mm] (vllt. nochmal kurz überlegen, folgt aus der Defintion).
Jetzt erklärt sich auch das [mm] $\frac{1}{k!}$ [/mm] was ich die ganze zeit vergessen hab (hattet ihr das nicht auch irgendwo mit drin?).
Wir haben nun
[mm] $\frac{1}{k!\cdot 1!}\sum_{\sigma \in S_{k+1}}sign(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)_\sigma(e_1,\dotso ,e_k)\cdot\delta^{k+1}(e_{\sigma(k+1)}) [/mm] = [mm] \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_{k}}sign(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)_\sigma(e_1,\dotso ,e_k)\cdot\delta^{k+1}(e_{k+1}) [/mm] = $

So jetzt du


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duale Basis, äußeres Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Mi 21.09.2016
Autor: impliziteFunktion


> Jetzt erklärt sich auch das $ [mm] \frac{1}{k!} [/mm] $ was ich die ganze zeit vergessen hab (hattet ihr das nicht auch irgendwo mit drin?).

Ja, wie gesagt bin ich hier die ganze Zeit von k=0 ausgegangen, weshalb ich den Vorfaktor nicht aufgeführt habe.

[mm] $\frac{1}{k!\cdot 1!}\sum_{\sigma \in S_{k+1}}sign(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)_\sigma(e_1,\dotso ,e_k)\cdot\delta^{k+1}(e_{\sigma(k+1)}) [/mm] = [mm] \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_{k}}sign(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)_\sigma(e_1,\dotso ,e_k)\cdot\delta^{k+1}(e_{k+1}) [/mm]
[mm] =\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k} sgn(\sigma)sgn(\sigma)(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)(e_1,\dotso, e_k)\delta^{k+1}(e_{k+1})=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k} 1=\frac{1}{k!}\cdot [/mm] k!$

Wobei [mm] $sgn(\sigma)sgn(\sigma)=1$ [/mm] gilt, für alle [mm] $\sigma$. [/mm]
Ebenso [mm] $(\delta^1\wedge\dotso\wedge\delta^k)(e_1,\dotso, e_k)=1$ [/mm] nach I.V. und [mm] $\delta^{k+1}(e_{k+1})=1$ [/mm] nach Definition der dualen Basis, richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
duale Basis, äußeres Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Mi 21.09.2016
Autor: huddel

top :)

Bezug
                                                                
Bezug
duale Basis, äußeres Produkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Mi 21.09.2016
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank.

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