e-funktion, extremstelle < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=((e^(x-2))+(e^-x))/2
a) Untersuchen sie den Graphen von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe bereits die ableitungen gemacht:
f'(x)=0,5e^(x-2)-0,5e^(-x)
f''(x)=0,5e^(x-2)+0,5e^(-x)
f'''(x)=0,5e^(x-2)-0,5e^(-x)
nullstellen gibt es nicht und der schnittpunkt mit der y- achse ist (0/0,567).
eine symmetrie gibt es auch nicht, aber wie kann man das mithilfe der formeln für achsen- und punktsymmetrie nachweisen?
und wie berechnet man die extrem- und wendestelle??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=((e^(x-2))+(e^-x))/2
> a) Untersuchen sie den Graphen von f.
es wäre nett, wenn Du in Zukunft den Formeleditor verwendest.
Was Du dort hingeschrieben hast ist:
[mm] $f(x)=e^{x-2}+\frac{e^{-x}}{2}$
[/mm]
Du meinst aber vermutlich diese Funktion:
[mm] $f(x)=\frac{e^{x-2}+e^{-x}}{2}$
[/mm]
(Wenn Du auf die Formeln draufklickst, siehst Du wie man das eintippt.)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe bereits die ableitungen gemacht:
> f'(x)=0,5e^(x-2)-0,5e^(-x)
> f''(x)=0,5e^(x-2)+0,5e^(-x)
> f'''(x)=0,5e^(x-2)-0,5e^(-x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nullstellen gibt es nicht und der schnittpunkt mit der y-
> achse ist (0/0,567).
Das stimmt, diese Darstellung ist aber etwas ungünstig.
> eine symmetrie gibt es auch nicht, aber wie kann man das
Was macht Dich da so sicher? Ich finde die Funktion sieht schon sehr symmetrisch aus, nachgerechnet habe ich es aber nicht.
> mithilfe der formeln für achsen- und punktsymmetrie
> nachweisen?
Das kommt ganz darauf an von der Symmetrie bezüglich welchen Punktes bzw. welcher Achse Du sprichst.
Welche Formeln hast Du denn für die Symmetrie?
> und wie berechnet man die extrem- und wendestelle??
Wer sagt, dass es nur eine bzw. überhaupt Extrem- und/oder Wendestellen gibt?
Kennst Du die Bedingung für Extremwerte und Wendestellen nicht? (sowas steht im Buch/Heft/Internet).
Gruß,
notinX
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die formeln für die symmetrie sind f(x)=f(-x) und f(-x)=-f(x)
und es gibt nur eine extremstelle, da der graph beim zeichnen eine parabel ergibt und somit gibt es auch keinen wendepunkt, da den parabeln ja nicht haben
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Hallo,
> die formeln für die symmetrie sind f(x)=f(-x) und
> f(-x)=-f(x)
> und es gibt nur eine extremstelle, da der graph beim
> zeichnen eine parabel ergibt
Au weia, da kannst du ja zum einen auch gleich mit einer Kristallkugel arbeiten. Zum anderen musst du dir dringend ein Missverständnis deinerseits klarmachen: Parabeln sind bestimmte Kurven, die den sog. Kegelschnitten zugerechnet werden, weil sie als Berandungskurve beim ebenen Schnitt durch einen senkrechten Kreiskegel parallel zu einer Mantellinie auftreten. Analytisch gesehen sind (senkrechte) Parabeln grundsätzlich Schaubilder von quadratischen Funktionen, und somit ist schon die Verwendung des Begriffes Parabel hier falsch.
> und somit gibt es auch keinen
> wendepunkt, da den parabeln ja nicht haben
Einen Wendepunkt gibt es nicht, weil die zweite Ableitung ungleich Null ist. Ist dir klar, weshalb?
Gruß, Diophant
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ja, ich weiß das es keine parabel ist, aber es sieht nun mal fast wie eine aus! es geht mir aber um den nachweiß das keine symmetrie vorliegt! genauso, der nachweiß, das es keine wendestelle gibt( das man dazu die zweite ableitung null setzt ist mir klar)!!!!
wenn man zum beispiel f(-x)=-f(x) hat wie formt man dann für einen nachweiß so um, dass man genau sieht, dass die symmetrie nicht zutrifft?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja, ich weiß das es keine parabel ist, aber es sieht nun
> mal fast wie eine aus! es geht mir aber um den nachweiß
> das keine symmetrie vorliegt! genauso, der nachweiß, das
> es keine wendestelle gibt( das man dazu die zweite
> ableitung null setzt ist mir klar)!!!!
> wenn man zum beispiel f(-x)=-f(x) hat wie formt man dann
> für einen nachweiß so um, dass man genau sieht, dass die
> symmetrie nicht zutrifft?
Such ein ganz konkretes x mit der Eigenschaft: $f(-x) [mm] \ne [/mm] -f(x)$
FRED
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Hallo,
> ja, ich weiß das es keine parabel ist, aber es sieht nun
> mal fast wie eine aus! es geht mir aber um den nachweiß
> das keine symmetrie vorliegt! genauso, der nachweiß, das
> es keine wendestelle gibt( das man dazu die zweite
> ableitung null setzt ist mir klar)!!!!
> wenn man zum beispiel f(-x)=-f(x) hat wie formt man dann
> für einen nachweiß so um, dass man genau sieht, dass die
> symmetrie nicht zutrifft?
Man kann schreiben:
[mm] f(-x)\ne{\pm{f(x)}}
[/mm]
Aber man kann und darf nicht sagen, dass dann keine Symmetrie vorliegt. Es liegt weder Achsensymmetrie zur y-Achse, noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor, mehr hast du damit nicht gezeigt (und musst du vermutlich auch nicht zeigen). Eine sinnvolle Formulierung zur Interpretation dieses Resultates wäre im Rahmen einer Prüfung etwa:
Keine Symmetrie erkennbar
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 02.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> Man kann schreiben:
>
> [mm]f(-x)\ne{\pm{f(x)}}[/mm]
>
> Aber man kann und darf nicht sagen, dass dann keine
> Symmetrie vorliegt. Es liegt weder Achsensymmetrie zur
> y-Achse, noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor, mehr hast du
> damit nicht gezeigt (und musst du vermutlich auch nicht
> zeigen). Eine sinnvolle Formulierung zur Interpretation
> dieses Resultates wäre im Rahmen einer Prüfung etwa:
>
> Keine Symmetrie erkennbar
Ich finde die Symmetrie des Graphen leicht erkennbar und habe schon vorhin geschrieben, welche das ist:
Der Graph ist zur Geraden x=1 symmetrisch.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 02.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Hallo Diophant,
>
> > Man kann schreiben:
> >
> > [mm]f(-x)\ne{\pm{f(x)}}[/mm]
> >
> > Aber man kann und darf nicht sagen, dass dann keine
> > Symmetrie vorliegt. Es liegt weder Achsensymmetrie zur
> > y-Achse, noch Punktsymmetrie zum Ursprung vor, mehr hast
> du
> > damit nicht gezeigt (und musst du vermutlich auch nicht
> > zeigen). Eine sinnvolle Formulierung zur Interpretation
> > dieses Resultates wäre im Rahmen einer Prüfung etwa:
> >
> > Keine Symmetrie erkennbar
>
> Ich finde die Symmetrie des Graphen leicht erkennbar und
> habe schon vorhin geschrieben, welche das ist:
> Der Graph ist zur Geraden x=1 symmetrisch.
>
> Grüße
> reverend
Ja, schon klar. Ich bin von Baden-Württemberg ausgegangen und bei uns ist die Situation die, dass andere Symmetrien außer geraden und ungeraden Funktionen nicht mehr zum Abiturstoff gehören. Und da der Themenstarter wissen wollte, wie er das ausdrückt, habe ich ihm mit meiner Antwort eine bei uns in Musterlösungen übliche Formulierung an die Hand geben wollen.
Beste Grüße, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Di 02.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> > > Eine sinnvolle Formulierung zur
> Interpretation
> > > dieses Resultates wäre im Rahmen einer Prüfung
> etwa:
> > >
> > > Keine Symmetrie erkennbar
> >
> > Ich finde die Symmetrie des Graphen leicht erkennbar und
> > habe schon vorhin geschrieben, welche das ist:
> > Der Graph ist zur Geraden x=1 symmetrisch.
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Ja, schon klar. Ich bin von Baden-Württemberg ausgegangen
> und bei uns ist die Situation die, dass andere Symmetrien
> außer geraden und ungeraden Funktionen nicht mehr zum
> Abiturstoff gehören.
Da kann man nur hoffen, dass wenigstens in Sachsen noch Mathematik gelehrt wird...
Ich fürchte nämlich, dass bei uns in NRW die Lage ganz ähnlich der in BW ist, wenn nicht schlechter.
> Und da der Themenstarter wissen
> wollte, wie er das ausdrückt, habe ich ihm mit meiner
> Antwort eine bei uns in Musterlösungen übliche
> Formulierung an die Hand geben wollen.
Ja, das ist ja auch gut.
Herzliche Grüße
reverend
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also ich habe zb.
f(-x)=f(x)
[mm] (0.5e^{-x-2})+0.5e^x=(0.5e^{x-2})+0,5e^{-x}
[/mm]
das ganze kann man ja durch 0,5 teilen
kann man dann außerdem ln machen?
-x-2(lne)+x(lne)=x-2(lne)+(-x)(lne)
und lne ist ja 1
also -x-2+x=x-2-x
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Di 02.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> also ich habe zb.
> f(-x)=f(x)
> [mm](0.5e^{-x-2})+0.5e^x=(0.5e^{x-2})+0,5e^{-x}[/mm]
> das ganze kann man ja durch 0,5 teilen
Ja
> kann man dann außerdem ln machen?
Ja, aber nicht so. Da missachtest du die Logarithmengesetze.
> -x-2(lne)+x(lne)=x-2(lne)+(-x)(lne)
> und lne ist ja 1
> also -x-2+x=x-2-x
> ???
Die Symmetrie würde ich eher über eine Gleichungskette zeigen.
Beispiel
[mm] g(x)=-x^{5}+x^{3}
[/mm]
Also:
[mm] g(-x)=-(-x)^{5}+(-x)^{3}=x^{5}-x^{3}=-(-x^{5}+x^{3})=-g(x)
[/mm]
Also ist g(x) punktsymmetrisch zum Ursprung
Beispiel 2:
[mm] h(x)=e^{-x}+e^{x}
[/mm]
Also
[mm] h(-x)=e^{-(-x)}+e^{-x}=e^{x}+e^{-x}=h(x)
[/mm]
Also ist h(x) y-achsensymmetrisch.
Marius
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ok, also brauch ich am ende keine zahl rauszubekommen, sondern die gleichung reicht als beweis.
wie stelle ich die erste ableitung die 0 gesetzt wurde nun so um, dass ich 1 rausbekomme, da die extremstelle ja bei 1 liegt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Di 02.04.2013 | | Autor: | notinX |
> ok, also brauch ich am ende keine zahl rauszubekommen,
> sondern die gleichung reicht als beweis.
Als Beweis musst Du es für alle x zeigen, also so wie in M.Rexs Beispielen. Um Symmetrie zu wiederlegen, reicht es aus ein spezielles Beispiel (einen Wert) zu finden, der die Symmetriebedingung verletzt.
> wie stelle ich die erste ableitung die 0 gesetzt wurde nun
> so um, dass ich 1 rausbekomme, da die extremstelle ja bei 1
> liegt??
Löse die Gleichung $f'(x)=0$, das sollte eigentlich kein Problem sein in der Oberstufe. Was macht Dir denn Schwierigkeiten?
Gruß,
notinX
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ja, wenn ich kein problem hätte, wurde ich nicht fragen :)
ich weiß nicht, wie ich x mit logarithmen so umstelle, wie ich es gemacht habe mit 0,5e^(x-2)=0 /:0,5
x-2(lne)=0
war es ja falsch??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja, wenn ich kein problem hätte, wurde ich nicht fragen
> :)
> ich weiß nicht, wie ich x mit logarithmen so umstelle,
> wie ich es gemacht habe mit 0,5e^(x-2)=0
Wenn Du [mm] 0,5e^{x-2}=0 [/mm] meinst, so kann ich Dir nur sagen: diese Gl. hat keine Lösung (warum ?)
> /:0,5
> x-2(lne)=0
Das ist ja grausam !
> war es ja falsch??
Es ging doch um die Gleichung f'(x)=0.
Es folgt: [mm] 0,5(e^{x-2}-e^{-x})=0.
[/mm]
Das hat
[mm] e^x*e^{-2}=e^{-x}
[/mm]
zur Folge.
Mult. man mit [mm] e^x [/mm] durch., bekommt man:
[mm] e^{2x}e^{-2}=1
[/mm]
oder
[mm] e^{2x}=e^2
[/mm]
FRED
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wie formt man dann das letzte um, um eine zahl zu erhalten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> wie formt man dann das letzte um, um eine zahl zu erhalten?
Du meinst sicher die Gleichung
(*) $ [mm] e^{2x}=e^2 [/mm] $
1. Möglichkeit: logarithmieren. Aus (*) wird dadurch
ln( [mm] e^{2x})=ln(e^2).
[/mm]
Jetzt solltest Du wissen (was bei vielen nicht der Fall ist !):
[mm] ln(e^{FRED})=FRED [/mm] für alle FREDs
Jetzt Du.
2. Möglichkeit:
da die e- Funktion streng wachsend ist, folgt aus (*) sofort: 2x=2
FRED
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sehr gut, versteh ich!
mir fehlt nur noch der zwischenschritt, wie man von
(e^(2x))*(e^(-2)))=1
zu
[mm] (e^{2x})=e^2
[/mm]
kommt?
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Hallo, multipliziere die Gleichung mit [mm] e^2
[/mm]
[mm] e^{2x}*e^{-2}*e^2=1*e^2
[/mm]
[mm] e^{2x}=e^2
[/mm]
bedenke Potenzgesetz [mm] e^{-2}*e^2=e^0=1
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 02.04.2013 | | Autor: | notinX |
> ja, wenn ich kein problem hätte, wurde ich nicht fragen
> :)
Das ist mir schon klar, wenn Du aber nicht sagst wo es hängt, ist es schwierig zielführend zu helfen.
> ich weiß nicht, wie ich x mit logarithmen so umstelle,
> wie ich es gemacht habe mit 0,5e^(x-2)=0 /:0,5
> x-2(lne)=0
> war es ja falsch??
Gruß,
notinX
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Hallo limunix10, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zur Frage der Symmetrie hast Du da noch nicht die ganze Wahrheit...
> die formeln für die symmetrie sind f(x)=f(-x)
Eine solche Funktion wäre achsensymmetrisch zur y-Achse (also der Geraden x=0)
> und f(-x)=-f(x)
Eine solche Funktion wäre punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beides liegt in der Tat bei Deiner Funktion nicht vor.
Dafür ist sie aber achsensymmetrisch zur Geraden x=1.
Zum Rest hat Diophant ja schon etwas geschrieben.
Grüße
reverend
> und es gibt nur eine extremstelle, da der graph beim
> zeichnen eine parabel ergibt und somit gibt es auch keinen
> wendepunkt, da den parabeln ja nicht haben
>
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