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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 09.01.2005 | | Autor: | bitch |
ich habe folgende aufgabe und komme absolut nicht damit klar:
Für jedes t>0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x)= [mm] 4e^{tx-} e^{2tx}, x\in \IR. [/mm] Das Schaubild von ft sei Kt.
1. Untersuchen sie Kt auf Schnittpunkte mit der x- Achse, auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie Asymptoten.
Zeichnen sie K1/2 für -5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3.
2. Es sei s der Schnittpunkt der Kurve Kt mit der y- Achse. Die Kurventangente in s, die Kurvennormele in s und sie x- Achse bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von t wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten? Zeigen sie, dass das Dreieck mit dem kleinsten Inhalt gleichschenklig ist.
3. Die x- Achse und die Kurve Kt begrenzen ein längs der negativen x- Achse ins Unendliche reichende Fläche.
Zeigen sie, dass die Gerade y=3 diese Fläche in einem von t unabhängigen Verhältnis teilt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wo bleiben deine eigenen Bemühungen? Ich werde jetzt sicher auch nicht die ganze Aufgabe vorrechnen, nur ein paar Ansätz liefern.
Ach ja, deine Funktionsgleichung wird nicht richtig dargestellt. Sollte es [mm]f(x)=4e^{t-x}e^{2tx}[/mm] heißen? Wenn ja, dann würde ich zuerst die beiden e-Funktionen zusammenfassen. Das zugehörige Potenzgesetz lautet [mm]a^b \cdot a^c=a^{b+c}[/mm].
Zu 1. Schnittpunkte mit der x-Achse werden auch "Nullstellen" genannt. Dazu muss die Funktionsgleichung =0 gesetzt werden.
Hoch- und Tiefpunkte: 1. Ableitung =0 setzen liefert Kandidaten für Extremstellen. Nachprüfen, ob Min oder Max vorliegt: Kandidaten in die 2. Ableitung einsetzen. Das Min-Max-Kriterium findest du bei dir im Heft oder Buch.
Hinweis zur Ableitung von e-Funktionen: hat man eine Funktion [mm]e^{g(x)}[/mm] abzuleiten, so ergibt das [mm]g'(x) \cdot e^{g(x)}[/mm].
Wendepunkte: 2. Ableitung =0 setzen, nachprüfen ob's wirklich einer ist mit Hilfe der 3. Ableitung.
Asympoten: Verhalten der Kurve für [mm]x \to \pm \infty[/mm].
Nützliches Wissen: [mm]e^x \to \infty[/mm] für [mm]x \to \infty[/mm],
[mm]e^x \to 0[/mm] für [mm]x \to -\infty[/mm].
Zu 2. Schnittpunkte mit y-Achse erhält man durch einsetzen von [mm]x=0[/mm] in die Funktionsgleichung. Daraus ergibt sich der y-Wert.
Kleine Skizze hilft hier.
Zuerst: Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.
Berechnung einer Dreiecksfläche: [mm]A=\bruch{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe[/mm].
Hier sinnvoll: Jeweils Nullstellen von Tangente und Normale bestimmen. Abstand der beiden Punkte (liegen ja beide auf x-Achse) ist die Grundseite, und y-Wert des Schnittpunktes mit y-Achse ist die Höhe.
Der Parameter t bleibt natürlich in der Flächeninhaltsformel stehen, es ergibt sich eine Flächeninhaltsfunktion [mm]A(t)[/mm]. Gesucht: Minimum dieser Funktion.
Jetzt kümmer dich am besten mal erst um die Aufgabenteile 1 und 2, und melde dich wieder, sobald du selber was probiert hast.
Sobald diese Aufgaben erledigt sind, können wir uns ja um die Aufgabe 3 kümmern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 09.01.2005 | | Autor: | bitch |
erst einmal danke für deine hilfe
aber ich hab zu 2. nochmal ne frage wie bilde ich eine tangentengleichung und eine normalengleichung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bitch,
> aber ich hab zu 2. nochmal ne frage wie bilde ich eine
> tangentengleichung und eine normalengleichung
Die Vorgehensweise ist bei beiden Geraden gleich:
Du mußt erst den gemeinsamen Punkt der gegebenen Funktion f(x) mit der entsprechenden Geraden ermitteln.
Du erhältst einen gemeinsamen Punkt: P ( [mm] $x_P$ [/mm] | [mm] $y_P [/mm] = [mm] f(x_P)$ [/mm] ).
Nun mußt Du noch die Steigung [mm] $m_g$ [/mm] der Geraden ermitteln:
Für die Tangente gilt: [mm] $m_g [/mm] = [mm] f'(x_P)$
[/mm]
Für die Normale gilt: [mm] $m_g [/mm] * [mm] f'(x_P) [/mm] = -1$ [mm] $\gdw$ $m_g [/mm] = - [mm] \bruch{1}{f'(x_P)}$
[/mm]
Mit diesen Werten kannst Du nun über die Punkt-Steigungsform die Geradengleichung ermitteln:
[mm] $m_g [/mm] = [mm] \bruch{y - y_P}{x - x_P}$
[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt?? 
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 09.01.2005 | | Autor: | bitch |
so bin jetzt beim beweis ab es ein gleichschenkliges dreieck ist und aufgabe 3 ?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bitch!
Wie sieht's mit Deinen Ideen aus ??
> so bin jetzt beim beweis ab es ein gleichschenkliges
> dreieck ist
Betrachte die Länge der einzelnen Seiten. Zwei davon sollten gleichlang sein: dann handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.
> und aufgabe 3 ?????
Berechne doch zunächst einmal die beschrieben Fläche über Integralrechnung.
Dann benötigst Du eine Grenzwertbetrachtung für $a [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$.
[/mm]
Da solltest Du einen festen Wert erhalten.
Anschließend nochmal Flächenberechnung von den Schnittpunkten von [mm] $f_t(x)$ [/mm] mit y=3 und diese beiden Flächen ins Verhältnis setzen (teilen).
Spätestens bei diesem Ergebnis sollte dann der Parameter t verschwinden, da dieses Verhältnis ja unabhängig von t sein soll ...
Loddar
PS: Heißt die Funktion $f(x) = [mm] 4*e^{tx} [/mm] - [mm] e^{2tx}$ [/mm] ??
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 So 09.01.2005 | | Autor: | bitch |
funktioniert nicht so wie es soll
komm nicht weiter *heul*
ps.: die aufgabe ist richtig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bitch,
Du würdest uns die Sache hier um einiges einfacher machen, wenn Du uns Deine Ansätze / Versuche zu den Aufgaben 2 + 3 mal hier posten würdest.
Das läßt sich dann um einiges leichter nachvollziehen und korrigieren (falls erforderlich) - vor allem um die Uhrzeit .
zu Aufgabe 2:
Wie lauten denn Deine ermittelten Werte für die Seiten des Dreiecks?
Wie groß ist denn Deine ermittelte Fläche?
zu Aufgabe 3:
Wie lautet denn Deine Stammfunktion?
Hast Du bereist die Schnittpunkte mit y=3?
Loddar
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