e-Funktion und Ungleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)² [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] ? |
Die Frage erscheint eigentlich einfach, nur habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.
Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und danach mal (-1) gerechnet.
Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel und alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel
oder
Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung
beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.
bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und x2=-3,8326
bei 2.) entweder x [mm] \ge [/mm] -2,1674 oder x [mm] \le [/mm] -2,1674
aber eigentlich muss ja rauskommen:
x [mm] \ge [/mm] -2,1674 oder x [mm] \le-3,8326
[/mm]
Vielen Dank im Vorraus!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:58 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Arkus |
Hi Jette87
so wie ich das sehe stimmt doch alles :-?
ich komme auf
[mm] $-3+\sqrt{ln2} \ge [/mm] x$ und
[mm] $-3-\sqrt{ln2} \ge [/mm] x$
sprich:
$-2,17 [mm] \ge [/mm] x$ und
$-3,8 [mm] \ge [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \le [/mm] -3,8$ (bildhaft gesehen umdrehen)
das verpacke ich in eine form und erhalte:
$-2,17 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] -3,8$
MfG Arkus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Ich habe doch in meiner Frage geschrieben, dass die Ungleichung für
x [mm] \ge [/mm] -2,1674 und x [mm] \le [/mm] -3,8326 gilt und nicht für was anderes... schaut man sich die Funktion an usw....)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
1. wie kommst du darauf?
und 2. sieht das so aus, als würden gerade diese werte die Ungleichung erfüllen...
und außerdem müsste man das anders hinschreiben, wenn dann:
-3,8 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -2,17...
danke schon mal trotzdem...
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 20:38 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Arkus |
Also zu 1., das steht in meiner ersten Antwort, ich hatte dann bloß eine Zeile entfernt die falsch war und die Umkehrung lieferte.
$ -2,17 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] -3,8 $
In Worten x muss größer oder gleich -2,17 (weiter rechts auf dem Zahlenstrahl) oder kleiner oder gleich -3,8 (weiter links auf dem Zahlenstrahl sein)
Sprich alle Werte zwischen -3,8 und -2,17 erfüllen die Ungleichung nicht. Alle Werte ausserhalb dieses Bereiches erfüllen die Gleichung.
Probe:
-4 (ausserhalb der Tabuzone  ) --> $0,37 [mm] \le [/mm] 0,5$ stimmt
-2 (ausserhalb der Tabuzone ) --> $0,37 [mm] \le [/mm] 0,5$ stimmt auch
-3,1 (innerhalb der Tabuzone ) --> $0,99 [mm] \le [/mm] 0,5$ erfüllt die Gleichung nicht.
Stimmt doch so oder? Wüsste nicht wo da was falsch wäre *kopfkratz*
> und außerdem müsste man das anders hinschreiben, wenn
> dann:
>
> -3,8 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] -2,17...
>
von der Überlegung her, hättest du damit aber die "Tabuzone" definiert (siehe test)
hoffe ich hab deine Frage beantwortet?
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
nee du hast nen fehler...
wenn du sagst
[mm]-2,17 \ge x \le -3,8[/mm]
dann bedeutet das, dass x [mm] \le [/mm] -2,17 bzw. x [mm] \le [/mm] -3,8
deswegen mecker ich die ganze zeit ;PPPP
deswegen muss man ja schreiben: x [mm] \le [/mm] -3,8 und x [mm] \ge [/mm] -2,17
und du hast mir immer noch nicht geschrieben, wie du darauf kommst... ich komme auf was anderes... wie im 1. Thread geschrieben!
Danke nochmal!
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 21:32 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Arkus |
*seufz* so langsam bin ich überfragt:
meine Lösung:
[mm] $e^{-(x+3)^2}\le\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $-(x+3)^2\le\ln{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $-(x+3)^2\le-\ln{2}$ [/mm] $| [mm] \cdot [/mm] (-1)$
[mm] $x^2+6x+9\ge\ln{2}$
[/mm]
[mm] $x^2+6x+[9-ln2]\ge0$
[/mm]
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[mm] $x_1/{_2}= [/mm] -3 [mm] \pm \sqrt{ln2}$
[/mm]
darausfolgt:
[mm] $-3+\sqrt{ln2}$ [/mm] und [mm] $-3-\sqrt{ln2}$ [/mm]
#####################
$-2,17 [mm] \ge [/mm] x$ ---> wenn ich mir das genau anschaue sehe ich grad, das das irgendwie doch nicht hinkommt, ich wette da muss die Relation andersrumsein, aber ich find grad den Fehler nicht :-?
$-3,8 [mm] \ge [/mm] x$ bzw. $x [mm] \le [/mm] -3,8$
Weißt du, jetzt hab ich mittlerweile auch schon ein Brett vorm Kopf und bin verunsichert (doofe Relationszeichen) :-D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
siehst du, genau das gleiche Problem habe ich auch!!! deswegen meinte ich ja, dass das so nicht funzt
vielleicht weiß es jemand anders und wir schlafen noch mal drüber, wenn es heute abend niemand weiß
danke trotzdem!
also frage wieder frei an alle!!!!!
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Hi, Jette,
die Lösungen der Gleichung (!)
[mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0 sind Dir ja bekannt:
[mm] x_{1} [/mm] = -3,8326; [mm] x_{2} [/mm] =-2,1674
Die Ungleichung [mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) [mm] \ge [/mm] 0 selbst löst man nun am besten graphisch:
Die linke Seite kann als Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel angesehen werden. Die Nullstellen dieser Parabel sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}.
[/mm]
" [mm] \ge [/mm] 0 " heißt nun aber: "oberhalb der x-Achse".
Für welche Werte von x liegt die Parabel also oberhalb?
Na, für: x [mm] \ge [/mm] -2,1674, sowie für x [mm] \le [/mm] -3,8326.
(Wenn Dir dieser Lösungsweg nicht gefallen sollte, kommst Du um eine Fallunterscheidung nicht rum - aber: kein "vernünftiger" Mensch löst eine quadratische Ungleichung mit Fallunterscheidung!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Ja, das sagst du mir, aber sag das meinem Prof...
ich glaube nicht, dass die graphische Version reicht, da die 2. Aufgabe ist, dass graphisch darzustellen und davor da muss ne Fallunterscheidung hin, aber das Problem ist, wo die hin muss... also bei welchem Schritt und das ist mir nicht klar, denn mit der Version [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0 wüsste ich nicht, wo man da ne Fallunterscheidung macht und bei der Version, bei der man ne Wurzel zieht, geht eben ein Ergebnis verloren!
Danke trotzdem schon mal.
> Hi, Jette,
>
> die Lösungen der Gleichung (!)
>
> [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0 sind Dir ja bekannt:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = -3,8326; [mm]x_{2}[/mm] =-2,1674
>
> Die Ungleichung [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) [mm]\ge[/mm] 0 selbst löst man
> nun am besten graphisch:
> Die linke Seite kann als Funktionsterm einer nach oben
> geöffneten Parabel angesehen werden. Die Nullstellen dieser
> Parabel sind [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}.[/mm]
> " [mm]\ge[/mm] 0 " heißt nun aber: "oberhalb der x-Achse".
> Für welche Werte von x liegt die Parabel also oberhalb?
> Na, für: x [mm]\ge[/mm] -2,1674, sowie für x [mm]\le[/mm] -3,8326.
>
> (Wenn Dir dieser Lösungsweg nicht gefallen sollte, kommst
> Du um eine Fallunterscheidung nicht rum - aber: kein
> "vernünftiger" Mensch löst eine quadratische Ungleichung
> mit Fallunterscheidung!)
>
> mfG!
> Zwerglein
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Arkus |
Hi
meine Lehrerin würde wohl sagen, wir sind in der Mathematik, da reicht graphisches Lösen nicht :-D
Aber ehrlich gesagt würde mich eine rechnerische Lösung mit Fallunterscheidung auch interessieren, da mir das jetzt auch keine Ruhe mehr lässt
MfG Arkus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Di 24.01.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Arkus,
als rechnerisches Verfahren kannst Du z.B. die Methode benutzen, die leduart vorgeführt hat.
Es geht aber auch so:
Nachdem Du die Nullstellen des Quadratterms berechnet hast, kannst Du ihn zerlegen:
[mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) = (x + 3,8326)*(x+2,1677)
Demnach lautet die Ungleichung nun:
(x + 3,8326)*(x+2,1677) [mm] \ge [/mm] 0.
1. Fall: (x + [mm] 3,8326)\ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (x+2,1677) [mm] \ge [/mm] 0.
Daraus egibt sich letztlich: x [mm] \ge [/mm] -2,1677
2. Fall: (x + [mm] 3,8326)\le [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (x+2,1677) [mm] \le [/mm] 0.
Daraus wird: x [mm] \le [/mm] -3,8326.
Reicht Dir das?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Di 24.01.2006 | | Autor: | Arkus |
Ja, danke
lg arkus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
> Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)² [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> ?
> Die Frage erscheint eigentlich einfach, nur habe ich
> irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.
>
> Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und
> danach mal (-1) gerechnet.
also hast du dann [mm] $(x+3)^2>ln2$
[/mm]
> Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel und
> alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel
Woher hat man denn die Lösungsformel? Um die zu kriegen, macht man quadratische Ergänzung und landet dann wieder bei [mm] (x+3)^2>ln2
[/mm]
nur dass du jetzt ein Gleichheitszeichen gesetzt hast und nicht mehr so richtig weisst wierum das größer Zeichen steht! In Wirklichkeit bist du also wieder am Anfang!
[mm] ($x^2+px+q=x^2+2*\bruch{p}{2}*x+(\bruch{p}{2})^2-\bruch{p}{2}+q=(x+\bruch{p}{2})^2 +q-\bruch{p}{2}$ [/mm] das ist der Weg zur "pq"Formel und den bist du verkürzt gegangen, wenn du sie einfach hinschreibst!
> oder
>
> Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung
>
>
> beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.
richtig gerechnet kommt man auch zum richtigen Ergebnis:
[mm] $(x+3)^2>ln2$ [/mm] bedeutet
1. $ [mm] x+3>\wurzel{ln2}$ [/mm] oder
2. -(x+3)> [mm] \wurzel{ln2}
[/mm]
aus 1. folgt [mm] x>\wurzel{ln2}-3
[/mm]
aus 2. folgt [mm] -x>\wurzel{ln2}+3 [/mm] daraus [mm] x<-(\wurzel{ln2}+3)
[/mm]
anderes kann auch nicht rauskommen wenn man erst ausmultipliziert und dann wieder quadr. Ergänzung macht!
> bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und
> x2=-3,8326
da hast du vergessen, wie die Ungleichung aussieht
> bei 2.) entweder x [mm]\ge[/mm] -2,1674 oder x [mm]\le[/mm] -2,1674
das versteh ich nicht, siehe oben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
> Hallo Jette
> > Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)² [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> > ?
> > Die Frage erscheint eigentlich einfach, nur habe ich
> > irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.
> >
> > Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und
> > danach mal (-1) gerechnet.
> also hast du dann [mm](x+3)^2>ln2[/mm]
> > Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel
> und
> > alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel
> Woher hat man denn die Lösungsformel? Um die zu kriegen,
> macht man quadratische Ergänzung und landet dann wieder bei
> [mm](x+3)^2>ln2[/mm]
wie kommst du auf ln 2??? muss doch ln 1/2 sein
> nur dass du jetzt ein Gleichheitszeichen gesetzt hast und
> nicht mehr so richtig weisst wierum das größer Zeichen
> steht! In Wirklichkeit bist du also wieder am Anfang!
>
> ([mm]x^2+px+q=x^2+2*\bruch{p}{2}*x+(\bruch{p}{2})^2-\bruch{p}{2}+q=(x+\bruch{p}{2})^2 +q-\bruch{p}{2}[/mm]
> das ist der Weg zur "pq"Formel und den bist du verkürzt
> gegangen, wenn du sie einfach hinschreibst!
> > oder
> >
> > Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung
> >
> >
> > beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.
> richtig gerechnet kommt man auch zum richtigen Ergebnis:
> [mm](x+3)^2>ln2[/mm] bedeutet
> 1. [mm]x+3>\wurzel{ln2}[/mm] oder
> 2. -(x+3)> [mm]\wurzel{ln2}[/mm]
> aus 1. folgt [mm]x>\wurzel{ln2}-3[/mm]
> aus 2. folgt [mm]-x>\wurzel{ln2}+3[/mm] daraus [mm]x<-(\wurzel{ln2}+3)[/mm]
und es ist doch -(x+3)² [mm] \le [/mm] ln 1/2
> anderes kann auch nicht rauskommen wenn man erst
> ausmultipliziert und dann wieder quadr. Ergänzung macht!
>
> > bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und
> > x2=-3,8326
> da hast du vergessen, wie die Ungleichung aussieht
> > bei 2.) entweder x [mm]\ge[/mm] -2,1674 oder x [mm]\le[/mm] -2,1674
> das versteh ich nicht, siehe oben.
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 23.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jette
"und es ist doch -(x+3)² < ln 1/2"
ja genau aber ln [mm] 1/2=ln(2^{-1}) [/mm] =-ln2
damit -(x+3)² < -ln2 mit -1 multipliziert kehrt das <Zeichen um, also (x+3)² > ln2
Ich rechne, wenn möglich lieber mit positiven Ausdrücken in Ungleichungen, ist aber Geschmacksache!
aber damit ändert sich an meiner Aussage ja nichts! Du kannst auch alles mit ln 1/2 rechnen! (dann aber immer beim hantieren damit dran denken, dass ln1/2<0)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Di 24.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Vielen Dank, so stimmt das allerdings immer die ">" und "<" ersetzen durch [mm] \le [/mm] und [mm] \ge- [/mm] für den, der es nachlesen möchte ;).
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