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| Aufgabe | eine ebene kann ja festgelegt sein durch
a)3 punkte
b)2 parallele geraden
c)2 sich schneidende geraden
d)1 punkt und 1 gerade |
bsp:
g:X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
h:X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
zuerst muss ich ja rausfinden, welcher fall vorliegt, oder?
a) und c) kann ich sowieso ausschließen.
b) auch, da die beiden richtungsvektoren nicht linear abhängig und so die beiden geraden nicht parallel sind, oder?
aber woran erkenne ich, dass die beiden geraden sich tatsächlich schneiden? am gemeinsamen aufpunkt? aber wie kann ich generell windschiefe von sich schneidenden geraden unterscheiden?
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> eine ebene kann ja festgelegt sein durch
> a)3 punkte
> b)2 parallele geraden
> c)2 sich schneidende geraden
> d)1 punkt und 1 gerade
> bsp:
> g:X= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> h:X= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> zuerst muss ich ja rausfinden, welcher fall vorliegt,
> oder?
> a) und c) kann ich sowieso ausschließen.
> b) auch, da die beiden richtungsvektoren nicht linear
> abhängig und so die beiden geraden nicht parallel sind,
> oder?
> aber woran erkenne ich, dass die beiden geraden sich
> tatsächlich schneiden? am gemeinsamen aufpunkt?
Hier ist dies der Fall, dass der Trägerpunkt [mm](1\mid 0\mid 0)[/mm] der angegebenen Parameterformen beider Geraden derselbe ist. Diese Situation dürfte aber eher die Ausnahme sein...
> aber wie
> kann ich generell windschiefe von sich schneidenden geraden
> unterscheiden?
Du kannst zum Beispiel rein algebraisch rangehen. Das heisst die Schnittgleichung (bestehend aus 3 linearen Koordinatengleichungen für 2 unbekannte Parameter [mm]\lambda,\mu[/mm]) zu lösen versuchen:
[mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0}+\lambda \cdot \vektor{2 \\ -2 \\ 1} = \vektor{1\\0\\0} +\mu \cdot \vektor{1\\2\\-1}[/mm]
Ein solches lineares Gleichungssystem hat
a) keine Lösung (dann sind die beiden Geraden entweder windschief oder nicht-zusammenfallend parallel),
b) eine Lösung (dann schneiden sich die Geraden in einem einzigen Punkt) oder
c) unendlich viele Lösungen (dann fallen die beiden Geraden zusammen).
Zwischen dem "parellel, nicht-zusammenfallenden" und dem "windschiefen" Fall kannst Du, sobald Du weisst, dass es keine Lösung der Schnittgleichung dieser beiden Geraden gibt, unterscheiden, indem Du die beiden Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit (Kollinearität) untersuchst. Jenachdem, welche Werkzeuge der Vektoralgebra Dir schon zur Verfügung stehen (z.B. Vektorprodukt?) kannst Du so - oder anders vorgehen.
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danke für die hilfe!! ich denke, ich kapiers jetzt!:)
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