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| Aufgabe | gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch
E:x= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
g: x= [mm] \vektor{1 \\ \gamma \\ 1}+r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}
[/mm]
wobei die Gerade g von einem Parameter [mm] \gamma \in \IR [/mm] abhängt
Für welche [mm] \gamma \in \IR [/mm] sind E und g parallel? Berechnen Sie in diesem Fall den Abstand und andernsfalls den Schnittpunkt |
determinante der drei richtigungsvektoren =0
[mm] \vmat{ -1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & \gamma }=0= -3\gamma+6+4-2\gamma
[/mm]
[mm] 5\gamma=10
[/mm]
[mm] \gamma=2
[/mm]
Für [mm] \gamma=2 [/mm] sind E und g parallel
soweit richtig? wie bestimme ich den Abstand? und wieso muss man hier den schnittpunkt bestimmen wenn E und g parallel sind, kann es doch keinen schnittpunkt geben oder?
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schnittpunkt:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \gamma \\ 1}+r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] - [mm] r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \gamma-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & -\gamma }= \vektor{0 \\ \gamma-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & -\gamma +2 }= \vektor{0 \\ \gamma-1 \\ -\gamma+2}
[/mm]
r=1
s= [mm] \bruch{\gamma +1}{5}
[/mm]
t = [mm] \bruch{\gamma +1}{5}
[/mm]
Schnittpunkt = [mm] \vektor{1 \\ \gamma+2 \\ \gamma+1}
[/mm]
wäre das soweit erstma richtig? bzw muss ich noch irgendwie [mm] \gamma [/mm] bestimmen?
für [mm] \gamma [/mm] = 2 ist der Gerade parallel zu ebene. wie bestimme ich den Abstand ohne die hessische Normalform?
Der abstandsvektor ist senkrecht zum richtungsvektor der geraden, aber wo ist der abstandsvektor senkrecht zur ebene?
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Hallo arbeitsamt,
> schnittpunkt:
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> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ \gamma \\ 1}+r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm] - [mm]r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ \gamma-1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & 2 & -\gamma }= \vektor{0 \\ \gamma-1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & -\gamma +2 }= \vektor{0 \\ \gamma-1 \\ -\gamma+2}[/mm]
>
>
> r=1
>
> s= [mm]\bruch{\gamma +1}{5}[/mm]
>
> t = [mm]\bruch{\gamma +1}{5}[/mm]
>
> Schnittpunkt = [mm]\vektor{1 \\ \gamma+2 \\ \gamma+1}[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> wäre das soweit erstma richtig? bzw muss ich noch
> irgendwie [mm]\gamma[/mm] bestimmen?
>
> für [mm]\gamma[/mm] = 2 ist der Gerade parallel zu ebene. wie
> bestimme ich den Abstand ohne die hessische Normalform?
>
Prüfe doch erstmal, ob sich der Aufpunkt der Geraden
für diesen Fall auf der Ebene befindet.
> Der abstandsvektor ist senkrecht zum richtungsvektor der
> geraden, aber wo ist der abstandsvektor senkrecht zur
> ebene?
>
Gruss
MathePower
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> Prüfe doch erstmal, ob sich der Aufpunkt der Geraden
> für diesen Fall auf der Ebene befindet.
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ \gamma} [/mm] = [mm] t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] t = s
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = 5s [mm] \Rightarrow [/mm] s = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma [/mm] = 2
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\bruch{2}{5}\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+\bruch{2}{5}\vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] [mm] \not= [/mm] [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
das heißt die Gerade ist parallel zur ebene. wie bestimme ich jetzt den Abstand? Kann man den Abstand auch ohen die Hessische Normalform bestimmen?
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Hallo arbeitsamt,
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> > Prüfe doch erstmal, ob sich der Aufpunkt der Geraden
> > für diesen Fall auf der Ebene befindet.
>
>
>
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}[/mm] = [mm]t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] t = s
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = 5s [mm]\Rightarrow[/mm] s = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \gamma[/mm] = 2
>
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+\bruch{2}{5}\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+\bruch{2}{5}\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
> [mm]\not=[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> das heißt die Gerade ist parallel zur ebene. wie bestimme
> ich jetzt den Abstand? Kann man den Abstand auch ohen die
> Hessische Normalform bestimmen?
Ja. Bestimme den Lotfußpunkt von g auf E.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 22.12.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
1. Abstand für das )richtige [mm] \gamma=2
[/mm]
2. Schnittpunkt für allgemeines [mm] \gamma.
[/mm]
Abstand Ebene Gerade schau in Buch oder skript
oder hier im forum
Gruss leduart
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wie bestimme ich hier am besten den schnittpunkt?
g1=E
[mm] \vektor{1 \\ \gamma \\ 1}+r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}= \vektor{0 \\ 1-\gamma \\ -1}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
daraus folgen 3 gleichungen:
gleichungs 1: 0= -t+s
gleichung 2: 2r = [mm] 1-\gamma+2t+3s
[/mm]
gleichung 3: [mm] \gamma*r [/mm] = -1+3t+2s
gleichung 1: [mm] \Rightarrow [/mm] s=t
t in gleichung 2 einsetzen: [mm] \Rightarrow [/mm] r= [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{\gamma}{2}+\bruch{5s}{2}
[/mm]
r in gleichung 3: [mm] \Rightarrow \gamma-\gamma^2+5s\gamma=-2+10s
[/mm]
ich merke schon, so wird das nichts. muss ich hier mit dem gausverfahren paar unbekannte eliminieren?
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> wie bestimme ich hier am besten den schnittpunkt?
>
> g1=E
>
> [mm]\vektor{1 \\ \gamma \\ 1}+r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]r\vektor{0 \\ 2 \\ \gamma}= \vektor{0 \\ 1-\gamma \\ -1}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}+s\vektor{1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> daraus folgen 3 gleichungen:
>
> gleichungs 1: 0= -t+s
>
> gleichung 2: 2r = [mm]1-\gamma+2t+3s[/mm]
>
> gleichung 3: [mm]\gamma*r[/mm] = -1+3t+2s
>
>
> gleichung 1: [mm]\Rightarrow[/mm] s=t
Hallo,
setze dies nun in Gleichung 2 und 3 ein.
Du hast dann zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Eliminiere dann den nächsten Parameter.
>
> t in gleichung 2 einsetzen: [mm]\Rightarrow[/mm] r=
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{\gamma}{2}+\bruch{5s}{2}[/mm]
Offenbar hattest Du t=s auch in Gleichung 3 eingesetzt, und nun:
>
> r in gleichung 3: [mm]\Rightarrow \gamma-\gamma^2+5s\gamma=-2+10s[/mm]
Jetzt sammelst Du auf der einen Seite die Vielfachen von s, auf der anderen Seite den Rest, und dann löst Du nach s auf.
Einsetzen liefert Dir dann r und t und schließlich den Schnittpunkt.
> ich merke schon, so wird das nichts. muss ich hier mit dem
> gausverfahren paar unbekannte eliminieren?
Wie Du das LGS löst, ist prinzipiell Dir überlassen.
Du solltest Dir aber den Gaußalg. in Tabellenform aneignen,
denn damit kommt man übersichtlich zum Ziel.
Beachte ansonsten Richies Tip: wenn Du in der Lage bist, die Ebenengleichung zügig und fehlerfrei in Koordinatenform umzuwandeln, ist der von ihm vergeschlagene Weg bequemer.
LG Angela
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Hallo arbeitsamt,
für die Berechnung des Schnittpunktes würde ich dir empfehlen, die Ebene zunächst in Normalenform umzuwandeln. So umgehst du das Lösen eines LGS.
Forme also zuächst die Ebene auf die Form
E: ax+by+cz=d
um.
Setze dann die Gerade g ein und bestimme so den Parameter.
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