e-Funktion aufleiten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Fr 21.04.2006 | | Autor: | logi |
| Aufgabe | | Folgende e-Funktion soll aufgeleitet werden: [mm] e^{-tx} [/mm] |
Habe die Lösung [mm] \bruch{1}{-t} [/mm] * [mm] e^{-tx} [/mm] vorliegen. Leider weiss ich nicht, wie man auf die [mm] \bruch{1}{-t} [/mm] kommt. Bitte um Hilfe - Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Nur schon durch einfaches Überlegen, kann man darauf kommen. Wenn du eine Aufleitung zur Funktion [mm] $e^{-tx}$ [/mm] suchst, dann musst du überlegen, welche Funktion eben diese Ableitung besitzt.
Nun weißt du durch die Kettenregel, dass [mm] $e^{-tx}$, [/mm] wie folgt abgeleitet wird:
[mm] $f_t(x)=e^{-tx}$ [/mm]
[mm] $f'_t(x)=-t*ln(e)*e^{-tx}$
[/mm]
Warum ist das wichtig? Man sieht, dass bei der Ableitung einer Exponentialfunktion eben diese in der Ableitung bestehen bleibt, also sie verschwindet nicht. Somit musst du schauen, bei welcher Funktion bei der Berechnung der Ableitung das -t wegfällt. Eben so, dass dann nur noch [mm] $1*e^{-tx}$ [/mm] dort steht.
Dies erfüllt der konstante Faktor [mm] $\bruch{1}{-t}$. [/mm] Ich hoffe, ich habe das jetzt nicht zu kompliziert ausgedrückt - ich tue mich manchmal etwas schwer.
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Fr 21.04.2006 | | Autor: | logi |
| Aufgabe | Danke erstmal für deine Hilfe. Soweit hab ich jetzt verstanden, wie ich auf die Aufleitung kommen. Habe nur noch ein Problem.
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Wenn ich [mm] e^{-tx} [/mm] aufleite, hatte ich angenommen, dass ich auf -t * [mm] e^{-tx} [/mm] komme. Ich bilde ja die äußere Ableitung, die dann -t ist, weil -tx fällt ja in der Ableitung das x weg und dann bleibt die innere Ableitung stehen. Was ist dann das ln(e), welches du angeführt hast und wo liegt mein Fehler???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Als Erstes:
$ln(e)=1$, als muss man es nicht extra aufschreiben.
Als Zweites:
Ich versuche dir das noch einmal auf eine andere Art und Weise zu erklären.
Wir haben also eine Funktion [mm] $f_t(x)=e^{-tx}$ [/mm] und suchen ihre Aufleitung. Diese Aufleitung [mm] ($F_t$) [/mm] hat die Form [mm] $F_t(x)=a*e^{-tx}$.
[/mm]
Jetzt ist die spannende Frage, wie das $a$ aussehen muss, damit bei der Ableitung von [mm] $F_t$ [/mm] die Funktion [mm] $f_t$ [/mm] herauskommt.
Leiten wir doch einfach mal [mm] $F_t$ [/mm] ab:
[mm] $F_t(x)=a*e^{-tx}$
[/mm]
[mm] $F'_t(x)=a*(-t)*e^{-tx}$
[/mm]
So, jetzt können wir erkennen, dass das Produkt $a*(-t)=1$ sein muss, damit wir unsere Funktion [mm] $f_t$ [/mm] erhalten. Dann lösen wir die Gleichung mal auf:
$a*(-t)=1$
$a [mm] =\bruch{1}{-t}$
[/mm]
Nun setzen wir dieses $a$ einfach in $F'_t(x)$ ein:
[mm] $F'_t(x)=\bruch{1}{-t}*(-t)*e^{-tx}=\bruch{-t}{-t}*e^{-tx}=1*e^{-tx}=f_t(x)$
[/mm]
Also ist die Aufleitung, die wir suchen:
[mm] $F_t(x)=\bruch{1}{-t}*e^{-tx}$
[/mm]
Hoffe, jetzt ist es verständlich!
Liebe Grüße
Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Fr 21.04.2006 | | Autor: | logi |
Bei manchen dauerts länger - jetzt hab ich es - vielen Danke!!!
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