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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 05.01.2005 | | Autor: | VHN |
Guten Abend an alle!
Ich will hier eine Aufgabe lösen, aber ich komm nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Das ist die Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ e^{-x}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1 + [mm] \bruch{x}{4} [/mm] + o(x)) für x [mm] \to [/mm] 0.
Und das ist mein Ansatz:
[mm] e^{-x} [/mm] = 1 - x + o(x)
[mm] \wurzel{1+ e^{-x}} [/mm] = [mm] \wurzel{1+1 - x + o(x)} [/mm] = [mm] \wurzel{1+1 - x + o(x)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2 - x + o(x)} [/mm] = [mm] \wurzel{2(1- \bruch{x}{2} + o(x))}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} \wurzel{1- \bruch{x}{2} + o(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ e^{-x}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \bruch{1}{\wurzel{1- \bruch{x}{2} + o(x)}} [/mm]
Ab hier komm ich irgendwie nicht mehr weiter. Ich hab versucht, das hier anzuwenden
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] = 1 - x + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] o(x^{2}) [/mm] (*)
aber ich weiß nicht wie. In einer ähnlichen Aufgabe wurde das nämlich verwendet, obwohl ich das auch nicht verstanden habe. Und zwar so:
[mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{1+ \bruch{x}{2} + o(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1 [mm] -\bruch{x}{2} [/mm] + o(x) + [mm] o(\bruch{x}{2} [/mm] + o(x)))
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x}{4} [/mm] + o(x)
Das hat man rausbekommen, wenn man (*) verwendet hat. Ich versteh aber nicht, wie man auf den Term nach dem ersten "=" kommt.
Bitte helft mir weiter, meine Aufgabe oben zu lösen! Vielen Dank!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hier kommst du wohl endgültig um den satz von taylor nicht mehr herum. ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr solche aufgaben gestellt kriegt und den satz von taylor nicht hattet!
dieser besagt - in vereinfachter form:
sei [m]f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} [/m] und in [m] 0 [/m] $m$-fach differenzierbar, so gilt
[m] f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{ f''(0)}{2!}x^2 + \frac{ f'''(0)}{3!}x^3 + \hdots + \frac{ f^{(m)}(0)}{m!}x^m + o(x^m) [/m]
für [m] x \to 0 [/m].
hier interessierst du dich für den fall [m] m = 1 [/m] und die funktion ist bestimmt einmal differenzierbar und es gilt [m] f'(x) = \frac{e^{-x}}{2\sqrt{1 + e^{-x}}^3} [/m] und damit [m] f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} [/m] und [m] f'(0) = \frac{\sqrt{2}}{8} [/m]. wenn du dies nun in obige formel einsetzt erhälst du das gewünschte.
> Guten Abend an alle!
>
> Ich will hier eine Aufgabe lösen, aber ich komm nicht
> weiter. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
>
> Das ist die Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+ e^{-x}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] (1 +
> [mm]\bruch{x}{4}[/mm] + o(x)) für x [mm]\to[/mm] 0.
>
> Und das ist mein Ansatz:
> [mm]e^{-x}[/mm] = 1 - x + o(x)
>
> [mm]\wurzel{1+ e^{-x}}[/mm] = [mm]\wurzel{1+1 - x + o(x)}[/mm] = [mm]\wurzel{1+1 - x + o(x)}
[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{2 - x + o(x)}[/mm] = [mm]\wurzel{2(1- \bruch{x}{2} + o(x))}
[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{2} \wurzel{1- \bruch{x}{2} + o(x)}
[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+ e^{-x}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \bruch{1}{\wurzel{1- \bruch{x}{2} + o(x)}}[/mm]
>
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> Ab hier komm ich irgendwie nicht mehr weiter. Ich hab
> versucht, das hier anzuwenden
>
> [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm] = 1 - x + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]o(x^{2})[/mm] (*)
>
> aber ich weiß nicht wie. In einer ähnlichen Aufgabe wurde
> das nämlich verwendet, obwohl ich das auch nicht verstanden
> habe. Und zwar so:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1}{1+ \bruch{x}{2} + o(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (1 [mm]-\bruch{x}{2}[/mm] + o(x) + [mm]o(\bruch{x}{2}[/mm] +
> o(x)))
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{x}{4}[/mm] + o(x)
>
> Das hat man rausbekommen, wenn man (*) verwendet hat. Ich
> versteh aber nicht, wie man auf den Term nach dem ersten
> "=" kommt.
ich denke hier wurde statt [mm]\bruch{1}{1+x}= 1 - x + x^{2} + o(x^{2})[/mm] nur [mm]\bruch{1}{1+x} = 1 - x + o(x)[/mm] verwendet, also einen term früher schon abgebrochen. wenn man hier $x$ z.b. in $u$ umbenennt, also [mm]\bruch{1}{1+u} = 1 - u + o(u)[/mm] betrachtet und dabei in [mm] \bruch{1}{1+ \bruch{x}{2} + o(x)}[/mm] [m] u = \frac{x}{2} + o(x) [/m] setzt hat man einen term der form, wie er oben auf der linken seite steht. rechnet man das dann konsequent durch, also man ersetzt auf der rechten seite in der formel auch überall [m] u = \frac{x}{2} + o(x) [/m], erhält man das von dir angebene resultat!
um soetwas hier anwenden zu können, brauchst du eine entwicklung für die funktion [m] \frac{1}{\sqrt{1 + x}} [/m] an der stelle [m] x = 1 [/m]. habt ihr den sowas?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Do 06.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Andreas!
Nochmals danke für deine Hilfe. Ich hab verstanden, was du mir erklärt hast und hab die Aufgabe lösen können.
Wir haben wirklich den Satz von Taylor noch nicht in der Vorlesung durchgenommen und dürfen ihn von daher auch nicht anwenden, um Aufgaben zu lösen. Es sei denn, wir beweisen ihn vorher, dass er gilt. 
Ich hab versucht, die Aufgabe anders anzupacken, ich bin nämlich "zu Fuß" gegangen.
Erst mal eine Frage am Anfang:
Wenn ich weiß, dass
[mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] = 1-x+o(x) für x [mm] \to [/mm] 0 (*)
gilt, gilt dann auch automatisch
[mm] \wurzel{\bruch{1}{1+x}} [/mm] = [mm] \wurzel{1-x+o(x)} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 ?
Das hab ich nämlich verwendet, und zwar so:
[mm] e^{-x} [/mm] = 1-x+o(x)
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+e^{-x}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{1+e^{-x}}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{1}{1+1-x+o(x)}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{1}{2(1-\bruch{x}{2}+o(x))}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \wurzel{\bruch{1}{1-\bruch{x}{2}+o(x)}}
[/mm]
Jetzt substituiere ich: u = [mm] -\bruch{x}{2}+o(x)
[/mm]
Dann:
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \wurzel{\bruch{1}{1+u}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \wurzel{1-u+o(u)} [/mm] nach (*) siehe oben
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \wurzel{1+\bruch{x}{2}+o(x)+o(-\bruch{x}{2}+o(x))} [/mm] (einsetzen von u)
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \wurzel{1+\bruch{x}{2}+o(x)} [/mm] (nach ewigem Umformen)
Na ja, und hier komm ich nicht weiter. Vielleicht hast du meinen Fehler entdeckt, oder (*) war schon falsch. Ich weiß es nicht.
Danke für deine Mühe.
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Do 13.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hi
Du brauchst mit deinem Ansatz nur noch: [mm] \wurzel{1+x} [/mm] =1+ [mm] \bruch{x}{2} [/mm] +o(x), was du leicht durch quadrieren der beiden Seiten zeigen kannst.
nebenbei auch ein guter Trick um Wurzeln auszurechnen
[mm] \wurzel{101} [/mm] = [mm] \wurzel{100}+ \bruch{1}{2* \wurzel{100}}
[/mm]
hoffentlich hilfts
leduart
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