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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
ich habe das problem, dass ich nicht weiß wie ich vorgehen soll.
aufgabe: seien M und N endliche mengen mit genau m bzw. n Elementen. dann besitzt m x n genau [mm] n\*m [/mm] elemente.
die soll mittels induktion bewiesen werden.
ich weiß zwar was der induktionsanfanf, vorraussetzung ist aber nicht wie ich damit umgehen muss um aufs ergebnis zu kommen.
danke für die hilfe
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> aufgabe: seien M und N endliche mengen mit genau m bzw. n
> Elementen. dann besitzt m x n genau [mm]n\*m[/mm] elemente.
> die soll mittels induktion bewiesen werden.
Hallo,
hast Du denn den Sachverhalt als solchen verstanden? Weißt Du, was die Menge M x N ist, und wie das kommt, daß sie mn Elemente enthält.
Das mußt Du Dir zunächst klar machen.
Mach dann eine Induktion über n.
D.h.: Dein m ist zwar beliebig, aber fest. Du behandelt es, als würde da immer 5 stehen.
Der Induktionsanfang: n=1
Die Menge hat M hat m Elemente, die Menge n eines.
Dann gibt es ? Zahlenpaare (x,y) mit [mm] x\in [/mm] M und y [mm] \in [/mm] N. Denn ...
Induktionsschluß:
Betrachte nun die Menge, die man erhält, wenn man N ein weiteres Element p hinzufügt, also N [mm] \cup \{p\}.
[/mm]
Welche Zahlenpaare bzw. wieviele kann man mit der m-elementigen Menge M bilden?
Gruß v. Angela
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also ich hab schon verstanden dass MxN m*n elemente hat.
ich kann es nur nicht rechnerisch nachweisen.
also den induktionsanfang würd ich so machen:
[mm] M=\{ m \} [/mm] = {1}
N= {n} = {1} daraus folgt: MxN = {(m,n)}={(1,1)}
daraus folgt ein element.
ich find aber irgendwie dass des net so toll is.
den induktionschritt weiß ich net wie ich da vorgehen muss, also formal.
wäre schön wenn jemand die lösung kurz man formal aufschreiben könnte, dann würd ich´s denk ich mal leichter verstehn.
hab mich nämlich jetzt schon ewig damit beschäftigt.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin roadrunnerems!
Ich glaube genau vor diesem Ansatz wollte dich angela bewahren.
Denke das das ungefähr so aussehen soll :
[mm] \underline{Induktionsanfang}
[/mm]
Sei [mm] $M:=\{m_1,m_2,\dots,m_m\}$ [/mm] und [mm] $N_1:=\{n_1\}$
[/mm]
dann gibt es genau $m*n=m$ (da [mm] $N_1$ [/mm] nur ein Element enthält) Elemente [mm] $(a,b)\in M\times [/mm] N$ mit [mm] $a\in [/mm] M$ und [mm] $b\in [/mm] N$ nämlich
[mm] $(m_1,n_1),(m_2,n_1),\dots,(m_m,n_1)$
[/mm]
[mm] \underline{InduktionsVoraussetzung}
[/mm]
Sei [mm] $M:=\{m_1,m_2,\dots,m_m\}$ [/mm] und [mm] $N_n:=\{n_1,n_2,\dots,n_n\}$
[/mm]
dann gibt es genau $m*n=m*n$ Elemente [mm] $(a,b)\in M\times [/mm] N$ mit [mm] $a\in [/mm] M$ und [mm] $b\in [/mm] N$
[mm] $(m_1,n_1),(m_2,n_1)\dots,(m_m,n_1)$
[/mm]
[mm] $(m_1,n_2),(m_2,n_2)\dots,(m_m,n_2)$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] $(m_1,n_n),(m_2,n_n)\dots,(m_m,n_n)$$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsbeweis}
[/mm]
Sei [mm] $M:=\{m_1,m_2,\dots,m_m\}$ [/mm] und [mm] $N_{n+1}:=\{n_1,n_2,\dots,n_n,n_{n+1}\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $N_{n+1}:=N_n\cup\{n_{n+1}\}=\{n_1,n_2,\dots,n_n\}\cup \{n_{n+1}\}$ [/mm] also:
[mm] $M\times N_{n+1}=M\times N_n\cup M\times \{n_{n+1}\}$
[/mm]
nun gilt für einen Teil nach Voraussetzung ??
für den anderen Teil nach Induktionsanfang??
MfG
Sashman
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