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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:55 Do 05.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Ich muss hier wieder so einen seltsamen komischen beweis machen, bei dem ich nicht weiß, welchen "Trick" ich anwenden soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen bzw. mir tipps geben.
Aufgabe:
Seien A, B [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] mit AB=BA.
Zeige:
(a) exp(A+B) = exp(A) exp(B)
(b) Ohne die Voraussetzung AB=BA ist die Gleichung in (a) im allgemeinen falsch.
zur (a) habe ich zwar einen Ansatz bzw. die Definition, aber ich weiß nicht weiter.
exp(A+B) = [mm] e^{A+B} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(A+B)^{k}}{k!}
[/mm]
Und jetzt? wie mache ich hier weiter?
Reicht es bei der (b), wenn ich ein Gegenbeispiel angebe, wo die Behauptung nicht gilt?
Wenn ja, dann würde ich folgendes Gegenbeispiel vorschlagen:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Dann gilt:
exp(A) exp(B) = [mm] \pmat{ e & e \\ 0 & 1 } [/mm] und
exp(A+B) = [mm] \pmat{ e & (e-1) \\ 0 & 1 }
[/mm]
Und damit gilt exp(A+B) [mm] \not= [/mm] exp(A) exp(B).
Stimmt meine (b)? wenn nicht, bitte ich um verbesserung! 
Bitte helft mir, die Teilaufgabe (a) zu lösen. Danke!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Fr 06.05.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, leute!
ich habe noch eine ganz allgemeine frage:
wenn ich die gleichung exp(A+B) = exp(A) exp(B) beweisen soll, wobei A, B Matrizen sind, ist es dann der gleiche beweis, wie wenn ich exp(x+y) = exp(x) exp(y) beweisen soll, wobei x,y [mm] \in \IR?
[/mm]
weil wenn da kein unterschied im beweis besteht, weiß ich dann schon, wie man es beweist.
danke!
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