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Forum "Differenzialrechnung" - dx/dy impliziter Darstelllung
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dx/dy impliziter Darstelllung: dx/dy und d²y/dx²
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Di 07.04.2015
Autor: defjam123

Aufgabe
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}} [/mm] im Punkt P(-1;1) für Funktion mit der implizierten Darstellung [mm] x^{2}y+3y-4=0 [/mm] bestimmen

Hey!

Ich hab die Aufgabe jetzt wie folgt gelöst:

[mm] x^{2}y+3y-4=0 [/mm]

[mm] y=\bruch{4}{x^{2}+3} [/mm] //umgeformt in explizite Darstellung

[mm] f'(x)=-8x(x^{2}+3)^{-2} [/mm] // Ableitung mithilfe der Kettenregel

Quotientenregel  für die zweite Ableitung:

u=-8x; u'=-8; [mm] v=(x^{2}+3)^{2}; v'=4x(x^{2}+3) [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{24(x^{2}-1)}{(x^{2}+3)^{3}} [/mm]

Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
Was soll ich denn mit dem gegeben Punkt machen?

Lieben Gruß




        
Bezug
dx/dy impliziter Darstelllung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 07.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] und [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] im Punkt P(-1;1)
> für Funktion mit der implizierten Darstellung
> [mm]x^{2}y+3y-4=0[/mm] bestimmen
>  Hey!
>  
> Ich hab die Aufgabe jetzt wie folgt gelöst:
>  
> [mm]x^{2}y+3y-4=0[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{4}{x^{2}+3}[/mm] //umgeformt in explizite Darstellung
>
> [mm]f'(x)=-8x(x^{2}+3)^{-2}[/mm] // Ableitung mithilfe der
> Kettenregel
>  
> Quotientenregel  für die zweite Ableitung:
>  
> u=-8x; u'=-8; [mm]v=(x^{2}+3)^{2}; v'=4x(x^{2}+3)[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{24(x^{2}-1)}{(x^{2}+3)^{3}}[/mm]
>  
> Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
>  Was soll ich denn mit dem gegeben Punkt machen?

was Du gemacht hast ist mathematisch nicht falsch, im Sinne des Aufgabenstellers war aber vermutlich, dass Du auch die Ableitung in impliziter Form angibst. Siehe []hier.
Dann brauchst Du auch die Angabe eines Punktes, statt nur der Angabe einer x-Koordinate.

>  
> Lieben Gruß
>  
>
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
dx/dy impliziter Darstelllung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mi 08.04.2015
Autor: defjam123

Danke,

dann geben wir mal die Ableitungen in impliziter Form an:

Für die erste Ableitung:

[mm] \bruch{d}{dx}[F(x;y)]=\bruch{d}{dx}(x^{2}y+3y-4)=0 [/mm]

[mm] =2xy+x^{2}y'+3y'=0 [/mm]

[mm] y'=-\bruch{2xy}{x^{2}+3} [/mm]

[mm] (y')_{P}=\bruch{1}{2} [/mm]

Für die zweite Ableitung:

[mm] =\bruch{d}{dx}(2xy+x^{2}y'+3y')=0 [/mm]

[mm] =2y+2xy'+2xy'+x^{2}y''+3y''=0 [/mm]

[mm] y''=-\bruch{2y+4xy'}{x^{2}+3} [/mm]

[mm] (y'')_{P}=-\bruch{0}{4} [/mm] ???? Wie kann ich dieses Ergebnis interpretieren.

Ist die Aufgabe so richtig gelöst, bzw stimmen die Ergebnisse von mir?

Lieben Gruß






Bezug
                        
Bezug
dx/dy impliziter Darstelllung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Mi 08.04.2015
Autor: fred97


> Danke,
>  
> dann geben wir mal die Ableitungen in impliziter Form an:
>  
> Für die erste Ableitung:
>  
> [mm]\bruch{d}{dx}[F(x;y)]=\bruch{d}{dx}(x^{2}y+3y-4)=0[/mm]
>  
> [mm]=2xy+x^{2}y'+3y'=0[/mm]
>  
> [mm]y'=-\bruch{2xy}{x^{2}+3}[/mm]
>  
> [mm](y')_{P}=\bruch{1}{2}[/mm]

Hier meinst Du wohl

   [mm] y'(-1)=\bruch{1}{2}. [/mm]



>  
> Für die zweite Ableitung:
>  
> [mm]=\bruch{d}{dx}(2xy+x^{2}y'+3y')=0[/mm]
>  
> [mm]=2y+2xy'+2xy'+x^{2}y''+3y''=0[/mm]
>  
> [mm]y''=-\bruch{2y+4xy'}{x^{2}+3}[/mm]
>  
> [mm](y'')_{P}=-\bruch{0}{4}[/mm]

Hier meinst Du sicher

[mm]y''(-1)=-\bruch{0}{4}=0[/mm]


> ???? Wie kann ich dieses Ergebnis
> interpretieren.


Es ist halt [mm]y''(-1)=0[/mm]



>  
> Ist die Aufgabe so richtig gelöst, bzw stimmen die
> Ergebnisse von mir?


Ja.

FRED

>  
> Lieben Gruß
>  
>
>
>
>  


Bezug
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