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Hallo ihr.
Ich habe folgendes:
Sei (X,d) metrsicher Raum mit der durch die Metrik induzierte Topologie.
Zeigen sie: [mm] \forall x_0 \in [/mm] X [mm] :x\mapsto d(x_0,x) [/mm] ist stetig.
Ich weiß, dass eine Abbildung zwischen Metrsichen Räumen stetig sit, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind, aber ich weiß nicht wie ich da dran gehe.
Kann mir evtl jemand helfen?
Lg Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 23.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
eine abbildung ist doch in dieser (von der metik induzierten) topologie genau dann stetig wenn sie steteig bezüglich der metrik ist und das ist hier sehr viel leichter nachzuprüfen. dazu muss du nur die "umgekehrte dreiecksungleichung" anwenden.
grüße
andreas
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Hey danke schonmal für die schnell Antwort!
ich weiß was die Dreiecksungleichung ist, aber was soll ich hier mit der umgekehrten Dreiecksungleichung anfangen?
[mm] d(x,x_0)\le d(x,z)+d(z,x_0), [/mm] gilt doch oder?
Wahrscheinlich muss man [mm] d(x,x_0) [/mm] so auseinanderziehen, dass man die dreiecksungleichung anwenden kann, oder? [mm] d(x_0,x)+d(x,x)\ge d(x_0,x), [/mm] aber erstens weiß ich nicht obs stimmt und ob es hilft!
Hoffe mir kann da noch jemand helfen..
Lg sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 24.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Sandra!
> ich weiß was die Dreiecksungleichung ist, aber was soll ich
> hier mit der umgekehrten Dreiecksungleichung anfangen?
Stetigkeit einer Funktion bedeutet doch, daß die Funktionswerte, also die Bilder, dicht beieinander liegen, wenn nur die Argumente hinreichend nahe beieinander sind. [mm] x_{0} [/mm] ist ein beliebiger, aber fester Punkt in deinem metrischen Raum. x und y seien jetzt 2 Argumente. Dann sind die Bilder [mm] d(x_{0}, [/mm] x) und [mm] d(x_{0}, [/mm] y) reelle Zahlen. Ihr Abstand ist [mm] |d(x_{0}, [/mm] x) - [mm] d(x_{0}, [/mm] y)|. Der Abstand der Argumente ist natürlich d(x, y). Und damit beginnt die Abschätzerei. Fang mal an! Vielleicht machst du vorher auch noch eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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